Суперінтегровна гамільтонова система

Суперінтегровна гамільтонова система — це гамільтонова система на ${\displaystyle 2n}$-мірному симплектичному многовиді ${\displaystyle Z}$, для якого виконуються наступні умови: (i) Існують ${\displaystyle n<k+1}$ незалежних ${\displaystyle F_{i}}$. Їх поверхні рівня (інваріантні підмноговиди) утворюють розшарований многовид ${\displaystyle F:Z\to N=F(Z)}$ над зв'язаною відкритою підмножиною ${\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{k}}$.

(ii) Існують гладкі дійсні функції ${\displaystyle s_{ij}}$ на ${\displaystyle N}$, такі що дужки Пуассона інтегралів руху мають вигляд ${\displaystyle \{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F}$.

(iii) Матриця ${\displaystyle s_{ij}}$ має сталий коранг ${\displaystyle m=2n-k}$ на ${\displaystyle N}$.

Якщо ${\displaystyle k=n}$, то це — випадок цілком інтегровної гамільтонової системи. Теорема Міщенко — Фоменко для суперінтегровних гамільтонових систем наступним чином узагальнює про змінні дія — кут.

Нехай інваріантні підмноговиди суперінтегровної гамільтонової системи зв'язані, компактні і взаємодифеоморфні. Тоді розшарований многовид ${\displaystyle F}$ є локальним тривіальним розшаруванням на тори ${\displaystyle T^{m}}$. Для даного його шару ${\displaystyle M}$ існує його відкритий окіл ${\displaystyle U}$, що є тривіальним розшаруванням, наділеним пошаровими узагальненими координатами дія — кут ${\displaystyle (I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})}$, ${\displaystyle A=1,\ldots ,m}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-m}$, такими що ${\displaystyle (\phi ^{A})}$ — координати на ${\displaystyle T^{m}}$. Ці координати є канонічними координатами на симплектичному многовиді ${\displaystyle U}$. При цьому гамильтониан суперінтегровної системи залежить тільки від змінних дії ${\displaystyle I_{A}}$, що є функціями Казимира коіндукованої пуассонової структури на ${\displaystyle F(U)}$.

Теорема Ліувілля — Арнольда для цілком інтегровних систем і теорема Міщенко — Фоменко для суперінтегровних систем були узагальнені на випадок некомпактних інваріантних підмноговидів. Вони дифеоморфні тороїдальним циліндрам ${\displaystyle T^{m-r}\times \mathbb {R} ^{r}}$.

Література

• Mishchenko, A., Fomenko, A., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian systems, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113.
• Bolsinov, A., Jovanovic, B., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; arXiv:math-ph/0109031.
• Fasso, F., Superintegrable Hamiltonian systems: geometry and applications, Acta Appl. Math. 87(2005) 93.
• Fiorani, E., Sardanashvily, G., Global action-angle coordinates for completely integrable systems with non-compact invariant manifolds, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arXiv:math/0610790.
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Methods in Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, Singapore, 2010) ; arXiv: 1303.5363^{[недоступне посилання з липня 2019]}.