Суперформула

Суперформула — узагальнений випадок рівняння плоскої кривої супереліпса (кривої Ламе), записаний у 1997 році бельгійським вченим (англ. Johan Gielis).

Декілька прикладів кривих, що описуються суперформулою для різних значень m, n₁, n₂ і n₃ за умови a=b=1

Й.Джиліс припустив, що формула може бути використана для опису багатьох складних форм і кривих, які зустрічаються в природі.

Запис рівняння

У полярних координатах, для ${\displaystyle r}$ радіуса і кута ${\displaystyle \varphi }$, суперформула має вигляд:

${\displaystyle r\left(\varphi \right)=\left[\left|{\frac {\cos \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{a}}\right|^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3}}\right]^{-{\frac {1}{n_{1}}}},}$

де ${\displaystyle m}$ — характеризує число фрагметів, що повторюються;

${\displaystyle n_{1}}$, ${\displaystyle n_{2}}$, ${\displaystyle n_{3}}$ — параметри, що визначають форму;

${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ — габарити (величини півосей).

Графіки

Інші приклади кривих, побудованих за супреформулою для вказаних m, n₁, n₂ і n₃ при a = b = 1

Програмні реалізації побудови кривих

GNU Octave

Програма для генерування кривих на основі суперформули мовою програмування GNU Octave:

 function sf2d(n,a)  u=[0:.001:2*pi];  raux=abs(1/a(1).*abs(cos(n(1)*u/4))).^n(3)+abs(1/a(2).*abs(sin(n(1)*u/4))).^n(4);  r=abs(raux).^(-1/n(2));  x=r.*cos(u);  y=r.*sin(u);  plot(x,y);  end 

PHP script

PHP-скрипт для генерування таких фігур:

<?php header("Content-type: image/png"); set_time_limit(120); $img = imagecreatetruecolor(800, 800); $black = imagecolorallocate($img, 0, 0, 0); imagefilledrectangle($img, 0, 0, 800, 800, $black); $center = 400; $PI = 2 * pi(); $a = 1; $b = 1; $m = 12; $n1 = 5; $n2 = 6; $n3 = 48; for($f = 0; $f <= $PI; $f += 0.0001) { $r= pow((pow(abs(cos($m*$f/4)/$a),$n2) + pow(abs(sin($m*$f/4)/$b), $n3)), -(1/$n1)); $x = $center + $r * cos ($f) * 100; $y = $center + $r * sin ($f) * 100; $col = imagecolorallocate($img, 255, 255, 255); imagesetpixel($img, $x, $y, $col); } print imagepng($img); imagedestroy($img); ?> 

Узагальнення на більшу кількість вимірів

Рівняння

Є можливим розширення суперформули до 3, 4, чи n вимірів, у сферичній системі координат. Наприклад тривимірне параметричне задання поверхні отримується перемноженням двох суперформул r₁ and r₂. Геометричне місце точок відповідної поверхні може бути задане співвідношеннями:

${\displaystyle x\,=\,r_{1}(\theta )\cos(\theta )r_{2}(\phi )\cos(\phi )}$

${\displaystyle y\,=\,r_{1}(\theta )\sin(\theta )r_{2}(\phi )\cos(\phi )}$

${\displaystyle z\,=\,r_{2}(\phi )\sin(\phi ),}$

де ${\displaystyle \phi }$ змінюється у межах від -π/2 до π/2 (широта) і θ в діапазоні між -π та π (довгота).

Графічні побудови

Тривимірна суперформула для a = b = 1:

• m=3, n₁=2, n₂=5, n₃=7
• m=3, n₁=5, n₂=5, n₃=5
• m=3, n₁=30, n₂=15, n₃=15
• m=7, n₁=2, n₂=8, n₃=4
• m=5, n₁=1, n₂=1, n₃=1
• m=4, n₁=0.5, n₂=0.5, n₃=4
• m=8, n₁=0.5, n₂=0.5, n₃=8
• m=4, n₁=12, n₂=15, n₃=15

Програма у GNU Octave

Показані вище фігури згенеровано наступним скриптом GNU Octave:

 function sf3d(n, a)  u=[-pi:.05:pi]; v=[-pi/2:.05:pi/2]; nu=length(u); nv=length(v); for i=1:nu for j=1:nv raux1=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1).*u(i)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*u(i)/4))).^n(4); r1=abs(raux1).^(-1/n(2)); raux2=abs(1/a(1)*abs(cos(n(1)*v(j)/4))).^n(3)+abs(1/a(2)*abs(sin(n(1)*v(j)/4))).^n(4); r2=abs(raux2).^(-1/n(2)); x(i,j)=r1*cos(u(i))*r2*cos(v(j)); y(i,j)=r1*sin(u(i))*r2*cos(v(j)); z(i,j)=r2*sin(v(j)); endfor; endfor; mesh(x,y,z); endfunction; 

Див. також

• Супереліпс

Примітки

1. Gielis Johan A generic geometric transformation that unifies a wide range of natural and abstract shapes [ 21 серпня 2012 у Wayback Machine.] American Journal of Botany 90 (3): 333–338, 2003. ISSN 0002-9122

Посилання

• Some Experiments on Fitting of Gielis Curves by Simulated Annealing and Particle Swarm Methods of Global Optimization (англ.)
• Least Squares Fitting of Chacón-Gielis Curves By the Particle Swarm Method of Optimization (англ.)
• Superformula 2D Plotter & SVG Generator [ 31 жовтня 2009 у Wayback Machine.] (англ.)
• Interactive example using JSXGraph [ 7 жовтня 2016 у Wayback Machine.] (англ.)
• 3D Superdupershape Explorer using Processing [ 19 жовтня 2016 у Wayback Machine.] (англ.)
• (англ.)
• (англ.)