Струм ймовірності

В квантовій механіці, струм ймовірності (або потік ймовірності) описує зміни функції щільності ймовірності.

Визначення

Струм ймовірності ${\displaystyle {\vec {j}}}$ визначається як

${\displaystyle {\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi )}$

та задовліьняє квантово-механічне рівняння неперервності

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$

зі щільністю ймовірності ${\displaystyle \rho }$, заданою

${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}}$.

Рівняння неперевності є еквівалетним наступному інтегральному рівнянню:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}=0}$

де ${\displaystyle V}$ — объём и ${\displaystyle S}$ − межа об'єму ${\displaystyle V}$. Це закон збуреження для щільності ймовірності в квантовій механіці.

Зокрема, якщо ${\displaystyle \Psi }$ — хвильова функція окремої частинки, інтеграл в першому доданку попереднього рівняння (без похідної по часу) — ймовірність отримання значення в межах ${\displaystyle V}$, коли стан частинки виміряно. Другий доданок — швидкість, з якою ймовірність «витікає» з об'єму ${\displaystyle V}$.

Загалом рівняння свідсить, що похідна по часу ймовірності знаходження частинки в ${\displaystyle V}$ дорівнює швидкості, по якій ймовірність «витікає» з ${\displaystyle V}$.

Приклади

Плоска хвиля

Струм ймовірності, який можна зіставити плоскій хвилі

${\displaystyle \Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{i\omega t}}$

запишеться у вигляді

${\displaystyle {\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}{\vec {\nabla }}e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}.}$

Це частка квадрата амплітуди на швидкість частинки:

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\vec {p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}}$.

Зауважте, що струм ймовірності є відмінним від нуля не дивлячись, на те, що плоскі хвилі це і отже

${\displaystyle {\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0}$

всюди. Це демонструє, що частинка може рухатись, навіть якщо її площинна щільність ймовірності не має ніякої явної залежності від часу.

Частинка в ящику

Для одновимірного ящика з нескінченним стінками довжиною ${\displaystyle L}$ (${\displaystyle 0<x<L}$), хвильові функції запишуться у вигляді

${\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}$

та нуль справа і зліва від ями. Тоді струм запишеться у вигляді

${\displaystyle j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0}$

оскільки ${\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.}$

Виведення рівняння неперевності

В цьому розділі рівняння неперевності виводиться із визначення струму ймовірності та основних принципів квантової механіки

Припустимо, що ${\displaystyle \Psi }$ — хвильова функція, яка залежить від трьох змінних ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, та ${\displaystyle z}$). Тоді

${\displaystyle P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV}$

визначає ймовірність виміряти позицію частинки в об'ємі V. Похідна по часу запишеться у вигляді

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV}$

де останнє рівння припускає, що часткову похідну по часу можна внести під інтеграл (форма об'єму ${\displaystyle V}$ не залежить від часу). Для подальшого спрощення роглянемо нестаціонарне Рівняння Шредінгера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi }$

і використаємо його, щоб виділити похідну по часу від ${\displaystyle \Psi }$:

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\Psi }$

Реузльат підстановки в попереднє рівняння для ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}}$ дає

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV}$.

Тепер після переходу до дивергенції

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\vec {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec {\nabla }}\Psi \cdot {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi {\vec {\nabla }}^{2}\Psi ^{*}}$

і, оскільки, перший та третій доданки скорочуються:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)dV}$

Якщо згадаємо вираз для ${\displaystyle P}$ і зауважимо, що вираз на який діє оператор набла є ${\displaystyle {\vec {j}}}$ тоді запишем вираз

${\displaystyle \int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}\right)dV=0}$

який є інтегральною формою рівняння неперевності. Диференціальна форма випливає з того факту, що попередні рівняння виконана для всіх об'ємів ${\displaystyle V}$, і інтегралом можна знехтувати

${\displaystyle {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0.}$

Посилання

Савула Я. Метод скінченних елементів (окремі сторінки посібника 1993 р.) http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/savula.pdf^{[недоступне посилання]}

Шинкаренко Г. Чисельні методи математичної фізики (окремі сторінки чорновика посібника)http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/nmmf.pdf [ 21 квітня 2018 у Wayback Machine.]