У дискретній геометрії та механіці структурна жорсткість є комбінаторною теорією для передбачення гнучкості ансамблів, утворених твердими тілами, з'єднаними гнучкими ланками або шарнірами .
Визначення
Жорсткість — це властивість конструкції, яка полягає в тому, що вона не згинається і не прогинається під дією прикладеної сили. Протилежністю жорсткості є гнучкість. У теорії структурної жорсткості конструкції утворюються наборами об'єктів, які самі по собі є твердими тілами, часто приймають прості геометричні форми, такі як прямі стрижні (відрізки), з парами об'єктів, з'єднаних гнучкими шарнірами. Конструкція є жорсткою, якщо вона не може згинатися; тобто якщо немає безперервного руху конструкції, яка зберігає форму своїх жорстких компонентів і схему їх з'єднань на шарнірах.
Є два принципово різних види жорсткості. Скінченна або макроскопічна жорсткість означає, що конструкція не буде згинатися, складатися або згинатися на позитивну величину. Нескінченно мала жорсткість означає, що конструкція не прогинається навіть на величину, яка є надто малою, щоб її можна було виявити навіть теоретично. (Технічно це означає, що певні диференціальні рівняння не мають ненульових розв'язків.) Важливість скінченної жорсткості очевидна, але нескінченно мала жорсткість також має вирішальне значення, оскільки нескінченно мала гнучкість у теорії відповідає незначному вигину в реальному світі та, як наслідок, погіршенню конструкції.
Жорсткий граф — це вкладення графа в евклідів простір, яке є структурно жорстким. Тобто граф є жорстким, якщо жорсткою є структура, утворена заміною ребер на жорсткі стрижні, а вершин на гнучкі шарніри. Граф, який не є жорстким, називається гнучким. Більш формально, вкладення графа є гнучким, якщо вершини можна безперервно переміщувати, зберігаючи відстані між сусідніми вершинами, в результаті чого відстані між деякими несуміжними вершинами змінюються. Остання умова виключає евклідові конгруенції, такі як простий переклад і поворот.
Також можна розглядати проблеми жорсткості для графів, у яких деякі ребра представляють елементи стиснення (здатні розтягуватися до більшої довжини, але не стискатися до меншої довжини), тоді як інші ребра представляють елементи розтягування (здатні стискатися, але не розтягуватися). Жорсткий граф із ребрами цих типів утворює математичну модель структури тенсегріті.
Математика жорсткості
Фундаментальна проблема полягає в тому, як передбачити жорсткість конструкції за допомогою теоретичного аналізу, не будуючи її. Основні результати в цій галузі включають наступне:
- У будь-якому вимірі жорсткість стрижнево-шарнірних зв'язків описується матроїдом. Основою двовимірного [en] (мінімально жорстких графів на площині) є графи Ламана.
- Теорема Коші стверджує, що тривимірний опуклий багатогранник, побудований із жорсткими пластинами для його граней, з'єднаних шарнірами по краях, утворює жорстку структуру.
- Гнучкі многогранники, неопуклі багатогранники, які не є жорсткими, були побудовані [en], Робертом Коннеллі та іншими. Гіпотеза сильфона, тепер доведена, стверджує, що кожен безперервний рух гнучкого многогранника зберігає його об'єм .
- У задачі [en], де каркас, який потрібно зробити жорстким, є квадратною сіткою з доданими діагоналями у якості [en], жорсткість структури можна проаналізувати, перевівши її в проблему зв'язності основного дводольного графа.
Однак у багатьох інших простих ситуаціях ще не завжди відомо, як математично проаналізувати жорсткість конструкції, попри існування значної математичної теорії.
Історія
Одним із засновників математичної теорії структурної жорсткості був видатний фізик Джеймс Клерк Максвелл. Наприкінці двадцятого століття стався розквіт математичної теорії жорсткості, який продовжується у двадцять першому столітті.
«[А] теорія рівноваги та прогинів каркасів, що піддаються дії сил, діє на твердість якості… у випадках, коли каркас… зміцнюється додатковими сполучними елементами… у випадках трьох розмірів, за звичайним методом рівнянь сил, кожна точка матиме три рівняння для визначення її рівноваги, щоб дати 3s рівнянь між e невідомими величинами, якщо s — кількість точок, а e — кількість з'єднань [sic]. Є, однак, шість рівнянь рівноваги системи, які обов'язково повинні виконуватися силами через рівність дії та протидії в кожній частині. Отже, якщо e = 3s − 6, ефект будь-якої вічної сили буде певним у створенні напруги або тиску в різних частинах; але якщо e > 3s − 6 ці сили будуть невизначеними. . . .»
Див. також
- [en]
- [en]
- [en]
Примітки
- Weisstein, Eric W. Rigid Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Flexible Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- ; Graver, Jack E. (1983), 3.10 Bracing structures, Incidence and Symmetry in Design and Architecture, Cambridge Urban and Architectural Studies, Cambridge, UK: Cambridge University Press, с. 76—87, ISBN
- Graver, Jack E. (2001), Counting on Frameworks: Mathematics to Aid the Design of Rigid Structures, The Dolciani Mathematical Expositions, т. 25, Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN , MR 1843781.
- Maxwell, James Cleark (1864), On reciprocal figures and diagrams of forces, Philosophical Magazine, 4th Series, т. 27, № 182, с. 250—261, doi:10.1080/14786446408643663
Джерела
- Alfakih, Abdo Y. (2007), On dimensional rigidity of bar-and-joint frameworks, [en], 155 (10): 1244—1253, doi:10.1016/j.dam.2006.11.011, MR 2332317.
- (1980), The rigidity of certain cabled frameworks and the second-order rigidity of arbitrarily triangulated convex surfaces, [en], 37 (3): 272—299, doi:10.1016/0001-8708(80)90037-7, MR 0591730.
- (1979), Structural rigidity, Structural Topology (1): 26—45, 73, MR 0621627.
- Maxwell, J. C. (1864), On reciprocal figures and diagrams of forces, Philosophical Magazine, 4th Series, 27 (182): 250—261, doi:10.1080/14786446408643663.
- Rybnikov, Konstantin; Zaslavsky, Thomas (2005), Criteria for balance in abelian gain graphs, with applications to piecewise-linear geometry, [en], 34 (2): 251—268, arXiv:math/0210052, doi:10.1007/s00454-005-1170-6, MR 2155721.
- (1988), The union of matroids and the rigidity of frameworks, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 1 (2): 237—255, doi:10.1137/0401025, MR 0941354
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U diskretnij geometriyi ta mehanici strukturna zhorstkist ye kombinatornoyu teoriyeyu dlya peredbachennya gnuchkosti ansambliv utvorenih tverdimi tilami z yednanimi gnuchkimi lankami abo sharnirami Grafi malyuyutsya u viglyadi strizhniv z yednanih sharnirami sho obertayutsya Ciklichnij graf C4 namalovanij u viglyadi kvadrata mozhe buti nahilenij sinoyu siloyu v paralelogram tomu ce gnuchkij graf K3 namalovanij u viglyadi trikutnika ne mozhe buti zminenij zhodnoyu siloyu prikladenoyu do nogo tomu vin ye zhorstkim grafom ViznachennyaZhorstkist ce vlastivist konstrukciyi yaka polyagaye v tomu sho vona ne zginayetsya i ne proginayetsya pid diyeyu prikladenoyi sili Protilezhnistyu zhorstkosti ye gnuchkist U teoriyi strukturnoyi zhorstkosti konstrukciyi utvoryuyutsya naborami ob yektiv yaki sami po sobi ye tverdimi tilami chasto prijmayut prosti geometrichni formi taki yak pryami strizhni vidrizki z parami ob yektiv z yednanih gnuchkimi sharnirami Konstrukciya ye zhorstkoyu yaksho vona ne mozhe zginatisya tobto yaksho nemaye bezperervnogo ruhu konstrukciyi yaka zberigaye formu svoyih zhorstkih komponentiv i shemu yih z yednan na sharnirah Ye dva principovo riznih vidi zhorstkosti Skinchenna abo makroskopichna zhorstkist oznachaye sho konstrukciya ne bude zginatisya skladatisya abo zginatisya na pozitivnu velichinu Neskinchenno mala zhorstkist oznachaye sho konstrukciya ne proginayetsya navit na velichinu yaka ye nadto maloyu shob yiyi mozhna bulo viyaviti navit teoretichno Tehnichno ce oznachaye sho pevni diferencialni rivnyannya ne mayut nenulovih rozv yazkiv Vazhlivist skinchennoyi zhorstkosti ochevidna ale neskinchenno mala zhorstkist takozh maye virishalne znachennya oskilki neskinchenno mala gnuchkist u teoriyi vidpovidaye neznachnomu viginu v realnomu sviti ta yak naslidok pogirshennyu konstrukciyi Zhorstkij graf ce vkladennya grafa v evklidiv prostir yake ye strukturno zhorstkim Tobto graf ye zhorstkim yaksho zhorstkoyu ye struktura utvorena zaminoyu reber na zhorstki strizhni a vershin na gnuchki sharniri Graf yakij ne ye zhorstkim nazivayetsya gnuchkim Bilsh formalno vkladennya grafa ye gnuchkim yaksho vershini mozhna bezperervno peremishuvati zberigayuchi vidstani mizh susidnimi vershinami v rezultati chogo vidstani mizh deyakimi nesumizhnimi vershinami zminyuyutsya Ostannya umova viklyuchaye evklidovi kongruenciyi taki yak prostij pereklad i povorot Takozh mozhna rozglyadati problemi zhorstkosti dlya grafiv u yakih deyaki rebra predstavlyayut elementi stisnennya zdatni roztyaguvatisya do bilshoyi dovzhini ale ne stiskatisya do menshoyi dovzhini todi yak inshi rebra predstavlyayut elementi roztyaguvannya zdatni stiskatisya ale ne roztyaguvatisya Zhorstkij graf iz rebrami cih tipiv utvoryuye matematichnu model strukturi tensegriti Matematika zhorstkostiVereteno Mozera zhorstkij graf i priklad grafa Lamana Fundamentalna problema polyagaye v tomu yak peredbachiti zhorstkist konstrukciyi za dopomogoyu teoretichnogo analizu ne buduyuchi yiyi Osnovni rezultati v cij galuzi vklyuchayut nastupne U bud yakomu vimiri zhorstkist strizhnevo sharnirnih zv yazkiv opisuyetsya matroyidom Osnovoyu dvovimirnogo en minimalno zhorstkih grafiv na ploshini ye grafi Lamana Teorema Koshi stverdzhuye sho trivimirnij opuklij bagatogrannik pobudovanij iz zhorstkimi plastinami dlya jogo granej z yednanih sharnirami po krayah utvoryuye zhorstku strukturu Gnuchki mnogogranniki neopukli bagatogranniki yaki ne ye zhorstkimi buli pobudovani en Robertom Konnelli ta inshimi Gipoteza silfona teper dovedena stverdzhuye sho kozhen bezperervnij ruh gnuchkogo mnogogrannika zberigaye jogo ob yem U zadachi en de karkas yakij potribno zrobiti zhorstkim ye kvadratnoyu sitkoyu z dodanimi diagonalyami u yakosti en zhorstkist strukturi mozhna proanalizuvati perevivshi yiyi v problemu zv yaznosti osnovnogo dvodolnogo grafa Odnak u bagatoh inshih prostih situaciyah she ne zavzhdi vidomo yak matematichno proanalizuvati zhorstkist konstrukciyi popri isnuvannya znachnoyi matematichnoyi teoriyi IstoriyaOdnim iz zasnovnikiv matematichnoyi teoriyi strukturnoyi zhorstkosti buv vidatnij fizik Dzhejms Klerk Maksvell Naprikinci dvadcyatogo stolittya stavsya rozkvit matematichnoyi teoriyi zhorstkosti yakij prodovzhuyetsya u dvadcyat pershomu stolitti A teoriya rivnovagi ta proginiv karkasiv sho piddayutsya diyi sil diye na tverdist yakosti u vipadkah koli karkas zmicnyuyetsya dodatkovimi spoluchnimi elementami u vipadkah troh rozmiriv za zvichajnim metodom rivnyan sil kozhna tochka matime tri rivnyannya dlya viznachennya yiyi rivnovagi shob dati 3s rivnyan mizh e nevidomimi velichinami yaksho s kilkist tochok a e kilkist z yednan sic Ye odnak shist rivnyan rivnovagi sistemi yaki obov yazkovo povinni vikonuvatisya silami cherez rivnist diyi ta protidiyi v kozhnij chastini Otzhe yaksho e 3s 6 efekt bud yakoyi vichnoyi sili bude pevnim u stvorenni naprugi abo tisku v riznih chastinah ale yaksho e gt 3s 6 ci sili budut neviznachenimi Div takozh en en en PrimitkiWeisstein Eric W Rigid Graph angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Flexible Graph angl na sajti Wolfram MathWorld Graver Jack E 1983 3 10 Bracing structures Incidence and Symmetry in Design and Architecture Cambridge Urban and Architectural Studies Cambridge UK Cambridge University Press s 76 87 ISBN 9780521297844 Graver Jack E 2001 Counting on Frameworks Mathematics to Aid the Design of Rigid Structures The Dolciani Mathematical Expositions t 25 Washington DC Mathematical Association of America ISBN 0 88385 331 0 MR 1843781 Maxwell James Cleark 1864 On reciprocal figures and diagrams of forces Philosophical Magazine 4th Series t 27 182 s 250 261 doi 10 1080 14786446408643663DzherelaAlfakih Abdo Y 2007 On dimensional rigidity of bar and joint frameworks en 155 10 1244 1253 doi 10 1016 j dam 2006 11 011 MR 2332317 1980 The rigidity of certain cabled frameworks and the second order rigidity of arbitrarily triangulated convex surfaces en 37 3 272 299 doi 10 1016 0001 8708 80 90037 7 MR 0591730 1979 Structural rigidity Structural Topology 1 26 45 73 MR 0621627 Maxwell J C 1864 On reciprocal figures and diagrams of forces Philosophical Magazine 4th Series 27 182 250 261 doi 10 1080 14786446408643663 Rybnikov Konstantin Zaslavsky Thomas 2005 Criteria for balance in abelian gain graphs with applications to piecewise linear geometry en 34 2 251 268 arXiv math 0210052 doi 10 1007 s00454 005 1170 6 MR 2155721 1988 The union of matroids and the rigidity of frameworks SIAM Journal on Discrete Mathematics 1 2 237 255 doi 10 1137 0401025 MR 0941354