У статистиці стандартна оцінка — це кількість стандартних відхилень, на яку значення (тобто спостережуваного значення або точки даних) вище або нижче середнього значення того, що спостерігається або вимірюється. Необроблені бали вище середнього мають позитивні стандартні бали, а ті, що нижче середнього, мають негативні стандартні бали.
Він розраховується шляхом віднімання середнього значення генеральної сукупності від індивідуального необробленого балу, а потім ділення різниці на стандартне відхилення генеральної сукупності. Цей процес перетворення необробленої оцінки в стандартну оцінку називається стандартизацією або нормалізацією (проте «нормалізація» може стосуватися багатьох типів співвідношень; див. Нормалізація для отримання додаткової інформації).
Стандартні бали найчастіше називають z -балами; ці два терміни можуть використовуватися як взаємозамінні, як і в цій статті. Інші еквівалентні терміни, що використовуються, включають z-значення, z-статистику, нормальний бал, стандартизовану змінну та тягу у фізиці високих енергій.
Обчислення z-показника вимагає знання середнього значення та стандартного відхилення повної сукупності, до якої належить точка даних; якщо є лише вибірка спостережень із генеральної сукупності, то аналогічне обчислення з використанням вибіркового середнього та вибіркового стандартного відхилення дає .
Розрахунок
Якщо середнє значення сукупності та стандартне відхилення сукупності відомі, необроблений бал x перетворюється на стандартний бал за
де:
- μ – середнє значення сукупності,
- σ — стандартне відхилення сукупності.
Абсолютне значення z представляє відстань між необробленим показником x і середнім значенням сукупності в одиницях стандартного відхилення. z є негативним, якщо необроблений бал нижче середнього, позитивним, якщо вище.
Обчислення z за цією формулою вимагає використання середнього значення сукупності та стандартного відхилення сукупності, а не середнього значення чи відхилення вибірки. Однак знання справжнього середнього значення та стандартного відхилення сукупності часто є нереалістичним очікуванням, за винятком таких випадків, як стандартизоване тестування, коли вимірюється вся сукупність.
Якщо середнє значення сукупності та стандартне відхилення сукупності невідомі, стандартний бал можна оцінити за допомогою вибіркового середнього значення та стандартного відхилення вибірки як оцінки значень сукупності.
У цих випадках z -показник визначається як
де:
- є середнім значенням вибірки,
- S — стандартне відхилення вибірки.
Хоча це завжди слід зазначати, різниця між використанням генеральної сукупності та вибіркової статистики часто не робиться. У будь-якому випадку чисельник і знаменник рівнянь мають однакові одиниці вимірювання, тому одиниці компенсуються діленням, а z залишається безрозмірною величиною.
Додатки
Z-тест
Z-показник часто використовується в z-критерії стандартизованого тестування – аналогі t-критерію Стьюдента для сукупності, параметри якої відомі, а не оцінені. Оскільки знати всю популяцію дуже незвично, t-тест використовується набагато ширше.
Інтервали прогнозування
Стандартну оцінку можна використовувати для розрахунку . Інтервал передбачення [L, U ], що складається з нижньої кінцевої точки, позначеної L, і верхньої кінцевої точки, позначеної U, — це такий інтервал, що майбутнє спостереження X буде лежати в інтервалі з високою ймовірністю. , тобто
Для стандартної оцінки Z від X це дає:
Визначаючи квантиль z таким чином, що
це слідує:
Контроль процесів
У додатках керування процесом значення Z забезпечує оцінку ступеня, до якого процес працює не за призначенням.
Порівняння балів, виміряних за різними шкалами: ACT і SAT
Коли оцінки вимірюються за різними шкалами, їх можна конвертувати в z-показники, щоб полегшити порівняння. Дітц та ін. наводять наступний приклад, порівнюючи бали учнів на (старих) тестах SAT і ACT для середньої школи. У таблиці показано середнє значення та стандартне відхилення для загальних балів за SAT та ACT. Припустімо, що студент A набрав 1800 балів на SAT, а студент B набрав 24 бали на ACT. Хто зі студентів показав кращі результати порівняно з іншими учасниками тестування?
SAT | ДІЙ | |
---|---|---|
Середній | 1500 | 21 |
Стандартне відхилення | 300 | 5 |
Z-бал для студента А є
Z-бал для студента Б становить
Оскільки студент A має вищий z-бал, ніж студент B, студент A показав кращі результати порівняно з іншими тестувальниками, ніж студент B.
Відсоток спостережень нижче z-показника
Продовжуючи приклад балів ACT і SAT, якщо додатково можна припустити, що обидва бали ACT і SAT розподілені нормально (що є приблизно правильним), тоді z-бали можна використовувати для розрахунку відсотка учасників тестування, які отримали нижчі бали, ніж студенти А і Б.
Кластерний аналіз і багатовимірне масштабування
«Для деяких багатовимірних методів, таких як багатовимірне масштабування та кластерний аналіз, концепція відстані між одиницями в даних часто становить значний інтерес і важливе значення... Коли змінні в багатовимірному наборі даних мають різні масштаби, має сенс розрахувати відстані після певної форми стандартизації».
Аналіз головних компонент
В аналізі головних компонентів «змінні, виміряні на різних шкалах або на загальній шкалі з дуже різними діапазонами, часто стандартизовані».
Відносна важливість змінних у множинній регресії: стандартизовані коефіцієнти регресії
Стандартизація змінних перед множинним регресійним аналізом іноді використовується як допомога для інтерпретації. (сторінка 95) зазначте наступне.
«Стандартизований нахил регресії — це нахил у рівнянні регресії, якщо X і Y стандартизовані… Стандартизація X і Y здійснюється шляхом віднімання відповідних середніх значень із кожного набору спостережень і ділення на відповідні стандартні відхилення… У множинній регресії, де кілька Використовуються змінні X, стандартизовані коефіцієнти регресії кількісно визначають відносний внесок кожної змінної X».
Однак Kutner et al. (стор. 278) дають таке застереження: «… треба бути обережним щодо інтерпретації будь-яких коефіцієнтів регресії, незалежно від того, стандартизовані вони чи ні. Причина полягає в тому, що коли змінні предиктора корелюють між собою, … коефіцієнти регресії залежать від інші змінні предикторів у моделі... На величини стандартизованих коефіцієнтів регресії впливає не лише наявність кореляцій між змінними предикторів, але й інтервали спостережень за кожною з цих змінних. Іноді ці інтервали можуть бути досить довільними. Отже,, як правило, нерозумно інтерпретувати величини стандартизованих коефіцієнтів регресії як відображення порівняльної важливості змінних предикторів».
Стандартизація в математичній статистиці
У математичній статистиці випадкова величина X стандартизується шляхом віднімання її очікуваного значення і ділення різниці на її стандартне відхилення
Якщо випадкова змінна, що розглядається, є вибірковим середнім для випадкової вибірки з X:
то стандартизована версія
- Де дисперсія стандартизованого вибіркового середнього розраховувалась наступним чином:
Т-оцінка
В освітньому оцінюванні Т-бал є стандартним балом Z, зміщеним і масштабованим, щоб мати середнє значення 50 і стандартне відхилення 10. Він також відомий як хенсачі японською мовою, де ця концепція набагато ширше відома та використовується в контексті вступу до середньої школи та університету.
При вимірюванні щільності кісткової тканини T-показник є стандартним показником вимірювання порівняно з популяцією здорових 30-річних дорослих, і має звичайне середнє значення 0 і стандартне відхилення 1.
Див. також
Примітки
- Mulders, Martijn, ред. (2017). 2015 European School of High-Energy Physics: Bansko, Bulgaria 02 - 15 Sep 2015. CERN Yellow Reports: School Proceedings. Geneva: CERN. ISBN .
- Gross, Eilam (6 листопада 2017). Practical Statistics for High Energy Physics. CERN Yellow Reports: School Proceedings (англ.). 4/2017: 165—186. doi:10.23730/CYRSP-2017-004.165.
- (1979). Advanced Engineering Mathematics (вид. Fourth). Wiley. с. 880, eq. 5. ISBN .
- Spiegel, Murray R.; Stephens, Larry J (2008), Schaum's Outlines Statistics (вид. Fourth), McGraw Hill, ISBN
- Mendenhall, William; Sincich, Terry (2007), Statistics for Engineering and the Sciences (вид. Fifth), Pearson / Prentice Hall, ISBN
- Glantz, Stanton A.; Slinker, Bryan K.; Neilands, Torsten B. (2016), Primer of Applied Regression & Analysis of Variance (вид. Third), McGraw Hill, ISBN
- Aho, Ken A. (2014), Foundational and Applied Statistics for Biologists (вид. First), Chapman & Hall / CRC Press, ISBN
- (1979). Advanced Engineering Mathematics (вид. Fourth). Wiley. с. 880, eq. 6. ISBN .
- Diez, David; Barr, Christopher; Çetinkaya-Rundel, Mine (2012), OpenIntro Statistics (вид. Second), openintro.org
- Everitt, Brian; Hothorn, Torsten J (2011), An Introduction to Applied Multivariate Analysis with R, Springer, ISBN
- Johnson, Richard; Wichern, Wichern (2007), Applied Multivariate Statistical Analysis, Pearson / Prentice Hall
- Afifi, Abdelmonem; May, Susanne K.; Clark, Virginia A. (2012), Practical Multivariate Analysis (вид. Fifth), Chapman & Hall/CRC, ISBN
- Kutner, Michael; Nachtsheim, Christopher; Neter, John (204), Applied Linear Regression Models (вид. Fourth), McGraw Hill, ISBN
- John Salvia; James Ysseldyke; Sara Witmer (29 January 2009). Assessment: In Special and Inclusive Education. Cengage Learning. с. 43–. ISBN .
- Edward S. Neukrug; R. Charles Fawcett (1 January 2014). Essentials of Testing and Assessment: A Practical Guide for Counselors, Social Workers, and Psychologists. Cengage Learning. с. 133–. ISBN .
- Randy W. Kamphaus (16 August 2005). Clinical Assessment of Child and Adolescent Intelligence. Springer. с. 123–. ISBN .
- Bone Mass Measurement: What the Numbers Mean. NIH Osteoporosis and Related Bone Diseases National Resource Center. National Institute of Health. Процитовано 5 August 2017.
Посилання
- Інтерактивний Flash про z-показники та ймовірності нормальної кривої від Джима Ріда
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U statistici standartna ocinka ce kilkist standartnih vidhilen na yaku znachennya tobto sposterezhuvanogo znachennya abo tochki danih vishe abo nizhche serednogo znachennya togo sho sposterigayetsya abo vimiryuyetsya Neobrobleni bali vishe serednogo mayut pozitivni standartni bali a ti sho nizhche serednogo mayut negativni standartni bali Porivnyannya riznih metodiv klasifikaciyi v normalnomu rozpodili vklyuchayuchi standartni vidhilennya kumulyativni vidsotki procentilni ekvivalenti z pokazniki T pokazniki Vin rozrahovuyetsya shlyahom vidnimannya serednogo znachennya generalnoyi sukupnosti vid individualnogo neobroblenogo balu a potim dilennya riznici na standartne vidhilennya generalnoyi sukupnosti Cej proces peretvorennya neobroblenoyi ocinki v standartnu ocinku nazivayetsya standartizaciyeyu abo normalizaciyeyu prote normalizaciya mozhe stosuvatisya bagatoh tipiv spivvidnoshen div Normalizaciya dlya otrimannya dodatkovoyi informaciyi Standartni bali najchastishe nazivayut z balami ci dva termini mozhut vikoristovuvatisya yak vzayemozaminni yak i v cij statti Inshi ekvivalentni termini sho vikoristovuyutsya vklyuchayut z znachennya z statistiku normalnij bal standartizovanu zminnu ta tyagu u fizici visokih energij Obchislennya z pokaznika vimagaye znannya serednogo znachennya ta standartnogo vidhilennya povnoyi sukupnosti do yakoyi nalezhit tochka danih yaksho ye lishe vibirka sposterezhen iz generalnoyi sukupnosti to analogichne obchislennya z vikoristannyam vibirkovogo serednogo ta vibirkovogo standartnogo vidhilennya daye RozrahunokYaksho serednye znachennya sukupnosti ta standartne vidhilennya sukupnosti vidomi neobroblenij bal x peretvoryuyetsya na standartnij bal za z x ms displaystyle z x mu over sigma de m serednye znachennya sukupnosti s standartne vidhilennya sukupnosti Absolyutne znachennya z predstavlyaye vidstan mizh neobroblenim pokaznikom x i serednim znachennyam sukupnosti v odinicyah standartnogo vidhilennya z ye negativnim yaksho neobroblenij bal nizhche serednogo pozitivnim yaksho vishe Obchislennya z za ciyeyu formuloyu vimagaye vikoristannya serednogo znachennya sukupnosti ta standartnogo vidhilennya sukupnosti a ne serednogo znachennya chi vidhilennya vibirki Odnak znannya spravzhnogo serednogo znachennya ta standartnogo vidhilennya sukupnosti chasto ye nerealistichnim ochikuvannyam za vinyatkom takih vipadkiv yak standartizovane testuvannya koli vimiryuyetsya vsya sukupnist Yaksho serednye znachennya sukupnosti ta standartne vidhilennya sukupnosti nevidomi standartnij bal mozhna ociniti za dopomogoyu vibirkovogo serednogo znachennya ta standartnogo vidhilennya vibirki yak ocinki znachen sukupnosti U cih vipadkah z pokaznik viznachayetsya yak z x x S displaystyle z x bar x over S de x displaystyle bar x ye serednim znachennyam vibirki S standartne vidhilennya vibirki Hocha ce zavzhdi slid zaznachati riznicya mizh vikoristannyam generalnoyi sukupnosti ta vibirkovoyi statistiki chasto ne robitsya U bud yakomu vipadku chiselnik i znamennik rivnyan mayut odnakovi odinici vimiryuvannya tomu odinici kompensuyutsya dilennyam a z zalishayetsya bezrozmirnoyu velichinoyu DodatkiZ test Z pokaznik chasto vikoristovuyetsya v z kriteriyi standartizovanogo testuvannya analogi t kriteriyu Styudenta dlya sukupnosti parametri yakoyi vidomi a ne ocineni Oskilki znati vsyu populyaciyu duzhe nezvichno t test vikoristovuyetsya nabagato shirshe Intervali prognozuvannya Standartnu ocinku mozhna vikoristovuvati dlya rozrahunku Interval peredbachennya L U sho skladayetsya z nizhnoyi kincevoyi tochki poznachenoyi L i verhnoyi kincevoyi tochki poznachenoyi U ce takij interval sho majbutnye sposterezhennya X bude lezhati v intervali z visokoyu jmovirnistyu g displaystyle gamma tobto P L lt X lt U g displaystyle P L lt X lt U gamma Dlya standartnoyi ocinki Z vid X ce daye P L ms lt Z lt U ms g displaystyle P left frac L mu sigma lt Z lt frac U mu sigma right gamma Viznachayuchi kvantil z takim chinom sho P z lt Z lt z g displaystyle P left z lt Z lt z right gamma ce sliduye L m zs U m zs displaystyle L mu z sigma U mu z sigma Kontrol procesiv U dodatkah keruvannya procesom znachennya Z zabezpechuye ocinku stupenya do yakogo proces pracyuye ne za priznachennyam Porivnyannya baliv vimiryanih za riznimi shkalami ACT i SAT Ocinka Z dlya studenta A bula 1 tobto student A buv na 1 standartne vidhilennya vishe serednogo Takim chinom student A pokazav 84 13 procentil na SAT Koli ocinki vimiryuyutsya za riznimi shkalami yih mozhna konvertuvati v z pokazniki shob polegshiti porivnyannya Ditc ta in navodyat nastupnij priklad porivnyuyuchi bali uchniv na starih testah SAT i ACT dlya serednoyi shkoli U tablici pokazano serednye znachennya ta standartne vidhilennya dlya zagalnih baliv za SAT ta ACT Pripustimo sho student A nabrav 1800 baliv na SAT a student B nabrav 24 bali na ACT Hto zi studentiv pokazav krashi rezultati porivnyano z inshimi uchasnikami testuvannya SAT DIJSerednij 1500 21Standartne vidhilennya 300 5Z ocinka dlya studenta B stanovila 0 6 tobto student B buv na 0 6 standartnogo vidhilennya vishe serednogo Takim chinom student B pokazav 72 57 procentil na SAT Z bal dlya studenta A ye z x ms 1800 1500300 1 displaystyle z x mu over sigma 1800 1500 over 300 1 Z bal dlya studenta B stanovit z x ms 24 215 0 6 displaystyle z x mu over sigma 24 21 over 5 0 6 Oskilki student A maye vishij z bal nizh student B student A pokazav krashi rezultati porivnyano z inshimi testuvalnikami nizh student B Vidsotok sposterezhen nizhche z pokaznika Prodovzhuyuchi priklad baliv ACT i SAT yaksho dodatkovo mozhna pripustiti sho obidva bali ACT i SAT rozpodileni normalno sho ye priblizno pravilnim todi z bali mozhna vikoristovuvati dlya rozrahunku vidsotka uchasnikiv testuvannya yaki otrimali nizhchi bali nizh studenti A i B Klasternij analiz i bagatovimirne masshtabuvannya Dlya deyakih bagatovimirnih metodiv takih yak bagatovimirne masshtabuvannya ta klasternij analiz koncepciya vidstani mizh odinicyami v danih chasto stanovit znachnij interes i vazhlive znachennya Koli zminni v bagatovimirnomu nabori danih mayut rizni masshtabi maye sens rozrahuvati vidstani pislya pevnoyi formi standartizaciyi Analiz golovnih komponent V analizi golovnih komponentiv zminni vimiryani na riznih shkalah abo na zagalnij shkali z duzhe riznimi diapazonami chasto standartizovani Vidnosna vazhlivist zminnih u mnozhinnij regresiyi standartizovani koeficiyenti regresiyi Standartizaciya zminnih pered mnozhinnim regresijnim analizom inodi vikoristovuyetsya yak dopomoga dlya interpretaciyi storinka 95 zaznachte nastupne Standartizovanij nahil regresiyi ce nahil u rivnyanni regresiyi yaksho X i Y standartizovani Standartizaciya X i Y zdijsnyuyetsya shlyahom vidnimannya vidpovidnih serednih znachen iz kozhnogo naboru sposterezhen i dilennya na vidpovidni standartni vidhilennya U mnozhinnij regresiyi de kilka Vikoristovuyutsya zminni X standartizovani koeficiyenti regresiyi kilkisno viznachayut vidnosnij vnesok kozhnoyi zminnoyi X Odnak Kutner et al stor 278 dayut take zasterezhennya treba buti oberezhnim shodo interpretaciyi bud yakih koeficiyentiv regresiyi nezalezhno vid togo standartizovani voni chi ni Prichina polyagaye v tomu sho koli zminni prediktora korelyuyut mizh soboyu koeficiyenti regresiyi zalezhat vid inshi zminni prediktoriv u modeli Na velichini standartizovanih koeficiyentiv regresiyi vplivaye ne lishe nayavnist korelyacij mizh zminnimi prediktoriv ale j intervali sposterezhen za kozhnoyu z cih zminnih Inodi ci intervali mozhut buti dosit dovilnimi Otzhe yak pravilo nerozumno interpretuvati velichini standartizovanih koeficiyentiv regresiyi yak vidobrazhennya porivnyalnoyi vazhlivosti zminnih prediktoriv Standartizaciya v matematichnij statisticiU matematichnij statistici vipadkova velichina X standartizuyetsya shlyahom vidnimannya yiyi ochikuvanogo znachennya E X displaystyle operatorname E X i dilennya riznici na yiyi standartne vidhilennya s X Var X displaystyle sigma X sqrt operatorname Var X Z X E X s X displaystyle Z X operatorname E X over sigma X Yaksho vipadkova zminna sho rozglyadayetsya ye vibirkovim serednim dlya vipadkovoyi vibirki X1 Xn displaystyle X 1 dots X n z X X 1n i 1nXi displaystyle bar X 1 over n sum i 1 n X i to standartizovana versiya Z X E X s X n displaystyle Z frac bar X operatorname E bar X sigma X sqrt n De dispersiya standartizovanogo vibirkovogo serednogo rozrahovuvalas nastupnim chinom Var xi Var xi nVar xi ns2Var X Var xin 1n2Var xi ns2n2 s2n displaystyle begin array l operatorname Var left sum x i right sum operatorname Var x i n operatorname Var x i n sigma 2 operatorname Var overline X operatorname Var left frac sum x i n right frac 1 n 2 operatorname Var left sum x i right frac n sigma 2 n 2 frac sigma 2 n end array T ocinkaV osvitnomu ocinyuvanni T bal ye standartnim balom Z zmishenim i masshtabovanim shob mati serednye znachennya 50 i standartne vidhilennya 10 Vin takozh vidomij yak hensachi yaponskoyu movoyu de cya koncepciya nabagato shirshe vidoma ta vikoristovuyetsya v konteksti vstupu do serednoyi shkoli ta universitetu Pri vimiryuvanni shilnosti kistkovoyi tkanini T pokaznik ye standartnim pokaznikom vimiryuvannya porivnyano z populyaciyeyu zdorovih 30 richnih doroslih i maye zvichajne serednye znachennya 0 i standartne vidhilennya 1 Div takozhNormalizaciya statistika Vidstan Mahalanobisa Funkciya pomilokPrimitkiMulders Martijn red 2017 2015 European School of High Energy Physics Bansko Bulgaria 02 15 Sep 2015 CERN Yellow Reports School Proceedings Geneva CERN ISBN 978 92 9083 472 4 Gross Eilam 6 listopada 2017 Practical Statistics for High Energy Physics CERN Yellow Reports School Proceedings angl 4 2017 165 186 doi 10 23730 CYRSP 2017 004 165 1979 Advanced Engineering Mathematics vid Fourth Wiley s 880 eq 5 ISBN 0 471 02140 7 Spiegel Murray R Stephens Larry J 2008 Schaum s Outlines Statistics vid Fourth McGraw Hill ISBN 978 0 07 148584 5 Mendenhall William Sincich Terry 2007 Statistics for Engineering and the Sciences vid Fifth Pearson Prentice Hall ISBN 978 0131877061 Glantz Stanton A Slinker Bryan K Neilands Torsten B 2016 Primer of Applied Regression amp Analysis of Variance vid Third McGraw Hill ISBN 978 0071824118 Aho Ken A 2014 Foundational and Applied Statistics for Biologists vid First Chapman amp Hall CRC Press ISBN 978 1439873380 1979 Advanced Engineering Mathematics vid Fourth Wiley s 880 eq 6 ISBN 0 471 02140 7 Diez David Barr Christopher Cetinkaya Rundel Mine 2012 OpenIntro Statistics vid Second openintro org Everitt Brian Hothorn Torsten J 2011 An Introduction to Applied Multivariate Analysis with R Springer ISBN 978 1441996497 Johnson Richard Wichern Wichern 2007 Applied Multivariate Statistical Analysis Pearson Prentice Hall Afifi Abdelmonem May Susanne K Clark Virginia A 2012 Practical Multivariate Analysis vid Fifth Chapman amp Hall CRC ISBN 978 1439816806 Kutner Michael Nachtsheim Christopher Neter John 204 Applied Linear Regression Models vid Fourth McGraw Hill ISBN 978 0073014661 John Salvia James Ysseldyke Sara Witmer 29 January 2009 Assessment In Special and Inclusive Education Cengage Learning s 43 ISBN 978 0 547 13437 6 Edward S Neukrug R Charles Fawcett 1 January 2014 Essentials of Testing and Assessment A Practical Guide for Counselors Social Workers and Psychologists Cengage Learning s 133 ISBN 978 1 305 16183 2 Randy W Kamphaus 16 August 2005 Clinical Assessment of Child and Adolescent Intelligence Springer s 123 ISBN 978 0 387 26299 4 Bone Mass Measurement What the Numbers Mean NIH Osteoporosis and Related Bone Diseases National Resource Center National Institute of Health Procitovano 5 August 2017 PosilannyaInteraktivnij Flash pro z pokazniki ta jmovirnosti normalnoyi krivoyi vid Dzhima Rida