Спрощення дробу

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Дріб (значення).

${\displaystyle 8~/~13}$		${\displaystyle {\frac {8}{13}}}$	чисельник
чисельник	знаменник		знаменник
Два способи запису одного дробу

Дріб (звичайний дріб, простий дріб) — у математиці це представлення чисел або математичних величин у вигляді результату операції ділення.

Найчастіше дріб подається у формі ${\displaystyle a \over b}$, де ділене a називають чисельником, а дільник b — знаменником дробу. Також рівнозначно застосовують форму a:b або a/b. Знаменник дробу не може дорівнювати нулеві.

Історично, через дроби були побудовані раціональні числа, коли чисельник та знаменник це цілі числа.

Дроби застосовують для позначення частин деяких об'єктів. Наприклад:

• 2/3 (читається «дві третини») мешканців міста,
• 1/5 (читається «одна п'ята») кімнати.

Зображення дробів на прикладі торта. Четверта частина торта — відсутня. Залишилося три чверті.

Види дробів

• Раціональні дроби
• Десяткові дроби
• Правильні та неправильні дроби
• Мішані дроби
• Взаємно обернені дроби
• Ланцюгові дроби

Правильні та неправильні дроби

Якщо чисельник менший від знаменника, то такий дріб називається правильним, приклад: ${\displaystyle 3 \over 5}$.

Якщо чисельник більший від знаменника або рівний йому, то такий дріб називається неправильним, приклад: ${\displaystyle 7 \over 2}$ або ${\displaystyle 2 \over 2}$.

Неправильні дроби заведено подавати у вигляді мішаних чисел: ${\displaystyle {7 \over 2}=3{1 \over 2}}$.

Для того, щоб перетворити неправильний дріб на мішане число, потрібно чисельник поділити на знаменник. Наприклад, дробом 7/2 можна записати результат ділення числа 7 на число 2. Тоді цілу і дробову частини мішаного числа можна знайти так:

1. Виконуємо ділення націло: 7:2 = 3 (залишок 1).
2. Отримана неповна частка (3) буде цілою частиною мішаного числа,
3. Залишок (1) буде чисельником дробової частини.

Взаємообернені дроби

Два дроби називаються взаємно оберненими, якщо чисельник першого дробу дорівнює знаменнику другого і навпаки. Тобто взаємно оберненими є:
${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ і ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$
Дріб, обернений до цілого числа, має як чисельник одиницю, а як знаменник — це саме число. Тобто взаємно оберненими є:
${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$
Число 1 обернене саме до себе.

Операції над дробами

У цій статті подається спрощене поясненням операцій над раціональними числами, для детальнішого теоретичного пояснення, дивіться раціональне число.

Спрощення

Заміна дробу на рівний йому дріб шляхом ділення чисельника і знаменника на одне і те ж натуральне число, яке є їх спільним дільником.

Скорочення

Спрощення дробу на найбільший спільний дільник чисельника та знаменника.

Дріб називають нескоротним, якщо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дорівнює 1.

Додавання

Сумою двох дробів із спільним (однаковим) знаменником є дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник дорівнює спільному знаменнику доданків.

Щоб додати два дроби a:b та c:d, слід спершу звести їх до спільного знаменника, тобто помножити чисельник та знаменник кожного дробу на знаменник іншого^[]. Таким чином, ми отримаємо два дроби із однаковими знаменникамиб тоді:

${\displaystyle {{a \over b}+{c \over d}}={{{ad} \over {bd}}+{{cb} \over {db}}}={{ad+cb} \over {bd}}}$

Віднімання

За аналогією із додаванням дробів, визначається їх різниця:

${\displaystyle {{a \over b}-{c \over d}}={{a \over b}+{-c \over d}}={{{ad} \over {bd}}+{{-cb} \over {bd}}}={{ad-cb} \over {bd}}}$

Тобто, змінивши знак чисельника другого доданку на протилежний, ми просто додаємо їх.

Множення

Добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників. Якщо чисельник одного дробу і знаменник того самого або іншого дробу утворюють скоротний дріб, то його можна скоротити.

${\displaystyle {a \over b}\cdot {c \over d}}={{ac} \over {bd}}$

Якщо помножити дріб на його знаменник, вийде його чисельник:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times b=a}$

Добутком двох взаємно обернених дробів є завжди 1:

${\displaystyle {a \over b}\times {b \over a}=1}$

Множення дробу на натуральне число. Добуток дробу і натурального числа є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника із натуральним числом, а знаменник лишається без зміни.

${\displaystyle {\frac {3}{7}}\cdot 2={\frac {3\cdot 2}{7}}={\frac {6}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot 4={\frac {4}{2}}=2}$

Множення мішаних чисел. Для того щоб помножити два мішаних числа, потрібно:

• перетворити мішані дроби в неправильні;
• перемножити чисельники і знаменники дробів;
• скоротити отриманий дріб;
• якщо було отримано неправильний дріб потрібно перетворити його в мішаний.

Знаходження добутку двох мішаних чисел: ${\displaystyle {2}{\tfrac {1}{2}}\cdot {1}{\tfrac {2}{3}}={\tfrac {4+1}{2}}\cdot {\tfrac {3+2}{3}}={\tfrac {5}{2}}\cdot {\tfrac {5}{3}}={\tfrac {25}{6}}={4}{\tfrac {1}{6}}}$

Знаходження добутку мішаного дробу і цілого числа: ${\displaystyle {4}{\tfrac {1}{3}}\cdot 6={\tfrac {12+1}{3}}\cdot 6={\tfrac {13\cdot 6}{3}}=26}$

Знаходження добутку мішаного і звичайного дробу: ${\displaystyle {2}{\tfrac {1}{7}}\cdot {\tfrac {3}{5}}={\tfrac {14+1}{7}}\cdot {\tfrac {3}{5}}={\tfrac {15\cdot 3}{7\cdot 5}}={\tfrac {9}{7}}={1}{\tfrac {2}{7}}}$

Ділення

Часткою двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника діленого на знаменник дільника, а знаменник — добутку знаменника діленого на чисельник дільника:

${\displaystyle {{a \over b}:{c \over d}}={{a \over b} \over {c \over d}}={{ad} \over {bc}}}$

Ділення дробу на натуральне число. Щоб поділити дріб на натуральне число, потрібно знаменник дробу помножити на дане число, а чисельник залишити без змін.

${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}\div {2}={\tfrac {3}{7\cdot 2}}={\tfrac {3}{14}}}$

Ділення натурального числа на дріб. Щоб поділити натуральне число на дріб, потрібно число помножити на дріб обернений заданому. Щоб отримати дріб, обернений даному, слід поміняти місцями чисельник і знаменник.

${\displaystyle {2}\div {\tfrac {7}{2}}={2}\cdot {\tfrac {2}{7}}={\tfrac {4}{7}}}$

${\displaystyle {2}\div {\tfrac {4}{5}}={2}\cdot {\tfrac {5}{4}}={\tfrac {2\cdot 5}{2\cdot 2}}={\tfrac {4+1}{2}}={2}{\tfrac {1}{2}}}$

Ділення звичайних дробів. Щоб поділити один дріб на інший, потрібно помножити перший дріб на дріб, обернений другому.

${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}\div {\tfrac {4}{5}}={\tfrac {3}{7}}\cdot {\tfrac {5}{4}}={\tfrac {3\cdot 5}{7\cdot 4}}={\tfrac {15}{28}}}$

${\displaystyle {\tfrac {6}{7}}\div {\tfrac {4}{7}}={\tfrac {6}{7}}\cdot {\tfrac {7}{4}}={\tfrac {6\cdot 7}{7\cdot 4}}={\tfrac {3}{2}}={1}{\tfrac {1}{2}}}$

Ділення мішаних чисел. Щоб поділити одне мішане число на інше, потрібно:

• перетворити мішані числа в неправильні дроби;
• помножити перший дріб на дріб, обернений другому;
• скоротити отриманий дріб;
• якщо було отримано неправильний дріб перетворити неправильний дріб в мішане число.

${\displaystyle {1}{\tfrac {1}{2}}\div {2}{\tfrac {2}{3}}={\tfrac {2+1}{2}}\div {\tfrac {6+2}{3}}={\tfrac {3}{2}}\div {\tfrac {8}{3}}={\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {3}{8}}={\tfrac {9}{16}}}$

${\displaystyle {2}{\tfrac {1}{7}}\div {\tfrac {3}{5}}={\tfrac {14+1}{7}}\div {\tfrac {3}{5}}={\tfrac {15}{7}}\cdot {\tfrac {5}{3}}={\tfrac {25}{7}}={3}{\tfrac {4}{7}}}$

Порівняння

Якщо знаменники дробів рівні, то більший той дріб, у якого чисельник більший:

${\displaystyle {\frac {2}{7}}<{\frac {4}{7}}}$

Якщо чисельники дробів рівні, то більший той дріб, у якого знаменник менший:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}}$

Щоби порівняти дроби з різними знаменниками їх можна звести їх до однакових знаменників і потім порівняти їх:

Наприклад, що більше, ${\displaystyle {\frac {4}{7}}}$ чи ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ ?

${\displaystyle {\frac {4}{7}}={\frac {4\cdot 3}{7\cdot 3}}={\frac {12}{21}},\qquad {\frac {2}{3}}={\frac {2\cdot 7}{3\cdot 7}}={\frac {14}{21}}}$

Отже,

${\displaystyle {\frac {4}{7}}<{\frac {2}{3}}}$

Пропорції

Пропорції використовують дроби для представлення відношень, тобто того факту, що відношення певних складових частин двох предметів до відповідного цілого предмету є однаковим. Подається цей факт як правило у формі:

${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$

Похідні пропорції

Із цього факту виводяться формули для похідних пропорцій:

${\displaystyle {{ma+nb} \over {pa+qb}}={{mc+nd} \over {pc+qd}}}$

де

${\displaystyle pa+qb\neq 0}$

${\displaystyle pc+qd\neq 0}$

Висновок:

Із ${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$ слідує (помножимо ліву і праву частину рівності на b):

${\displaystyle {a}={{cb} \over d}}$

Підставимо отриманий вираз для a в формулу похідної пропорції:

${\displaystyle {{ma+nb} \over {pa+qb}}={{m{{cb} \over d}+nb} \over {p{{cb} \over d}+qb}}={{{{mcb} \over d}+nb} \over {{{pcb} \over d}+qb}}={{{mcb+nbd} \over d} \over {{pcb+qdb} \over d}}={{{b(mc+nd)} \over d}*{d \over {b(pc+qd)}}}={{mc+nd} \over {pc+qd}}}$

Часткові випадки

${\displaystyle {{a\pm b} \over b}={{c\pm d} \over d}}$,

${\displaystyle {{a-b} \over {a+b}}={{c-d} \over {c+d}}}$

Очевидно,

${\displaystyle a+b\neq 0}$

${\displaystyle c+d\neq 0}$

Алгебраїчні дроби

Докладніше: Алгебраїчний дріб

Алгебраїчний дріб це відношення двох алгебраїчних виразів. Як у випадку із частками цілих чисел, знаменник алгебраїчного дробу не може дорівнювати нулю. Наведемо два приклади алгебраїчних дробів — ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ та ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$. Алгебраїчні дроби є предметом того ж самого поля властивостей, як арифметичні дроби.

Якщо в чисельнику і знаменнику дробу поліноми, як у ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$, алгебраїчний дріб називається раціональним дробом (або раціональним виразом). Ірраціональний дріб це такий дріб, який не є раціональним, як, наприклад, такий що містить змінну під дробовим степенем або коренем, як у ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$.

Термінологія, яка використовується для описання алгебраїчних дробів подібна до тої, що і для звичайних дробів. Наприклад, алгебраїчні дроби мають найменший кратний знаменник, якщо єдиним спільним множником для чисельника і знаменника є 1 і −1. Алгебраїчний дріб, в якому чисельник або знаменник, або вони обидва, містить дріб, як, наприклад, ${\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}}$, називається складним дробом.

Педагогічні інструменти

У школі дріб можна демонструвати за допомогою різних інструментів. Можна використовувати частини кіл, частини стрічок, папір (для згортання або розрізання), частини у формі пирога, папір у клітинку, лічильні палички або геодошку, палички Кюїзенера, ^[en] та різне програмне забезпечення.

Див. також

• 0,(9)
• Розкладання раціональних дробів на елементарні дроби
• Перехресне множення
• Позбавлення від знаменників
• Медіанта (математика)
• FRACTRAN

Посилання в тексті

1. (Українська) . ISBN . Архів оригіналу за 8 грудня 2022. Процитовано 29 квітня 2023.
2. . ua.onlinemschool.com (укр.). Архів оригіналу за 25 квітня 2019. Процитовано 25 квітня 2019.
3. . ua.onlinemschool.com (укр.). Архів оригіналу за 25 квітня 2019. Процитовано 25 квітня 2019.

Джерела

• Г.Корн, Т.Корн «Справочник по математике для научних работников и инженеров»
• Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом «Додэка- XXI»,2008. — 544 с.

Посилання

• Дріб // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Поняття раціонального дробу // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 389. — 594 с.