Словникова метрика на групі

Словникова метрика — спосіб задавати відстані на скінченнопородженій групі.

Побудова

Якщо вибрано та зафіксовано скінченну систему твірних ${\displaystyle F}$ у скінченнопородженій групі ${\displaystyle \Gamma }$, то відстань між елементами ${\displaystyle g}$ і ${\displaystyle h}$ — це найменша кількість твірних і обернених до них, у добуток яких розкладається частка ${\displaystyle g^{-1}h}$.

Властивості

• Словникова метрика лівоінваріантна; тобто зберігається при множенні зліва на фіксований елемент групи.
  • Для неабелевих груп вона, загалом, не є правоінваріантною.
• Словникова метрика збігається з відстанню у графі Келі для тієї ж системи твірних.
• Словникова метрика не зберігається при заміні системи твірних, проте вона змінюється квазіізометрично (в даному випадку це те саме, що біліпшицевим чином). Тобто для деяких констант ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ має місце:

  ${\displaystyle \forall g,h\in G\quad {\frac {1}{C_{1}}}d_{2}(g,h)\leq d_{1}(g,h)\leq C_{2}d_{2}(g,h).}$ .

• Зокрема це дозволяє застосовувати за допомогою словникової метрики до групи геометричні поняття, що зберігаються при квазіізометрії. Наприклад, говорити про ступінь зростання групи (поліноміальний, експоненційний, проміжний) і про її гіперболічність.

Варіації та узагальнення

Аналогічно словникову метрику можна побудувати на довільній групі (не обов'язково скінченнопородженій), при цьому стає необхідно брати нескінченну систему твірних і багато описаних властивостей перестають виконуватися.

Посилання

• JW Cannon, Geometric group theory, в Handbook of geometric topology pages 261—305, North-Holland, Amsterdam, 2002,