Системна інженерія

Системоте́хніка, системна інженерія (англ. Systems Engineering) — напрямок науки і техніки, який охоплює проєктування, створення, випробування та експлуатацію складних систем технічного і соціально-технічного характеру. Є прикладним втіленням теорії систем. Сформувалася до початку 1960-х років

Системотехніка використовується у складних проєктах: космічні розробки, розробки комп'ютерних чипів, робототехніка, інтеграції програмного забезпечення і мостобудування. Системотехніка використовує цілий ряд інструментів, включаючи моделювання і симуляцію, аналіз вимог і планування для управління складністю.

Загальний опис

У вузькому значенні, системотехніка — це інженерна дисципліна, яка займається :

• Проєктуванням і впровадженням апаратних засобів обчислювальної техніки і інтелектуальних комп'ютерних систем.
• Налагодженням, налаштуванням, дослідною експлуатацією і поетапним введенням в дію апаратних засобів обчислювальної техніки і інтелектуальних комп'ютерних систем.
• Проєктуванням і впровадженням системного і мережевого програмного забезпечення.
• Налаштуванням системного і мережевого програмного забезпечення.
• Встановленням прикладного програмного забезпечення.
• Технічним обслуговуванням інформаційних систем.
• Організацією інформаційних систем та захистом інформації в них.

Поняття системи та її представлення

У теорії систем та системотехніці уведений ряд термінів, серед яких до базових можна віднести наступні поняття.

• Система - множина елементів, які знаходяться у відношеннях та зв'язках між собою. Геометричним представленням системи є топологічний простір.
• Елемент - частина системи, яку недоцільно ділити на складові частини.
• Складна система - система, яка характеризується великим числом елементів та великим числом взаємозв'язків між елементами. Складність системи визначається також видом взаємозв'язків елементів, властивостями цілеспрямованості, цілісності (сутність зв'язаного простору), подільності, ієрархічності, багатоаспектності.
• Підсистема - частина системи (підмножина елементів та їх взаємозв'язки), яка має властивості системи.
• Надсистема - система, по відношенню до якої розглядувана система є підсистемою.
• Архітектура системи - принципова організація системи, втілена у її елементах, їх взаємовідношеннях один із одним та із середовищем, а також принципи, спрямовуючі ї проєктування та еволюцію.
• Параметр - величина, яка виражає властивість або системи, або її частини, або середовища, яке впливає на систему. Параметри ділять на зовнішні, внутрішні й вихідні.
• Фазова змінна - величина, яка характеризує енергетичне наповнення елемента або підсистеми.
• Стан - сукупність значень фазових змінних, зафіксованих у певний час процесу функціонування.
• Поведінка (динаміка) системи - зміна стану системи у процесі функціонування.
• Система без післядії - її поведінка при ${\displaystyle t>t_{0}}$ визначається заданням стану у момент ${\displaystyle t_{0}}$ й вектором зовнішніх впливів ${\displaystyle Q(t).}$ У системах із післядією потрібно знати передісторію поведінки, тобто стани системи у моменти, які передують ${\displaystyle t_{0}}$. З точки зору управління післядія може характеризуватися інерційністю системи. Припустимо, система керується множиною керм, положення яких характеризуються керуючими параметрами ${\displaystyle U=(u_{1},u_{2},...,u_{n}),}$ які є безінерційними, тобто коли можна миттєво перемиками ці "керма" з одного положення у інше (змінювати стрибком знічення керуючих параметрів з області управління ${\displaystyle U}$).
• Фазова траєкторія - представлення процесу (залежності вектора змінних стану ${\displaystyle V(t)}$) у вигляді послідовності точок у просторі.
  

Залежність стійкості системи з n змінними від зв'язності (емпіричні дані).

Таким чином, система у широкому сенсі - еквівалент поняття математичної моделі і задається парою множин ${\displaystyle A,B}$ (${\displaystyle A}$ - множина входів, ${\displaystyle B}$ - множина виходів) й відношенням на ${\displaystyle A\times B}$, яке формалізує зв'язок (залежність) між входами та виходами. Відношенням між ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle A\times B}$, називається підмножина множини ${\displaystyle A\times B,}$ тобто декотра сукупність пар ${\displaystyle R=\{(a,b)\},}$ де ${\displaystyle a\in A,\,\,b\in B.}$

Наприклад, функціональний зв'язок ${\displaystyle y=x^{2}}$ може бути представлений як відношення між множинами ${\displaystyle X=(-\infty ,\infty ),\,\,Y=[0,\infty ),}$ яке включає пари ${\displaystyle (x,y)}$, для яких ${\displaystyle y=x^{2}.}$

Сполучення систем також є системою й задається відношенням. Наприклад, послідовне сполучення систем ${\displaystyle S_{1}\subset A_{1}\times B_{1},\,\,S_{2}\subset A_{2}\times B_{2}}$ є відношенням ${\displaystyle S\subset A_{1}\times B_{2}}$ таким, що ${\displaystyle (a_{1},b_{2})\in S,}$ якщо існують ${\displaystyle b_{1}\in B_{1},\,\,a_{2}\in A_{2},}$ які задовільняють умовам ${\displaystyle (a_{1},b_{1})\in S_{1},\,\,(b_{1},a_{2})\in R,\,\,(a_{2},b_{2})\in S_{2},\,}$де ${\displaystyle R\subset B_{1}\times A_{2}}$ - відношення, яке визначає зв'язок між ${\displaystyle b_{1}}$ та ${\displaystyle a_{2}}$ (у найпростішому випадку ${\displaystyle B_{1}=A_{2},}$ a ${\displaystyle R}$ - відношення тотожності ${\displaystyle (b_{1},a_{2})\in R,}$ якщо ${\displaystyle b_{1}=a_{2}}$).

Функціонування системи - це процес, який розгортається у часі, тобто множини можливих входів та виходів ${\displaystyle A,B}$ - це множини функцій часу із значеннями відповідно у множинах ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A=\{a:T\rightarrow A\},\quad \quad B=\{b:T\rightarrow B\},}$

де ${\displaystyle T}$ - множина моментів часу, на якому розглядається система.

Система є визначеною, якщо вхідній функції ${\displaystyle a(t)}$ відповідає єдина вихідна функція ${\displaystyle b(t).}$ У протилежному випадку система називається невизначеною.

Структура

Система ${\displaystyle S}$ непустих підмножини заданої множини ${\displaystyle A}$ називається розшаруванням множини ${\displaystyle A}$, якщо кожний елемент ${\displaystyle A}$ належить лише одній підмножині з системи ${\displaystyle S}$. Підмножини з ${\displaystyle S}$ називаються суміжними класами або шарами розбиття ${\displaystyle S}$. З кожним розбиттям ${\displaystyle S}$ пов'язується ${\displaystyle \sim }$ на ${\displaystyle A}$ лише тоді, коли ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ належать одному і тому ж шару множини ${\displaystyle A.}$ Сукупність усіх суміжних класів множин ${\displaystyle A}$ по еквівалентності ${\displaystyle \sim }$ позначається ${\displaystyle A/\sim }$ й називається фактор-множиною від ${\displaystyle A}$ по ${\displaystyle \sim }$.

Система - це не предмет, а масив змінних. Змінна - абстрактний образ властивості. Бінарне відношення ${\displaystyle I\subseteq {\mathfrak {G}}\times {\mathfrak {M}}}$ пов'язує об'єкти ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\in {\mathfrak {G}}}$ із їхніми ознаками ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in {\mathfrak {M}}}$ й породжує між підмножинами множини об'єктів й підмножинами множини ознак. Формальне поняття визначається як пара множин ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathfrak {G}},\,\,{\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {M}},}$ замкнених відносно . Відношення ${\displaystyle I}$ породжує на множині об'єктів рефлексивне симетричне відношення толерантності, за якого об'єкти співпадають, якщо мають спільні ознаки.  

При одиничному спостереженні властивість має один конкретний прояв. Для спостереження можливих змін проявів потрібна множина спостережень цієї властивості, тому потрібно відрізняти окремі спостереження властивості, здійснювані за однакової процедури. Будь-яку суттєву властивість, яка використовується для визначенні відмінностей у спостереженнях однієї і тієї ж властивості, можна назвати базою (backdrop). Наприклад, типовою базою є час - у цьому випадку різні спостереження однієї і тієї ж властивості відрізняються одне від одного тим, що вони зроблені у різні моменти часу. Окрім часу, в якості бази можна виділити простір тощо. Відповідно кожна змінна має певне ім'я (мітку), яка відрізняє її від інших розглядуваних змінних, і пов'язується із певною множиною величин, через які вона себе проявляє. Ці величини називають станами (або значеннями) змінної, а усю множину - множиною станів. Аналогічно параметром є операційне представлення бази. Кожний параметр має унікальне ім'я, і з ним пов'язується деяка множина; цю множину можна назвати параметричною множиною, а її елементи - значеннями параметра. Якщо використовується два й більше параметри, то їх спільною параметричною множиною є прямий добуток окремих параметричних множин.

Описати кількісно яку-небудь ситуацію чи подію - значить дати для декотрого числа параметрів ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,...,}$ обраних в якості характеристичних, вказати числові значення, які встановлюються за спостережень. Дві ситуації, або дві події є порівнюваними, якщо характеристичні параметри для них будуть однаковими. Два описи, які використовують однакові параметри, називаються рівноцінними. У випадку, коли є число ${\displaystyle L}$ рівноцінних описів порівнюваних ситуацій або подій можна кожне з них зобразити точкою у ${\displaystyle n}$-вимірному просторі із параметрами ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,...}$ в якості координат. Розподіл цих ${\displaystyle L}$ точок репрезентує експериментальний матеріал. Якщо відома достатня кількість точок, то такий розподіл можна розглядати як функцію, яка дає щільність ${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta ,\gamma ,...)}$ розподілу. Якщо множина точок концентрується у просторі меншого числа вимірів ${\displaystyle k<n,}$ то між параметрами існують ${\displaystyle n-k}$ закономірних співвідношень, відшукання яких складає одну з основних задач фізики. У протилежному випадку відомі лише статистичі співвідношення, які представляються за допомогою функції ${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta ,\gamma ,...)}$.

Многовиди - множини точок у багатовимірному просторі (множини чисел, які "зануляють" усі рівняння системи). Ці множини наділені структурами, одна з яких, алгебрична, робить їх алгебричними многовидами. Існують й інші структури, наприклад, симплектична, яка має іншу природу, відмінну від алгебричної. Таким чином, множина може мати дві структури, а значить, бути одночасно алгебричним й (симплектичним многовидом). (Гіпотеза дзеркальної симетрії) стверджує, що симплектична структура відповідає алгебричній, і навпаки.

Система, задана на об'єкті (система об'єкта) представляє собою множину властивостей, з кожним із яких пов'язана множина його проявів, і множину баз, з яких зв'язана множина її елементів. Формально система на об'єкті - це

${\displaystyle O=(\{a_{i},A_{i}|i\in N_{n}\},\,\,\,\{b_{j},B_{j}|j\in N_{m}\}),}$

де ${\displaystyle N_{n}=\{1,2,...,n\},\,\,N_{m}=\{1,2,...,m\}}$ (через ${\displaystyle N}$ із додатним цілим індексом позначається множина цілих додатних чисел від 1 до значення цього індекса, ${\displaystyle {\overline {1,m}}}$); через ${\displaystyle a_{i}}$ та ${\displaystyle A_{i}}$ позначаються відповідно властивість й множина її проявів; ${\displaystyle b_{j}}$ та ${\displaystyle B_{j}}$ - база та множина її елементів; ${\displaystyle O}$ - система об'єкта.

Коли спостереження властивості ${\displaystyle a_{i}}$ проводиться за декотрого значення параметра, то спостережувана властивість отримує певний прояв (значення) з множини ${\displaystyle A_{i}.}$ Цей прояв є елементом блока розбиття ${\displaystyle A_{i}/o_{i}.}$ Функція () ${\displaystyle o_{i}}$ присвоює його певному станові змінної. Таким чином, припускається, що будь-яке спостереження дозволяє визначити, до якого блоку з ${\displaystyle A_{i}/o_{i}}$ належить даний прояв, навіть якщо окремий прояв не можна ідентифікувати. Відмінність блоків ${\displaystyle A_{i}/o_{i}}$ може бути виявлена по результатам спостережень за припущення, що помилки спостереження виключені.

Таким чином, розбиття ${\displaystyle A_{i}}$ задається функцією ${\displaystyle o_{i}}$. Достовірно не відомо, до якого блоку ${\displaystyle A_{i}/o_{i}}$ належить заданий елемент ${\displaystyle A_{i}}$. Ця недостовірність може бути задана функцією, яка зіставляє будь-які парі (елемент ${\displaystyle A_{i}}$, блок ${\displaystyle A_{i}/o_{i}}$) число (зазвичай між 0 та 1). Таке число виражає ступінь достовірності того, що даний елемент належить даному блокові

${\displaystyle {\tilde {o}}_{i}:A_{i}\times A_{i}/o_{i}\rightarrow [0,1],}$

де ${\displaystyle {\tilde {o}}_{i}(x,y)}$ задає ступінь достовірності того, що ${\displaystyle x}$ належить ${\displaystyle y.}$ Оскільки кожний блок ${\displaystyle A_{i}/o_{i}}$ однозначно помічається станом з множини ${\displaystyle V_{i}}$ (у відповідності із функцією ${\displaystyle o_{i}}$), функцію ${\displaystyle {\tilde {o}}_{i}}$ можна задати у вигляді

${\displaystyle {\tilde {o}}_{i}:A_{i}\times V_{i}\rightarrow [0,1],}$

де ${\displaystyle {\tilde {o}}_{i}(x,y)}$ задає ступінь достовірності того, що ${\displaystyle x}$ належить блоку з розшарування ${\displaystyle A_{i}/o_{i}}$, представленому станом ${\displaystyle y}$ змінної ${\displaystyle v_{i}.}$ Таким чином,

${\displaystyle {\tilde {o}}_{i}(x,y)={\begin{cases}1,\,{\text{якщо}}\,o_{i}(x)=y,\\0\,\,{\text{у протилежному випадку,}}\end{cases}}}$

де ${\displaystyle {\tilde {o}}_{i}}$ задає функцію з ${\displaystyle A_{i}}$ у ${\displaystyle V_{i}.}$

Нехай задані функції

${\displaystyle r_{n}:G_{n}\rightarrow {\mathfrak {R}}_{n},\quad \quad (n\in N),}$

де ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ - множина симетричних й рефлексивних бінарних відношень, ${\displaystyle G_{n}}$ множина структур, визначених на множині ${\displaystyle N_{n}}$ (вони також називаються відношеннями порівняння, толерантності або неорієнтованими графами із циклами), а ${\displaystyle r_{n}(G_{i})}$ - бінарне відношення, яке виконується для цілих ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle a,b\in N_{n}}$) лише тоді, коли ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ належать одній із підмножин ${\displaystyle N_{n}}$, які входять до ${\displaystyle G_{i}.}$ Формально,

${\displaystyle r_{n}(G_{i})=\{(a,b)\,|\,(\exists x\in G_{i})(a\in x\,\,\And \,\,b\in x)\}.}$

Елементи ${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{n}}$ називаються графами (які є неорієнтованими (симетричність) та містять цикли (рефлексивність)). Функції ${\displaystyle r_{n}}$ є сюр'єктивними, а за ${\displaystyle n\geq 3}$ прообрази можуть складатися більш ніж з одного елемента. Тому вони індукують відношення еквівалентності на відповідних множинах ${\displaystyle G_{i}{\overset {r}{\equiv }}G_{j}}$ лише тоді, коли ${\displaystyle G_{i},\,G_{j}\in G_{n}}$ та ${\displaystyle r_{n}(G_{i})=r_{n}(G_{j})}$ для декотрого ${\displaystyle n\in N.}$

Для будь-якого ${\displaystyle n\in N_{n}}$ множина ${\displaystyle {\mathfrak {R}}_{n}}$ й відношення підмножини (тобто операцій об'єднання й перетину множин) визначають булеву ґратку.

Близькість двох систем за поведінкою може бути виражена через метричну відстань між їх функціями поведінки. Існує багато різних типів відстаней. Наприклад, клас відстаней Мінковського визначається формулою:

${\displaystyle \delta _{p}(f,f^{h})=[\sum _{c\in C}|f(c)-f^{h}(c)|^{p}]^{1/p},}$

де ${\displaystyle f,f^{h}}$ - відповідно функція поведінки заданої системи та незміщена реконструкція по гіпотезі ${\displaystyle h,}$ a ${\displaystyle p\in N}$ - параметр функцій відстані. За ${\displaystyle p=1}$ це - Відстань Геммінга, за ${\displaystyle p=2}$ - Евклідова відстань, при ${\displaystyle p=\infty }$ - верхня межа відстаней.

Для даної множини змінних, наприклад, множини ${\displaystyle S}$, множина структур, які представляють усі реконструктивні гіпотези будь-якої узагальненої системи, визначеної на ${\displaystyle S}$, складається з класів підмножин ${\displaystyle S}$, які задовільняють умовам ненадлишковості та покриття. Умова покриття виглядає наступним чином

${\displaystyle \bigcup _{k}\,\,{}^{k}S=S,}$

де ${\displaystyle {}^{k}S}$ - множина змінних з підсистем реконструктивної гіпотези, ${\displaystyle S}$ - множина змінних узагальненої системи.

Будь-яка реконструктивна гіпотеза повністю описується:

• класом підмножин змінних, які входять до неї;
• функціями поведінки, які відповідають окремим підмножинам змінних.

Кожна окрема реконструктивна гіпотеза представляє собою конкретну структуровану систему. Таким чином, структура - це властивість структурованої системи, інваріантне по відношенню до зміни функцій поведінки її елементів.

Динамічна система визначається як математична структура, яка задовільняє наступним аксіомам:

• Простір станів ${\displaystyle \Pi }$ та множина значень часу ${\displaystyle T,}$ для яких визначена поведінка системи; ${\displaystyle \Pi }$ - топологічний простір.
• Дана множина ${\displaystyle \Omega }$ функцій часу, визначених на ${\displaystyle \Pi }$ і які є припустимими входами системи; ${\displaystyle \Omega }$ - топологічний простір.
• Кожний вхід системи є деякою функцією виду (${\displaystyle R}$ - дійсна пряма)

${\displaystyle \Psi :T\times \Pi \rightarrow R.}$

• Майбутні стани системи визначаються посередництвом функції переходу станів:

${\displaystyle \varphi :\Omega \times T\times T\times \Pi \rightarrow \Pi .}$

• Функції ${\displaystyle \Psi }$ та ${\displaystyle \varphi }$ є неперервними відносно топологій, визначених на ${\displaystyle \Pi ,T}$ та ${\displaystyle \Omega }$ й індукованих топологій добутку.

Для даної множини ${\displaystyle X}$ відношення ${\displaystyle \zeta }$ на ${\displaystyle X}$ є толерантним, якщо ${\displaystyle \zeta }$ рефлексивне й симетричне. Толерантний простір - пара ${\displaystyle (X,\zeta )}$. Відношення цього поняття толерантності до теорії автоматів деталізується шляхом уведення додаткової структури: припустимо, що ${\displaystyle T=\{0,1,2,...\}}$ та що ${\displaystyle \{X,\zeta \}}$ - топологічний простір. Тоді рух у ${\displaystyle X}$ - функція вигляду

${\displaystyle \varphi :T\rightarrow X.}$

Рух буде ${\displaystyle \zeta }$-неперервним, якщо ${\displaystyle \forall t\in T,\,\,(\varphi (t),\varphi (t+1)\in \zeta ).}$ Тобто немає виявлених "стрибків у русі".

Структура подій - множина об'єктів-подій, наділене структурою (каузальної) залежності й несумісності. Визначається як трійка ${\displaystyle (E,\leqslant ,\#)}$, де

• ${\displaystyle E}$ - множина подій
• ${\displaystyle \leqslant }$ - частковий порядок
• ${\displaystyle \#}$ антирефлексивне симетричне відношення, яке називається несумісністю (або конфліктністю), на яку накладені наступні аксіоми:

1) скінченність причин: для кожної події ${\displaystyle e\in E}$ множина ${\displaystyle [e]=\{f\in E|f\leqslant e\}}$ поперединків ${\displaystyle e}$ у ${\displaystyle E}$ є скінченною;

2) спадковість несумісності: для кожної події ${\displaystyle d,e,f\in E}$, якщо ${\displaystyle d\leqslant e}$ та ${\displaystyle d\#f}$, то ${\displaystyle e\#f}$.

Інформація з математичної точки зору - це деякий клас відображень, або морфізмів. Множинність підходів до теорії інформації вказує на незалежність її понять від конкретного виду структур об'єктів. Єдиною математичною теорією, яка не накладає ніяких обмежень на природу об'єктів, є теорія категорій. Об'єктами категорії можуть бути множини, універсальні алгебри, топологічні простори. Якщо деякий клас систем описується математичними моделями, які припускають відображення одна в одну, то можна побудувати категорію таких моделей. Онтологічний характер об'єктів дозволяє називати їх системами. Категорний підхід відбиває цю специфіку систем: об'єкти категорії неподільні, але можуть бути представлені у вигляді множини морфізмів.

Теорія категорій

Категорія представляє колекцію абстрактних об'єктів, попарно пов'язаних морфізмами (стрілками). Формально, категорія ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ складається із сукупності об'єктів ${\displaystyle \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}}$ й сукупності морфізмів ${\displaystyle \mathrm {Mor} \,{\mathcal {C}},}$ на яких задані наступні операції:

1. З кожною парою ${\displaystyle \langle A,B\rangle }$ об'єктів ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ пов'язана множина ${\displaystyle \mathrm {Mor} (A,B)\subseteq \mathrm {Mor} \,{\mathcal {C}}}$ - множина усіх морфізмів з ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$; ${\displaystyle \mathrm {Mor} \,{\mathcal {C}}=\bigcup _{A,B\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}}\mathrm {Mor} (A,B)}$ та якщо ${\displaystyle \langle A,B\rangle \neq \langle A',B'\rangle ,}$ то ${\displaystyle \mathrm {Mor} (A,B)\cap \mathrm {Mor} (A',B')=\emptyset .}$
2. Із кожною трійкою ${\displaystyle \langle A,B,C\rangle }$ з ${\displaystyle \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}}$ пов'язане відображення ${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle \mathrm {Mor} (B,C)\times \mathrm {Mor} (A,B)\rightarrow \mathrm {Mor} (A,C)}$ таким чином, що для ${\displaystyle A,B,C,D\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}},}$ якщо ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {Mor} (A,B),\,\,\beta \in \mathrm {Mor} (B,C),\,\,\gamma \in \mathrm {Mor} (C,D),}$ то ${\displaystyle \gamma \circ (\beta \circ \alpha )=(\gamma \circ \beta )\circ \alpha .}$
3. Для кожного ${\displaystyle A\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}}}$ у ${\displaystyle \mathrm {Mor} (A,A)}$ виділений елемент ${\displaystyle \mathrm {Id} _{A}}$ такий, що для будь-якого ${\displaystyle B\in \mathrm {Ob} \,{\mathcal {C}},}$ будь-якого ${\displaystyle \beta \in \mathrm {Mor} (B,A)}$ та будь-якого ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {Mor} (A,B)}$ виконуються рівності ${\displaystyle \mathrm {Id} _{A}\circ \beta =\beta ,\,\,\alpha \circ \mathrm {Id} _{A}=\alpha .}$

Ефективність застосування теорії категорій в якості математичного апарату Model Based Systems Engeneering (MBSE) обумовлена тим, що будь-який каталог моделей представляє собою категорію. Наприклад, у твердотільному моделюванні механічних систем об'єктами категорії моделей виступають тіла - підмножини у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, які є обмеженими, регулярними (співпадають із замиканням своєї внутрішності) й напіваналітичними (припускають представлення скінченними булевими комбінаціями множин вигляду ${\displaystyle \{(x,y,z)|\,F_{1}(x,y,z)\leq 0\},}$ де ${\displaystyle F_{i}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$ є дійсною аналітичною функцією для усіх ${\displaystyle i}$). Щоб задавати процедури типу "зклеювання" ділянок поверхон тіл, у категорію геометричних моделей додаються обмежені регулярні напіваналітичні підмножини у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\,\,0\leq n\leq 2,}$ за допомогою стандартної імерсії ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ Далі виконується факторизація: ототожнюються один із одним усі множини, які переходять одна в одну під дією афінних ізометрій. Морфізми таких класів еквівалентності, які описують дії по складанню складових механічних систем, породжуються ізометричними вкладеннями множин й розтягненнями.

Тріади

З математичної точки зору тріада ${\displaystyle (X;A,B,x_{0})}$ - трійка така, що ${\displaystyle X=A\cup B,}$ причому ${\displaystyle x_{0}\in A\cap B,}$ де ${\displaystyle X}$ - топологічний простір, ${\displaystyle A,B}$ - множини, ${\displaystyle x_{0}=\emptyset }$ - відкритий пустий елемент, який забезпечує мінімальну зв'язність (відповідно до [2]). Можна розглядати також шляхи. Тепер ${\displaystyle (X;A,B,{\bar {p}})}$, де ${\displaystyle {\bar {p}}}$ - шляхи у топологічному просторі ${\displaystyle X}$.

Поняття абстрактної системи будуються на трійці елементів: "речі (об'єкти) - зв'язки (відношення) - властивості (атрибути)". Л. фон Берталанфі визначає систему як тріаду: "Сукупність елементів - Відношення - Середовище". Таким чином, маємо трійку:

${\displaystyle S=\langle \Phi ,H,L\rangle ,}$

де ${\displaystyle \Phi }$ - множина первинних (базових) елементів (підсистем), ${\displaystyle H}$ - множина відношень (зв'язків) між ними, ${\displaystyle L}$ - множина законів та правил, які дозволяють будувати різні композиції (структури, організації) з базових елементів множин ${\displaystyle \Phi ,H.}$ Наприклад, нехай є шість системоутворюючих чинників:

${\displaystyle S=\langle \Phi ,H,L,P,W,Z\rangle ,}$

де ${\displaystyle P}$ - множина параметрів базових елементів та зв'язків між ними, ${\displaystyle W}$ - інтегративні властивості системи, ${\displaystyle Z}$ - цілі функціонування системи (атрактори). Таку систему можна геометрично представити у вигляді сполучення тріад. Загальна кількість тріад, які містяться у даній системі, дорівнює числу комбінацій з 6 по 3, тобто ${\displaystyle C_{6}^{3}=20.}$

Графи-експандери

Див. також: (Збільшувач_(теорія_графів))

Основною задачею теорії мереж, теоретичного програмування, а також екстремальної теорії графів є побудова розріджених графів, які мають велику зв'язність. Серед мір зв'язності найбільш важливою є властивість розширення: двочастковий граф із множиною вершин ${\displaystyle I\cup O,\,|I|=|O|}$ (тут ${\displaystyle I}$ - множина входів, ${\displaystyle O}$ - множина виходів), із ${\displaystyle kn}$ ребрами (${\displaystyle k}$ фіксоване) називається ${\displaystyle (n,k,c)}$-розширенням, якщо для кожного ${\displaystyle A\subset I}$ із ${\displaystyle |A|\leq n/2}$ потужність множини ${\displaystyle \partial A}$ (тобто множини входів, сполучених ребрами із вершинами з ${\displaystyle A}$) задовільняє нерівності ${\displaystyle |\partial A|\geq c|A|}$ (тобто ${\displaystyle c}$ та ${\displaystyle \partial A}$ - множини тих вершин з ${\displaystyle O}$, які сполучені принаймні із однією вершиною з ${\displaystyle A}$). Параметр ${\displaystyle c}$ називається коефіцієнтом розширення. Задача полягає у побудові класу ${\displaystyle (n,k,c)}$-розширень, ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,}$ з найбільшим можливим значенням ${\displaystyle c.}$ Асимптотично за ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ (графи Рамануджана) є оптимальними у задачі мінімізації ${\displaystyle \lambda _{1}}$ та ${\displaystyle \mu _{1}.}$

Основні властивості систем

Функції системи

Функція системи - сукупність результатів впливів, здійснюваних даною системою на середовище, на інші системи та на саму себе. Цією характеристикою визначається роль, яку відіграє система у надсистемі, і місце, яке вона займає серед оточуючих об'єктів. Основна функція - це призначення системи. Неосновні функції - ситуативні й тимчасові, а основна функція - постійна. Зміна основної функції означає докорінну зміну системи. Негативні неосновні функції перешкоджають виконанню системою своєї основної функції, а позитивні сприяють; негативні є лише супутніми, але породжуються системою. У нейтральних функціях може приховуватися позитивний чи негативний потенціал, який може проявлятися за певних умов.

Ефективність системи - кількісна або якісна характеристика, яка дозволяє робити висновок про ступінь виконання системою притаманних їй функцій. Нехай ${\displaystyle t_{0}}$ - момент часу, коли виникла необхідність здійснення дії; ${\displaystyle t_{1}}$ - момент здійснення системою дії. Тоді час реакції системи виразиться як ${\displaystyle t=t_{1}-t_{0}.}$ Наприклад, для оцінки ефективності можна встановити деякий критичний проміжок часу, ${\displaystyle t<t_{\text{кр}}}$, за якого реакція системи на відповідну подію, стосовно якої вона повинна реагувати, ще має сенс.

Коли основна функція виражається через її цільову спрямованість, ефективність відображає ступінь досягнення системою своїх цілей.

Цільова спрямованість визначається управлінням, тобто сукупністю узгоджених керуючих сигналів (планування), породжуючих систему у її зв'язку із середовищем, у якому вона функціонує. Автоматична регуляція (адаптація системи) полягає у здатності системи виконувати основну функцію при збуреннях, які повідомляються системі середовищем (за взаємодії функцій системи із середовищем), тобто у її стійкості. Еволюція - процес досягнення системою основної мети при заданих керуючих сигналах (або вихід на стаціонарний (квазістаціонарний) режим стійкої роботи). Динамічні реально існуючі у фізичній дійсності системи у більшості випадків знаходяться не у рівноважному стані й не у режимі граничного циклу, але здійснюють квазістаціонарні хаотичні рухи.

У випадку із самоорганізацією, наприклад, для систем штучного інтелекту, еволюція полягає навчанні, довершенні основної функції.

Зворотний зв'язок - вплив результату функціонування будь-якої системи на характер її подальшого функціонування. По характеру дії зворотні зв'язки ділять на негативні й позитивні. Негативні зворотні зв'язки прагнуть повернути систему у стійкий стан після відхиляючих впливів й складають основу так званих адаптивних механізмів функціонування систем будь-якої природи. Наявність позитивного зворотного зв'язку не усуває виникаючі у системі зміни після відхиляючих впливів, а навпаки, приводить ще до більш сильного відхилення системи від свого стійкого стану. Як позитивні, так і негативні зворотні зв'язки бувають детермінованими та випадковими, стабільними й нестабільними, зосередженими (кумулятивними) й розосередженими, запізнюваними й випереджуваними, посилюючими та послабляючими (компенсуючими), транслюючими та перетворюючими. Комбінуючись й сповнюючись конкретним змістом, зворотні зв'язки утворюють нескінченну множину механізмів, які формують цілісні властивості систем, а також визначають характер їх поведінки. Цільове регулювання зворотних зв'язків - управління поведінкою системи, наприклад, при розробці моделі кутового руху космічного апарату у інерціальному просторі. В основі такої моделі лежить уявлення про рух тіла із шістьма ступенями вільності. Зрозуміло, що для забезпечення управління потрібно додати контур управління орієнтацією апарату, вважаючи, що кути та кутові швидкості повороту космічного апарату у інерціальній системі координат вимірюються приладами, встановленими на його борту, які формують моменти сил управління на основі інформації. Відтак система параметрів "перев'язується" (перешивається) зворотними зв'язками. Наприклад, момент управління орієнтацією формується по закону:

${\displaystyle M=-A\cdot B\cdot C-A\cdot D\cdot B\cdot E-k\cdot T\cdot B\cdot E,}$

де ${\displaystyle M}$ - вектор проєкцій кутового моменту управління, ${\displaystyle A}$ - коефіцієнт зворотного зв'язку по куту відхилення, ${\displaystyle B}$ - матриця моментів інерції космічного апарату, ${\displaystyle C}$ - вектор кутів Ейлера, ${\displaystyle E}$ - вектор проєкцій кутової швидкості, ${\displaystyle T}$ кососиметрична матриця з проєкцій кутової швидкості, ${\displaystyle k}$ - коефіцієнт компенсації гіроскопічного моменту.

Присутність у спостережуваному довільному явищі зворотних зв'язків порушує лінійну причинно-наслідкову логіку його аналізу. У такому явищі причина стає наслідком та, навпаки, наслідок стає причиною. Ситуація причинно-наслідкової інверсії свідчить про існування у досліджуваному об'єкті самоорганізації. Прикладом самоорганізації є ройовий інтелект. ${\displaystyle R/\sim }$ роботів ${\displaystyle \mathrm {Ob} \,R}$, інтеракція яких забезпечує рішення обмеженої множини задач ${\displaystyle P=\langle p_{1},...,p_{c}\rangle }$, є колективом. При цьому вважають, що усі роботи однакові, тобто рій - гомогенний колектив.

При однорідності елементів оптимальною по інформативності є сотова структура. Централістичні структури нерівномірні у сенсі розподілу інформаційного навантаження (усе проходить через центр). У повнозв'язних й мережевих структурах зі збільшенням навантаження відбувається катастрофічний ріст кількості інформації, яка ретранслюється. Інформативність лінійних й скелетних структур є мінімальною. Якщо лінійна динамічна система, описувана системою диференціальних рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами, достатньо велика (складається з 10 або більше змінних) та її зв'язність менше 13% (критична зв'язність), то можна сказати, що така система майже стійка. Якщо її зв'язність більша 13%, вона майже нестійка. У той же час у добре організованій системі взаємодії структурних елементів взаємоузгоджені, цілеспрямовані та синхронізовані на досягнення спільної мети. Чим вища взаємоузгодженість дій елементів у системі, тим вища її організованість і тим більше перевищує потенціал системи суму (суперпозицію) потенціалів усіх складових елементів (підсистем). Це називається емерджентністю. Системний підхід до пізнання погягає у взаємовіднесеності усіх смислових елементів та в інтерпретації їх взаємно обґрунтованої значущості (інтенціонально) всередині певної системи, що є результатом реляціонування. Тобто емерджентність є результатом реляціонування. Протилежністю реляційності є субстрат (). Іншими словами, інформація не існує без матерії, без носія. Вона існує лише для спостерігача, який отримує її через процеси взаємодії матерії. Поняття інформації можна відкинути й розглядати лише матеріальні процеси та явища.

Система обчислень

Каркасом є трійка ${\displaystyle (M,\Sigma ,{\mathfrak {A}}),}$ де ${\displaystyle M}$ - деяка скінченна множина, ${\displaystyle \Sigma }$ - сигнатура (перелік імен та їх арностей) та ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ - аксіоматика, яка складається із скінченного числа аксіом. Станом каркасу ${\displaystyle S}$ називається модель ${\displaystyle \langle M;R_{1},...,R_{n}\rangle ,}$ у якій набір відношень найменований у сигнатурі ${\displaystyle \Sigma }$ таким чином, що виконується аксіоматика ${\displaystyle {\mathfrak {A}}.}$ Два стани каркасу ${\displaystyle S}$ та ${\displaystyle S_{1}}$ називаються тотожними, якщо тотожне відображення ${\displaystyle M\rightarrow M}$ породжує ізоморфізм відповідних моделей.

Нехай ${\displaystyle U=\{u_{1},...,u_{k}\}}$ - скінченна множина символів, яка називається сигнатурою сортів. Символи ${\displaystyle u_{l},\,\,l\in \{1,...,k\},}$ називаються іменами сортів або сортами. Стандартні сорти мають наступні назви:

• Variable - клас змінних
• Bool - клас логічних значень
• Nat - клас напкільця натуральних чисел
• Int - клас кільця цілих чисел
• Real - класи поля дійсних чисел.

Нехай ${\displaystyle S=\{S_{u_{1}},...,S_{u_{k}}\}}$ - скінченний клас множин, індексованих іменами сортів, які називаються носіями відповідних сортів.

• ${\displaystyle S_{Variable}}$ - множина змінних
• ${\displaystyle S_{Bool}}$ - множина ${\displaystyle \{True,False\}}$
• ${\displaystyle S_{Nat}}$ - множина натуральних чисел
• ${\displaystyle s_{Int}}$ - множина цілих чисел
• ${\displaystyle S_{Real}}$ - множина дійсних чисел

Багатосортною операцією ${\displaystyle f}$ над ${\displaystyle S}$ називається відображення ${\displaystyle f:S_{u_{1}}\times ...\times S_{u_{m}}\rightarrow S_{v},}$ де ${\displaystyle u_{1},...,u_{m}\in U}$ - сорти аргументів операції ${\displaystyle f}$ відповідно, а ${\displaystyle m}$ - арність ${\displaystyle f.}$ Сигнатура операцій ${\displaystyle \Sigma }$ - скінченна множина символів операцій разом із відображенням, яке кожному символові ${\displaystyle \varphi \in \Sigma }$ ставить у відповідність багатосортну операцію ${\displaystyle f_{\varphi }}$ разом із її типом. Багатосортною операцією є, наприклад, операція множення у векторному просторі. Якщо ${\displaystyle VectorSpace}$ - ім'я векторного простору над полем ${\displaystyle Real}$ дійсних чисел, то операція множення ${\displaystyle Mult}$ задається специфікацією ${\displaystyle Mult\,:\,Real\times VectorSpace\rightarrow VectorSpace.}$ Багатосортним предикатом ${\displaystyle P}$ є відображення ${\displaystyle P:S_{u_{1}}\times ...\times S_{u_{m}}\rightarrow S_{Bool},}$ де ${\displaystyle u_{1},...,u_{m}\in U.}$ Послідовність ${\displaystyle u_{1},...,u_{m}}$ визначає тип предикату, а ${\displaystyle m}$ - його арність.

Багатосортною алгебричною системою ${\displaystyle A}$ є четвірка ${\displaystyle A=\langle S,U,\Sigma ,\Pi \rangle ,}$ де ${\displaystyle S}$ - множина сортів із іменами з ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \Sigma =\{\varphi _{1},...\varphi _{l}\}}$ - сигнатура сортних операцій, ${\displaystyle \Pi =\{\pi _{1},...,\pi _{p}\}}$ - сигнатура багатосортних предикатів.

Сорт ${\displaystyle v}$ залежить від сорта ${\displaystyle u,}$ якщо одна з операцій ${\displaystyle \Sigma }$ має тип ${\displaystyle u_{1}\times ...\times u\times ...\times u_{m}\rightarrow v.}$ Підмножина елементів ${\displaystyle \Sigma ,}$ які мають тип ${\displaystyle u_{1}\times ...\times u\times ...\times u_{m}\rightarrow v,}$ позначається ${\displaystyle \Sigma _{v},}$ a клас областей значень сортів ${\displaystyle U_{v}}$ - ${\displaystyle S_{v}.}$ Обмеженням ${\displaystyle A_{v}}$ алгебри ${\displaystyle A}$ на сорт ${\displaystyle v}$ є багатосортна алгебрична система ${\displaystyle A_{v}=\langle S_{v},U_{v},\Sigma _{v}\rangle .}$ Таким чином, багатосортна алгебрична система може бути представлена набором обмежень (алгебр ${\displaystyle A_{v},\,v\in U,}$ тобто ${\displaystyle A=\langle A_{u_{1}},...,A_{u_{k}}\rangle }$).

Аксіомою алгебри ${\displaystyle A_{u}}$ називається рівність або умова рівності у сигнатурі ${\displaystyle \Sigma _{u}.}$ Аксіоматичний опис алгебри ${\displaystyle A_{u}}$ - скінчена система аксіом ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ алгебри ${\displaystyle A_{u}.}$ Алгебри із аксіомами типу рівностей називають многовидами.

Конструктивний опис алгебри ${\displaystyle A_{u}}$ полягає у визначенні конструктора сорту ${\displaystyle S_{u}}$ та специфікацій інтерпретаторів операцій ${\displaystyle \Sigma _{u}.}$ Конструктор сорта ${\displaystyle S_{u}}$ - система рівностей, яка визначає синтаксично елементи сорту ${\displaystyle S_{u}}$ у вигляді термів виду ${\displaystyle \tau (u_{1},...,u_{m})}$ у сигнатурі конструкторів ${\displaystyle T,}$ яка у свою чергу представляє з себе множину символів конструкторів разом із відображенням, яке кожному символу ${\displaystyle \tau _{u}\in T}$ ставить у відповідність символ сорту ${\displaystyle u}$ разом із списком символів сортів його аргументів.

Інтерпретатором операції сигнатури ${\displaystyle \Sigma _{u}}$ є функція, яка реалізує алгоритм виконання цієї операції. Таким чином, для аксіоматичного й конструктивного опису алгебри ${\displaystyle A_{v}}$ у її визначення включаються скінченна множина аксіом ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ та скінченна множина інтерпретаторів ${\displaystyle I_{v}.}$ Багатосортна алгебра записується як ${\displaystyle A_{v}=\langle S_{v},U_{v},T_{v},\Sigma _{v},{\mathfrak {A}},I_{v}\rangle .}$

Оптимізація

Деякі методи оптимізації (Докладніше див. ).

За керування керуючі сигнали виробляються раніше, ніж розвивається керований процес. На відміну від регулювання, яке має на увазі реакцію системи на зміни регульованого процесу з метою його спрямування.

Сукупність декількох керованих об'єктів, сполучених єдністю мети, називається керованою системою. Сукупність засобів, які прагнуть забезпечити виконання керованою системою певної мети, називається керуючою системою. Керована й керуюча системи, взаємодіючи між собою, утворюють систему керування.

Поведінка системи керування визначається: метою керування, зовнішніми та внутрішніми умовами (тобто властивостями керованої й керуючої систем). Система керування є автоматичною, якщо основні функції керування, необхідні у процесі роботи системи для досягнення мети керування, здійснюються у ній без безпосередньої участі людини.

Рішення проблеми керування полягає у віднаходженні вектору керування, за якого виконується умова

${\displaystyle F\{S,X,Y\}\rightarrow \mathrm {extremum,} }$

та одночасно задовільняючий обмеженням та зв'язкам, які накладаються внутрішніми властивостями системи. Чинник оптимальності, або цільова функція характеризує важливі властивості планованого (проєктованого) об'єкта, а також дозволяє визначити відносні пріорітети можливих рішень. Чинник оптимальності є складовою системного підходу до планування, у відповідності із яким модель об'єкта планування характеризується множиною можливих структур ${\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},...,s_{n}\},}$ векторами вхідних впливів ${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},...,x_{m}\}}$ та вихідними параметрами ${\displaystyle Y=\{y_{1},y_{2},...,y_{l}\}.}$

Структурою може бути, наприклад, схемно-конструкторське рішення. Вихідними параметрами, тобто проєкціями вектора ${\displaystyle Y}$, є показники функціонування, габаритні розміри, об'єм, маса, надійність (підпорядковані вимогам стандартів й іншої нормативної документації). Під вхідним впливом розуміється вплив, прикладений до входу системи керування або окремо розглядуваного її елемента (підсистеми).

У загальному випадку вихідні параметри залежать від структури ${\displaystyle S}$ та вхідних впливів ${\displaystyle X:}$

${\displaystyle Y=\varphi (S,X).}$

За деякими даними, 75% усіх розрахункових математичних задач припадає на рішення лінійних алгебричних рівнянь.

Якщо числа представляються чисельно (тобто посередництвом p-розрядного дробу), то кроки реалізуються лише наближено, із деякою помилку. Теоретичне (або точне) значення величини позначимо ${\displaystyle a,b,c,...,x,y,z.}$ Літери із рискою згори позначають значення, які містять помилку, тобто числа, з якими проводяться обчислення. У відповідності із цим ${\displaystyle \delta (x)={\bar {x}}-x}$ позначає істинну помилку, ${\displaystyle \mathrm{i}\mathrm{n}}$