Рівняння Слуцького

Рівняння Слуцького (англ. Slutsky equation) — рівняння, сенс якого полягає в тому, що зміна попиту на певний товар при підвищенні або зниженні його ціни складається з впливу зміни попиту і непрямого впливу попиту на інші товари. Рівняння показує, що зміна в попиті на i-й товар при зміні ціни j-го товару є результатом двох ефектів: еффекту заміщення і ефекту доходу.

Математичний вигляд рівняння

${\displaystyle x_{i}(p,{\bar {u}})=x_{i}(p,e(p,{\bar {u}})),}$

${\displaystyle {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial e({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}-x_{j}({\tilde {p}},{\tilde {I}})\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}},}$

де ${\displaystyle {\tilde {p}},{\tilde {I}},{\bar {u}}}$ — задані рівні цін, доходу і корисності.

Рівняння Слуцького через еластичність

Якщо помножити вихідне рівняння Слуцького на ${\displaystyle p_{j}}$ і поділити ${\displaystyle x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}$, то отримаємо рівняння Слуцького в термінах еластичностей попиту за ціною та доходом:

${\displaystyle \varepsilon _{ip_{j}}=\varepsilon _{ip_{j}}^{h}+\varepsilon _{iI}\cdot \alpha _{i}}$

де

• ${\displaystyle \varepsilon _{ip_{j}}}$ — еластичність попиту на i-й товар по ціні j-го

• ${\displaystyle \varepsilon _{ip_{j}}^{h}}$ — еластичність компенсованого попиту на i-й товар за ціною j-го (тобто без урахування ефекту доходу)

• ${\displaystyle \varepsilon _{iI}}$ — еластичність попиту на i-й товар за доходом споживача

• ${\displaystyle \alpha _{i}}$ — частка витрат на покупку i-го товару в доході споживача

Матриця Слуцького

Похідні ${\displaystyle s_{ij}={\frac {\partial x_{i}(p,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial p_{j}}}+x_{j}(p,I)\cdot {\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial I}}}$ можуть бути зведені в матрицю Слуцького коефіцієнту заміщення S(p, I), що володіє наступними властивостями:

1. Симетричність: ${\displaystyle s_{ij}=s_{ji}}$ (випливає з леми Шепарда і теореми Юнга).
2. Негативна напіввизначеність;
3. Рівність нулю при множенні на вектор цін: ${\displaystyle S(p,I)\mathbf {p} =0}$.

Матричне подання корисно тим, що властивості матриці дозволяють не обчислювати безпосередньо всі похідні.

Джерела

• Горкіна Л. П. СЛУЦЬКИЙ Євген Євгенович [Електронний ресурс]. — Режим доступу: http://www.history.org.ua/?termin=Slutskyj_Y

Посилання

• Ефекти заміщення за Слуцьким
• РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО
• БІОГРАФІЯ