Рівняння Коші-Ейлера

Рівняння Коші-Ейлера (або просто Рівняння Ейлера) — лінійне однорідне звичайне диференціальне рівняння зі змінними коефіцієнтами. Його іноді згадують як рівнорозмірнісне рівняння. Завдяки своїй простій будові рівняння можна замінити тотожним рівнянням зі сталими коефіцієнтами, яке можна розв'язати явно.

Рівняння

Нехай y⁽ⁿ⁾(x) буде n-ю похідною невідомої функції;y(x). Тоді рівняння Коші-Ейлера порядку n має форму

${\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.}$

Заміна ${\displaystyle x=e^{u}}$ зводить рівняння до лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами. Також, щоб отримати базисні розв'язки, можна використати пробний розв'язок ${\displaystyle y=x^{m}}$.

Другий порядок — розвя'зання через пробний розв'язок

Типові криві розв'язків для рівняння Коші-Ейлера другого порядку у випадку двох дійсних коренів

Типові криві розв'язків для рівняння Коші-Ейлера другого порядку у випадку подвійного кореня

Типові криві розв'язків для рівняння Коші-Ейлера другого порядку у випадку комплексних коренів

Найпоширеніше рівняння Коші-Ейлера — це рівняння другого порядку, що зустрічається у великій кількості фізичних та інженерних проблем, таких як розв'язання рівняння Лапласа в полярних координатах. Його задають рівнянням:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.\,}$

Ми припускаємо, що пробний розв'язок такий

${\displaystyle y=x^{m}.\,}$

Диференціюємо і отримуємо:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}\,}$

і

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}.\,}$

Підставляння в початкове рівняння дає:

${\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0\,}$

або перевпорядкувавши:

${\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0.\,}$

Тепер ми можемо розв'язати для m. Тут є три окремих цікавих випадки:

• Випадок #1: Два відмінних корені, m₁ і m₂
• Випадок #2: Один дійсний подвійний корінь, m
• Випадок #3: Комплексні корені, α ± βi

У випадку #1, розв'язок такий:

${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}\,}$

У випадку #2, розв'язок такий

${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}\,}$

Для отримання другого розв'язку, після знайдення одного розв'язку y = x^m необхідно застосувати метод знижування порядку.

У випадку #3, розв'язок такий

${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,}$

${\displaystyle \alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\,}$

${\displaystyle \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)\,}$

Для ${\displaystyle c_{1}\,}$ and ${\displaystyle c_{2}\,}$ в дійсній площині, ця форма розв'язку отримується через встановлення x = e^t і використання формули Ейлера.

Другий порядок — заміна змінних

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0\,}$

Проведемо таку заміну змінних

${\displaystyle t=\ln(x).\,}$

${\displaystyle y(x)=\phi (\ln(x))=\phi (t).\,}$

Диференціювання:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {d\phi }{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}{\bigg (}{\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}-{\frac {d\phi }{dt}}{\bigg )}.}$

Замінив ${\displaystyle \phi (t)}$, ми маємо

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d\phi }{dt}}+b\phi =0.\,}$

Це рівняння від ${\displaystyle \phi (t)}$ можна легко розв'язати із використанням характеристичного многочлена

${\displaystyle \lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.}$

Тепер, якщо ${\displaystyle \lambda _{1}}$ і ${\displaystyle \lambda _{2}}$ є коренями цього многочлена, аналізуємо два головних випадки: прості корені і подвійний корінь:

якщо корені різні, загальний розв'язок такий

${\displaystyle \phi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}}$, де показники можуть бути комплексними.

якщо корені однакові, загальний розв'язок такий

${\displaystyle \phi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.}$

в обох випадках, розв'язок ${\displaystyle y(x)}$ можна знайти через установлення ${\displaystyle t=\ln(x)}$, звідси ${\displaystyle \phi (\ln(x))=y(x)}$.

Отже, перший випадок,

${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}}$,

і другий випадок,

${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.}$

Приклад

Дано

${\displaystyle x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,}$

ми підставляємо простий розв'язок x^α:

${\displaystyle x^{2}(\alpha (\alpha -1)x^{\alpha -2})-3x(\alpha x^{\alpha -1})+3x^{\alpha }=\alpha (\alpha -1)x^{\alpha }-3\alpha x^{\alpha }+3x^{\alpha }=(\alpha ^{2}-4\alpha +3)x^{\alpha }=0\,.}$

Щоб x^α був розв'язком необхідно, щоб або x = 0, що дає нам тривіальний розв'язок, або коефіцієнт x^α дорівнює нулю. Розв'язав квадратичне рівняння, ми маємо α = 1, 3. Загальний розв'язок

${\displaystyle u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.}$