Рівня́ння Гамільто́на — Я́кобі — рівняння у часткових похідних, яке повністю визначає еволюцію гамільтонової системи класичної механіки.
Рівняння формулюється так:
- .
Тут — функція Гамільтона для системи із узагальненими координатами і узагальненими імпульсами , де пробігає значення від одиниці до кількості ступенів свободи гамільтонової системи .
Визначення еволюції узагальнених координат та імпульсів
— це функція узагальнених координат і часу, яка має розмірність дії.
Рівняння Гамільтона — Якобі це рівняння в часткових похідних першого порядку відносно функції . Його розв'язок залежить від параметрів інтегрування, які можна позначити . Запишемо цей розв'язок у вигляді . Тоді еволюція узагальнених змінних системи визначається з розв'язку такої системи алгебраїчних рівнянь:
де — це ще нових параметрів інтегрування.
Теорія відносності
Для вільної частинки в теорії відносності рівняння Гамільтона — Якобі має вигляд:
- ,
де с — швидкість світла в порожнечі
Загальна теорія відносності
У рамках загальної теорії відносності в рівнянні Гамільтона — Якобі враховується загальний вираз для метрики простору-часу і рівняння набирає вигляду
- .
Метрика простору-часу визначається в загальному випадку також гравітаційними полями, тож це рівняння справедливе не лише для вільної частинки, а й для частинки в гравітаційному полі.
Значення
Рівняння Гамільтона — Якобі загалом інтегрувати складніше, ніж вихідні рівняння гамільтонової механіки, проте воно є зручним засобом для побудови наближень.
Загальний вигляд рівняння Гамільтона — Якобі нагадує квантовомеханічне рівняння Шредінгера. Доведено, що для макроскопічних тіл рівняння Шредінгера зводиться до класичного рівняння Гамільтона — Якобі (дивіться Квазікласичне наближення).
Див. також
Література
- Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
- Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
- Голдстейн Г. Классическая механика. — М. : Наука, 1975. — 416 с.
- Лич Дж. У. Классическая механика. — М. : ИЛ, 1961. — 174 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rivnya nnya Gamilto na Ya kobi rivnyannya u chastkovih pohidnih yake povnistyu viznachaye evolyuciyu gamiltonovoyi sistemi klasichnoyi mehaniki Rivnyannya formulyuyetsya tak S t H qi S qi t 0 displaystyle frac partial S partial t mathcal H left q i frac partial S partial q i t right 0 Tut H qi pi t displaystyle mathcal H q i p i t funkciya Gamiltona dlya sistemi iz uzagalnenimi koordinatami qi displaystyle q i i uzagalnenimi impulsami pi displaystyle p i de i displaystyle i probigaye znachennya vid odinici do kilkosti stupeniv svobodi gamiltonovoyi sistemi n displaystyle n Viznachennya evolyuciyi uzagalnenih koordinat ta impulsivS displaystyle S ce funkciya uzagalnenih koordinat qi displaystyle q i i chasu yaka maye rozmirnist diyi Rivnyannya Gamiltona Yakobi ce rivnyannya v chastkovih pohidnih pershogo poryadku vidnosno funkciyi S displaystyle S Jogo rozv yazok zalezhit vid f displaystyle f parametriv integruvannya yaki mozhna poznachiti Qi displaystyle Q i Zapishemo cej rozv yazok u viglyadi S t qi Qi displaystyle S t q i Q i Todi evolyuciya uzagalnenih zminnih sistemi viznachayetsya z rozv yazku takoyi sistemi algebrayichnih rivnyan pi S t qi Qi qi displaystyle p i frac partial S t q i Q i partial q i Pi S t qi Qi Qi displaystyle P i frac partial S t q i Q i partial Q i de Pi displaystyle P i ce she n displaystyle n novih parametriv integruvannya Teoriya vidnosnostiDlya vilnoyi chastinki v teoriyi vidnosnosti rivnyannya Gamiltona Yakobi maye viglyad 1c2 S t 2 S x 2 S y 2 S z 2 m2c2 displaystyle frac 1 c 2 left frac partial S partial t right 2 left frac partial S partial x right 2 left frac partial S partial y right 2 left frac partial S partial z right 2 m 2 c 2 de s shvidkist svitla v porozhnechiZagalna teoriya vidnosnostiU ramkah zagalnoyi teoriyi vidnosnosti v rivnyanni Gamiltona Yakobi vrahovuyetsya zagalnij viraz dlya metriki prostoru chasu i rivnyannya nabiraye viglyadu gij S xi S xj m2c2 0 displaystyle g ij frac partial S partial x i frac partial S partial x j m 2 c 2 0 Metrika prostoru chasu gij displaystyle g ij viznachayetsya v zagalnomu vipadku takozh gravitacijnimi polyami tozh ce rivnyannya spravedlive ne lishe dlya vilnoyi chastinki a j dlya chastinki v gravitacijnomu poli ZnachennyaRivnyannya Gamiltona Yakobi zagalom integruvati skladnishe nizh vihidni rivnyannya gamiltonovoyi mehaniki prote vono ye zruchnim zasobom dlya pobudovi nablizhen Zagalnij viglyad rivnyannya Gamiltona Yakobi nagaduye kvantovomehanichne rivnyannya Shredingera Dovedeno sho dlya makroskopichnih til rivnyannya Shredingera zvoditsya do klasichnogo rivnyannya Gamiltona Yakobi divitsya Kvaziklasichne nablizhennya Div takozhMehanika Gamiltona Mehanika LagranzhaLiteraturaYezhov S M Makarec M V Romanenko O V Klasichna mehanika K VPC Kiyivskij universitet 2008 480 s Fedorchenko A M Teoretichna mehanika K Visha shkola 1975 516 s Goldstejn G Klassicheskaya mehanika M Nauka 1975 416 s Lich Dzh U Klassicheskaya mehanika M IL 1961 174 s