Рівномірно розподілена послідовність

Рівномірно розподілена послідовність — нескінченна послідовність дійсних чисел ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots ,s_{n},\dots }$ із заданого інтервалу ${\displaystyle (a;b)}$ (${\displaystyle a<b}$), в якій у будь-якому ненульовому відрізку ${\displaystyle (c;d)}$ (${\displaystyle c<d}$) частка елементів, що потрапляють у цей відрізок, прямує до відношення довжини відрізка ${\displaystyle (c;d)}$ до довжини інтервалу ${\displaystyle (a;b)}$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{{\frac {\varphi _{n}(c,d)}{n}}={{d-c} \over {b-a}}}}$,

де ${\displaystyle \varphi _{n}(c,d)}$ — кількість чисел із ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{n}}$, що потрапили в ${\displaystyle (c;d)}$.

Розбіжністю D_n для послідовності ${\displaystyle s_{1},s_{2},\dots ,s_{n},\dots }$ на відрізку ${\displaystyle [a;b]}$ називають величину

${\displaystyle D_{n}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {{\frac {\varphi _{n}(c,d)}{n}}-{\frac {d-c}{b-a}}}\right\vert .}$

Послідовність виявляється рівнорозподіленою, якщо розбіжність D_n прямує до нуля при n, що прямує до нескінченності.

Рівномірний розподіл — досить слабкий критерій для вираження того факту, що послідовність заповнює відрізок, не залишаючи прогалин. Для отримання строгіших критеріїв і для побудови послідовностей, які рівномірно розподілені, див. послідовність із низькою розбіжністю.

Ключовим результатом щодо рівномірно розподілених послідовностей є теорема Вейля про рівномірний розподіл.

Література

• Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М. : Наука, 1985. — 408 с.
• Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М. : Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.