Розсіяння Баба

Діаграми Фейнмана
Анігіляція
Розсіяння

Розсіяння Бабá (англ. Bhabha scattering) є процесом електрон-позитронного розсіяння у квантовій електродинаміці:

${\displaystyle e^{+}e^{-}\rightarrow e^{+}e^{-}}$

Існують дві діаграми Фейнмана провідного порядку, що вносять вклад в амплітуду розсіяння: процес анігіляції та процес розсіяння. Розсіяння Баба названо на честь індійського фізика Хомі Баба.

Амплітуда розсіяння Баба використовується як монітор світності в електрон-позитронних колайдерах.

Використання

Розсіяння Баба використовувалось як монітор світності в ряді експериментів на e⁺e^– колайдерах, наприклад, на Великому електрон-позитронному колайдері. Точне вимірювання світності необхідно для точних вимірювань перерізів інших, більш рідкісних, процесів.

Електрон-позитронні колайдери, що працюють в районі низько розташованих адронних резонансів (приблизно від 1 до 10 ГеВ), такі як Пекінський електронний синхротрон (BES) та «B-фабрики» Belle II and , використовують розсіяння Баба на великі кути як монітор світності. Для досягнення бажаної точності на рівні 0,1 % експериментальні вимірювання необхідно порівняти з теоретичним розрахунком, що має включати квантово-електродинамічні поправки другого порядку. Високоточне вимірювання загального адронного перерізу при цих низьких енергіях є вирішальним вкладом у теоретичний розрахунок аномального магнітного моменту мюона, який використовується для пошуку фізики поза межами Стандартної моделі.

Диференційний переріз

У першому наближенні, усереднений за спіном диференціальний переріз для цього процесу можна описати як

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}={\frac {\pi \alpha ^{2}}{s}}\left(u^{2}\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{t}}\right)^{2}+\left({\frac {t}{s}}\right)^{2}+\left({\frac {s}{t}}\right)^{2}\right)\,}$

де s, t і u — змінні Мандельштама, ${\displaystyle \alpha }$ — стала тонкої структури, і ${\displaystyle \theta }$ — кут розсіювання.

Цей поперечний переріз нехтує масою електрона (вважаючи її значно меншою за енергію процесу), і включає лише внесок від обміну фотонами. Це наближення добре працює за енергій зіткнень, що є малими порівняно з масою Z-бозону, близько 91 ГеВ: при вищих енергіях також стає важливим внесок від обміну Z-бозонів.

Змінні Мандельштама

У цій статті змінні Мандельштама визначаються як

${\displaystyle s=\,}$	${\displaystyle (k+p)^{2}=\,}$	${\displaystyle (k'+p')^{2}\approx \,}$	${\displaystyle 2k\cdot p\approx \,}$	${\displaystyle 2k'\cdot p'\,}$
${\displaystyle t=\,}$	${\displaystyle (k-k')^{2}=\,}$	${\displaystyle (p-p')^{2}\approx \,}$	${\displaystyle -2k\cdot k'\approx \,}$	${\displaystyle -2p\cdot p'\,}$
${\displaystyle u=\,}$	${\displaystyle (k-p')^{2}=\,}$	${\displaystyle (p-k')^{2}\approx \,}$	${\displaystyle -2k\cdot p'\approx \,}$	${\displaystyle -2k'\cdot p\,}$

де наближення справедливі для високих (релятивістських) енергій.

Виведення неполяризованого перерізу

Матричні елементи

Як діаграма розсіяння, так і діаграма анігіляції вносять внесок у матричний елемент процесу. Якщо позначити 4-імпульс позитрона як k і k' , а 4-імпульс електрона як p і p' , і використовуючи правила Фейнмана, можна вивести наступні матричні елементи:

			де ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\,}$ — (гамма-матриці Дірака), ${\displaystyle u,\ \mathrm {and} \ {\bar {u}}\,}$ — 4-спінори для ферміонів, а ${\displaystyle v,\ \mathrm {and} \ {\bar {v}}\,}$ — 4-спінори для анти-ферміонів (див. Рівняння Дірака).
	(розсіяння)	(анігіляція)
${\displaystyle {\mathcal {M}}=\,}$	${\displaystyle -e^{2}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'}\right){\frac {1}{(k-k')^{2}}}\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p}\right)}$	${\displaystyle +e^{2}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p}\right){\frac {1}{(k+p)^{2}}}\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'}\right)}$

Зверніть увагу, що між двома діаграмами є різниця у знаку.

Квадрат матричного елемента

Для обчислення неполяризованого перерізу потрібно усереднити за можливими значеннями спінів вхідних частинок (s_e- та s_e+) і підсумувати за спінами вихідних частинок. Це,

${\displaystyle {\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}\,}$	${\displaystyle ={\frac {1}{(2s_{e-}+1)(2s_{e+}+1)}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{4}}\sum _{s=1}^{2}\sum _{s'=1}^{2}\sum _{r=1}^{2}\sum _{r'=1}^{2}|{\mathcal {M}}|^{2}\,}$

Спочатку можна обчислити ${\displaystyle |{\mathcal {M}}|^{2}\,}$:

${\displaystyle |{\mathcal {M}}|^{2}\,}$=	${\displaystyle e^{4}\left|{\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right|^{2}\,}$	(розсіяння)
	${\displaystyle {}-e^{4}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right)^{*}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right)\,}$	(інтерференція)
	${\displaystyle {}-e^{4}\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})}{(k-k')^{2}}}\right)\left({\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right)^{*}\,}$	(інтерференція)
	${\displaystyle {}+e^{4}\left|{\frac {({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }u_{p})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }v_{k'})}{(k+p)^{2}}}\right|^{2}\,}$	(анігіляція)

Член розсіяння (t-канал)

Квадрат матричного елемента

${\displaystyle |{\mathcal {M}}|^{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p}){\Big )}^{*}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}){\Big )}\,}$	${\displaystyle (1)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\mu }v_{k'})^{*}({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\mu }u_{p})^{*}{\Big )}{\Big (}({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'})({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}){\Big )}\,}$	${\displaystyle (2)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}{\Big (}\left({\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }v_{k}\right)\left({\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }u_{p'}\right){\Big )}{\Big (}\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}\right){\Big )}\,}$	${\displaystyle (3)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left({\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }v_{k}\right)\left({\bar {v}}_{k}\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left({\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }u_{p'}\right)\left({\bar {u}}_{p'}\gamma _{\nu }u_{p}\right)\,}$	${\displaystyle (4)\,}$

Сума за спінами

Далі треба просумувати спіни всіх чотирьох частинок. Позначимо спін електрона як s і s' , а спін позитрона як r і r' .

${\displaystyle \sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left(\sum _{r'}{\bar {v}}_{k'}\gamma ^{\mu }(\sum _{r}v_{k}{\bar {v}}_{k})\gamma ^{\nu }v_{k'}\right)\left(\sum _{s}{\bar {u}}_{p}\gamma _{\mu }(\sum _{s'}{u_{p'}{\bar {u}}_{p'}})\gamma _{\nu }u_{p}\right)\,}$	${\displaystyle (5)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\operatorname {Tr} \left({\Big (}\sum _{r'}v_{k'}{\bar {v}}_{k'}{\Big )}\gamma ^{\mu }{\Big (}\sum _{r}v_{k}{\bar {v}}_{k}{\Big )}\gamma ^{\nu }\right)\operatorname {Tr} \left({\Big (}\sum _{s}u_{p}{\bar {u}}_{p}{\Big )}\gamma _{\mu }{\Big (}\sum _{s'}{u_{p'}{\bar {u}}_{p'}}{\Big )}\gamma _{\nu }\right)\,}$	${\displaystyle (6)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\operatorname {Tr} \left((k\!\!\!/'-m)\gamma ^{\mu }(k\!\!\!/-m)\gamma ^{\nu }\right)\cdot \operatorname {Tr} \left((p\!\!\!/'+m)\gamma _{\mu }(p\!\!\!/+m)\gamma _{\nu }\right)\,}$	${\displaystyle (7)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {e^{4}}{(k-k')^{4}}}\left(4\left({k'}^{\mu }k^{\nu }-(k'\cdot k)\eta ^{\mu \nu }+k'^{\nu }k^{\mu }\right)+4m^{2}\eta ^{\mu \nu }\right)\left(4\left({p'}_{\mu }p_{\nu }-(p'\cdot p)\eta _{\mu \nu }+p'_{\nu }p_{\mu }\right)+4m^{2}\eta _{\mu \nu }\right)\,}$	${\displaystyle (8)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {32{e^{4}}}{(k-k')^{4}}}\left((k'\cdot p')(k\cdot p)+(k'\cdot p)(k\cdot p')-m^{2}p'\cdot p-m^{2}k'\cdot k+2m^{4}\right)\,}$	${\displaystyle (9)\,}$

Хоча ця формула є точною, у випадку електронів зазвичай досліджують масштаби енергій, які набагато перевищують масу електрона. Нехтування масою електрона тоді дає спрощений вигляд:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {32e^{4}}{4(k-k')^{4}}}\left((k'\cdot p')(k\cdot p)+(k'\cdot p)(k\cdot p')\right)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {8e^{4}}{t^{2}}}\left({\tfrac {1}{2}}s{\tfrac {1}{2}}s+{\tfrac {1}{2}}u{\tfrac {1}{2}}u\right)\,}$
	${\displaystyle =2e^{4}{\frac {s^{2}+u^{2}}{t^{2}}}\,}$

Член анігіляції (s-канал)

Процес отримання матричного елемента для анігіляції подібний до вищезазначеного. Оскільки дві діаграми перетворюються одна в одну прости поворотом, а частинки початкового та кінцевого стану однакові, достатньо переставити імпульси, що дає

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\sum _{\mathrm {spins} }|{\mathcal {M}}|^{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {32e^{4}}{4(k+p)^{4}}}\left((k\cdot k')(p\cdot p')+(k'\cdot p)(k\cdot p')\right)\,}$
	${\displaystyle ={\frac {8e^{4}}{s^{2}}}\left({\tfrac {1}{2}}t{\tfrac {1}{2}}t+{\tfrac {1}{2}}u{\tfrac {1}{2}}u\right)\,}$
	${\displaystyle =2e^{4}{\frac {t^{2}+u^{2}}{s^{2}}}\,}$

(Цей результат пропорційний ${\displaystyle (1+\cos ^{2}\theta )}$, де ${\displaystyle \theta }$ — кут розсіяння в системі центру мас.)

Рішення

Оцінка останнього, інтерференційного члена за тим самим принципом, та додавання трьох членів, дає кінцевий результат:

${\displaystyle {\frac {\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}{2e^{4}}}={\frac {u^{2}+s^{2}}{t^{2}}}+{\frac {2u^{2}}{st}}+{\frac {u^{2}+t^{2}}{s^{2}}}\,}$

Див. також

• Меллерівське розсіяння
• Процес Дрелла–Яна
• Комптонівське розсіяння

Список літератури

1. Carloni Calame, C. M; Lunardini, C; Montagna, G; Nicrosini, O; Piccinini, F (2000). Large-angle Bhabha scattering and luminosity at flavour factories. Nuclear Physics B. 584: 459—479. arXiv:hep-ph/0003268. Bibcode:2000NuPhB.584..459C. doi:10.1016/S0550-3213(00)00356-4.

• ; (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. ISBN .
• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1994). An Introduction to Quantum Field Theory. Perseus Publishing. ISBN .
• Розсіяння Бхабхи на arxiv.org [ 4 лютого 2021 у Wayback Machine.]