В математиці і, зокрема, аналізі дійснозначних функій, похідними Діні називають клас узагальнень похідної. Поняття запропоноване Уліссом Діні, який вивчав неперервні, але недиференційовні функції, для яких він визначив так звані похідні Діні.
Верхня похідна Діні, яку також називають верхньою правою похідною, неперервної функції
позначається і визначається як
де lim sup — гранична межа, а межа — одностороння межа . Нижня похідна Діні, , визначається як
де lim inf — нижня межа.
Якщо f визначено на векторному просторі, то верхня похідна Діні в точці t у напрямку d визначається як
Якщо f локально ліпшицева, то скінченна. Якщо f диференційовна в точці t, то похідна Діні в точці t є звичайною похідною в точці t.
Зауваження
- Функції визначаються в термінах нижньої і верхньої межі, аби похідні Діні були якомога обґрунтованішими. Так похідні Діні будуть добре визначені для майже всіх функцій, навіть для апріорі недиференційовних функцій. Результат аналізу Діні полягає в тому, що функція диференційована в точці t на дійсній прямій ( ℝ ), тільки якщо всі похідні Діні існують і мають однакове значення.
- Іноді позначення використовується замість і замість .
- також,
і
- .
- Отже, при використанні D похідних Діні, знак плюс або мінус вказує на ліву або праву границю, а розміщення знака вказує на нижню або верхню межу.
- Існують ще дві похідні Діні, які визначаються як
і
- .
які є такими ж, як і перша пара, але з верхньою і нижньою межами, переміщеними. Лише для помірно поганих функцій обидві додаткові похідні Діні не потрібні. Для дуже поганих функцій, якщо всі чотири похідні Діні мають однакове значення ( ), то функція f диференційована в звичайному розумінні в точці t .
- На розширеній дійсній прямій всі похідні Діні завжди існують; однак іноді вони можуть набувати значеннь +∞ або −∞ (тобто похідні Діні завжди існують у розширеному сенсі).
Див. також
- [en]
- [en]
- [en]
Примітки
- Khalil, Hassan K. (2002). Nonlinear Systems (вид. 3rd). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN .
- Lukashenko, T.P. (2001), derivative Dini derivative, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN
- Royden, H. L. (1968). Real Analysis (вид. 2nd). MacMillan. ISBN .
- Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008). Elementary Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com [first edition published by Prentice Hall in 2001]. с. 301—302. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici i zokrema analizi dijsnoznachnih funkij pohidnimi Dini nazivayut klas uzagalnen pohidnoyi Ponyattya zaproponovane Ulissom Dini yakij vivchav neperervni ale nediferencijovni funkciyi dlya yakih vin viznachiv tak zvani pohidni Dini Verhnya pohidna Dini yaku takozh nazivayut verhnoyu pravoyu pohidnoyu neperervnoyi funkciyi f R R displaystyle f mathbb R rightarrow mathbb R poznachayetsya f displaystyle f i viznachayetsya yak f t lim sup h 0 f t h f t h displaystyle f t limsup h to 0 frac f t h f t h de lim sup granichna mezha a mezha odnostoronnya mezha Nizhnya pohidna Dini f displaystyle f viznachayetsya yak f t lim inf h 0 f t f t h h displaystyle f t liminf h to 0 frac f t f t h h de lim inf nizhnya mezha Yaksho f viznacheno na vektornomu prostori to verhnya pohidna Dini v tochci t u napryamku d viznachayetsya yak f t d lim sup h 0 f t h d f t h displaystyle f t d limsup h to 0 frac f t hd f t h Yaksho f lokalno lipshiceva to f displaystyle f skinchenna Yaksho f diferencijovna v tochci t to pohidna Dini v tochci t ye zvichajnoyu pohidnoyu v tochci t ZauvazhennyaFunkciyi viznachayutsya v terminah nizhnoyi i verhnoyi mezhi abi pohidni Dini buli yakomoga obgruntovanishimi Tak pohidni Dini budut dobre viznacheni dlya majzhe vsih funkcij navit dlya apriori nediferencijovnih funkcij Rezultat analizu Dini polyagaye v tomu sho funkciya diferencijovana v tochci t na dijsnij pryamij ℝ tilki yaksho vsi pohidni Dini isnuyut i mayut odnakove znachennya Inodi poznachennya D f t displaystyle D f t vikoristovuyetsya zamist f t displaystyle f t i D f t displaystyle D f t zamist f t displaystyle f t takozh D f t lim sup h 0 f t h f t h displaystyle D f t limsup h to 0 frac f t h f t h i D f t lim inf h 0 f t f t h h displaystyle D f t liminf h to 0 frac f t f t h h Otzhe pri vikoristanni D pohidnih Dini znak plyus abo minus vkazuye na livu abo pravu granicyu a rozmishennya znaka vkazuye na nizhnyu abo verhnyu mezhu Isnuyut she dvi pohidni Dini yaki viznachayutsya yak D f t lim inf h 0 f t h f t h displaystyle D f t liminf h to 0 frac f t h f t h i D f t lim sup h 0 f t f t h h displaystyle D f t limsup h to 0 frac f t f t h h yaki ye takimi zh yak i persha para ale z verhnoyu i nizhnoyu mezhami peremishenimi Lishe dlya pomirno poganih funkcij obidvi dodatkovi pohidni Dini ne potribni Dlya duzhe poganih funkcij yaksho vsi chotiri pohidni Dini mayut odnakove znachennya D f t D f t D f t D f t displaystyle D f t D f t D f t D f t to funkciya f diferencijovana v zvichajnomu rozuminni v tochci t Na rozshirenij dijsnij pryamij vsi pohidni Dini zavzhdi isnuyut odnak inodi voni mozhut nabuvati znachenn abo tobto pohidni Dini zavzhdi isnuyut u rozshirenomu sensi Div takozh en en en PrimitkiKhalil Hassan K 2002 Nonlinear Systems vid 3rd Upper Saddle River NJ Prentice Hall ISBN 0 13 067389 7 Lukashenko T P 2001 derivative Dini derivative u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Royden H L 1968 Real Analysis vid 2nd MacMillan ISBN 978 0 02 404150 0 Thomson Brian S Bruckner Judith B Bruckner Andrew M 2008 Elementary Real Analysis ClassicalRealAnalysis com first edition published by Prentice Hall in 2001 s 301 302 ISBN 978 1 4348 4161 2