Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Помилка округлення або похибка округлення це різниця між результатом, отриманим за допомогою абсолютно точної арифметики в рамках заданого алгоритму, і результатом, отриманим тим же алгоритмом, але з використанням округленої арифметики з обмеженою точністю.
Помилки округлення пов’язані з тим що представлення дійсних чисел і в двійковій або десятковій системі є неточним виконанням арифметичних дій над ними. Це один із варіантів помилок квантування.
При використанні алгоритмів або формул для апроксимації розрахунків за допомогою чисельних методів є оцінка похибок обчислень, особливо при використанні обмеженої кількості цифр для представлення дійсних чисел (які в теорії мають нескінченну кількість цифр в десятковій або двійковій системі).
Деякі числові операції дуже чутливі до помилок округлення. Це може бути наслідком як математичних міркувань, так і способу виконання арифметичних операцій комп’ютерами.
Під час виконання послідовності обчислень із використанням обмеженої точності, похибка може накопичуватись, іноді приймати значні значення, що не задовільняють вимогам щодо можливого рівня похибки.
Загалом два основних аспекти помилок округлення, які беруть участь у числових обчисленнях це обмежена здатність комп'ютера зберігати дійсну величину в тій системі числення, яка використовується, та накопичення похибок під час послідовних операцій.
Похибка представлення
Похибка, яка виникає під час спроби представити число за допомогою обмеженої кількості цифр, є формою помилки округлення, яка називається похибкою представлення. Приклади з використанням обмеженої кількості десяткових цифр:
| точна математична нотація | Представлення | апроксимація | Похибка |
|---|---|---|---|
| 1/7 | 0. 142 857 | 0,142 857 | 0,000 000 142 857 |
| ln 2 | 0,693 147 180 559 945 309 41... | 0,693 147 | 0,000 000 180 559 945 309 41... |
| log10 2 | 0,301 029 995 663 981 195 21... | 0,3010 | 0,000 029 995 663 981 195 21... |
| 3√2 | 1,259 921 049 894 873 164 76... | 1,25992 | 0,000 001 049 894 873 164 76... |
| √2 | 1,414 213 562 373 095 048 80... | 1,41421 | 0,000 003 562 373 095 048 80... |
| e | 2,718 281 828 459 045 235 36... | 2,718 281 828 459 045 | 0,000 000 000 000 000 235 36... |
| π | 3,141 592 653 589 793 238 46... | 3,141 592 653 589 793 | 0,000 000 000 000 000 238 46... |
Збільшення точності зображення дійсного числа зменшує похибку округлення. Проте будь-яке представлення, обмежене скінченною кількістю цифр, все одно призведе до певної похибки для незліченної кількості дійсних чисел. Методика використання додаткових знаків, які використовуються на проміжних етапах розрахунку, називається англійською guard digit.
Багаторазове округлення може призвести до накопичення помилок. Наприклад, якщо 9,945309 округлити до двох знаків після коми (9,95), а потім знову округлити до одного знака після коми (10,0), загальна похибка становитиме 0,054691. Округлення 9,945309 до одного знака після коми (9,9) за один крок вносить меншу похибку (0,045309). Це може статися, наприклад, коли програмне забезпечення виконує арифметику у 80-розрядному значенні з рухомою комою x86, а потім округлює результат до IEEE 754 binary64 floating-com .
Системи числення
Система числення з рухомою комою є більш ефективною для представлення дійсних чисел, порівняно з системою числення з нерухомою комою, для широкого діапазону застосувань, де використовуються алгоритми чисельних методів, (фізика, САПР), тому вона широко використовується в сучасних комп’ютерах.
Найпопулярніший стандарт для чисел з рухомою комою це IEEE 754, там використовується двійкова система, нормалізація. В окремих бітах зберігає знак експоненти та значущої частини, мантиси. Стандарт має фіксовану кількість бітів для мантиси та експоненти. Задля ефективності використання комп'ютерами, сумарна кількість бітів кратна розрядності процесорів, саме тому найпоширенішими рівнями точності є одинарна точність - 32 біта, подвійна точність - 64 бітів.
Машинний епсилон
Машинний епсілон можна використовувати для вимірювання рівня помилки округлення в системі числення з рухомою комою. Ось два різних визначення.
Похибка округлення за різними правилами округлення
| Цей розділ потребує доповнення. |
Накопичення похибки округлення
Похибка може накопичуватись, тобто збільшуватись її діапазон, якщо послідовність обчислень виконується над даними, що вже отримані з похибкою, через обмеженість представлення.
Нестабільний алгоритм та погано обумовлена задача
Алгоритм або чисельний процес називається стабільним, якщо невеликі зміни у вхідних даних викликають лише незначні зміни у вихідних даних, і навпаки нестабільним, якщо у вихідних даних відбуваються великі зміни.
Навіть якщо використовується стабільний алгоритм, розв’язок проблеми все одно може бути неточним через накопичення помилки округлення, коли сама проблема є погано обумовленою .
Число обумовленості задачі — це відношення відносної зміни розв’язку до відносної зміни входу. Задача є добре обумовленою, якщо невеликі відносні зміни вхідних даних призводять до невеликих відносних змін у розв’язанні. В протилежному випадку задача є необумовленою . Іншими словами, проблема є погано обумовленою, якщо її число обумовленості «набагато більше» за 1.
Число обумовленості вводиться як засіб оцінки похибки округлення, яка може виникнути при розв’язуванні погано обумовлених задач.
Дивись також
Примітки
- Chapra, Steven (2012). Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists (вид. 3rd). . ISBN .
- Laplante, Philip A. (2000). Dictionary of Computer Science, Engineering and Technology. CRC Press. с. 420. ISBN .
- (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (вид. 2). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). с. 43—44. ISBN .
- Volkov, E. A. (1990). Numerical Methods. . с. 24. ISBN .
- Forrester, Dick (2018). Math/Comp241 Numerical Methods (lecture notes). .
- Collins, Charles (2005). Condition and Stability (PDF). Department of Mathematics in University of Tennessee. Процитовано 28 жовтня 2018.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Pomilka okruglennya abo pohibka okruglennya ce riznicya mizh rezultatom otrimanim za dopomogoyu absolyutno tochnoyi arifmetiki v ramkah zadanogo algoritmu i rezultatom otrimanim tim zhe algoritmom ale z vikoristannyam okruglenoyi arifmetiki z obmezhenoyu tochnistyu Pomilki okruglennya pov yazani z tim sho predstavlennya dijsnih chisel i v dvijkovij abo desyatkovij sistemi ye netochnim vikonannyam arifmetichnih dij nad nimi Ce odin iz variantiv pomilok kvantuvannya Pri vikoristanni algoritmiv abo formul dlya aproksimaciyi rozrahunkiv za dopomogoyu chiselnih metodiv ye ocinka pohibok obchislen osoblivo pri vikoristanni obmezhenoyi kilkosti cifr dlya predstavlennya dijsnih chisel yaki v teoriyi mayut neskinchennu kilkist cifr v desyatkovij abo dvijkovij sistemi Deyaki chislovi operaciyi duzhe chutlivi do pomilok okruglennya Ce mozhe buti naslidkom yak matematichnih mirkuvan tak i sposobu vikonannya arifmetichnih operacij komp yuterami Pid chas vikonannya poslidovnosti obchislen iz vikoristannyam obmezhenoyi tochnosti pohibka mozhe nakopichuvatis inodi prijmati znachni znachennya sho ne zadovilnyayut vimogam shodo mozhlivogo rivnya pohibki Zagalom dva osnovnih aspekti pomilok okruglennya yaki berut uchast u chislovih obchislennyah ce obmezhena zdatnist komp yutera zberigati dijsnu velichinu v tij sistemi chislennya yaka vikoristovuyetsya ta nakopichennya pohibok pid chas poslidovnih operacij Pohibka predstavlennyaPohibka yaka vinikaye pid chas sprobi predstaviti chislo za dopomogoyu obmezhenoyi kilkosti cifr ye formoyu pomilki okruglennya yaka nazivayetsya pohibkoyu predstavlennya Prikladi z vikoristannyam obmezhenoyi kilkosti desyatkovih cifr tochna matematichna notaciya Predstavlennya aproksimaciya Pohibka 1 7 0 142 857 0 142 857 0 000 000 142 857 ln 2 0 693 147 180 559 945 309 41 0 693 147 0 000 000 180 559 945 309 41 log10 2 0 301 029 995 663 981 195 21 0 3010 0 000 029 995 663 981 195 21 3 2 1 259 921 049 894 873 164 76 1 25992 0 000 001 049 894 873 164 76 2 1 414 213 562 373 095 048 80 1 41421 0 000 003 562 373 095 048 80 e 2 718 281 828 459 045 235 36 2 718 281 828 459 045 0 000 000 000 000 000 235 36 p 3 141 592 653 589 793 238 46 3 141 592 653 589 793 0 000 000 000 000 000 238 46 Zbilshennya tochnosti zobrazhennya dijsnogo chisla zmenshuye pohibku okruglennya Prote bud yake predstavlennya obmezhene skinchennoyu kilkistyu cifr vse odno prizvede do pevnoyi pohibki dlya nezlichennoyi kilkosti dijsnih chisel Metodika vikoristannya dodatkovih znakiv yaki vikoristovuyutsya na promizhnih etapah rozrahunku nazivayetsya anglijskoyu guard digit Bagatorazove okruglennya mozhe prizvesti do nakopichennya pomilok Napriklad yaksho 9 945309 okrugliti do dvoh znakiv pislya komi 9 95 a potim znovu okrugliti do odnogo znaka pislya komi 10 0 zagalna pohibka stanovitime 0 054691 Okruglennya 9 945309 do odnogo znaka pislya komi 9 9 za odin krok vnosit menshu pohibku 0 045309 Ce mozhe statisya napriklad koli programne zabezpechennya vikonuye arifmetiku u 80 rozryadnomu znachenni z ruhomoyu komoyu x86 a potim okruglyuye rezultat do IEEE 754 binary64 floating com Sistemi chislennya Sistema chislennya z ruhomoyu komoyu ye bilsh efektivnoyu dlya predstavlennya dijsnih chisel porivnyano z sistemoyu chislennya z neruhomoyu komoyu dlya shirokogo diapazonu zastosuvan de vikoristovuyutsya algoritmi chiselnih metodiv fizika SAPR tomu vona shiroko vikoristovuyetsya v suchasnih komp yuterah Najpopulyarnishij standart dlya chisel z ruhomoyu komoyu ce IEEE 754 tam vikoristovuyetsya dvijkova sistema normalizaciya V okremih bitah zberigaye znak eksponenti ta znachushoyi chastini mantisi Standart maye fiksovanu kilkist bitiv dlya mantisi ta eksponenti Zadlya efektivnosti vikoristannya komp yuterami sumarna kilkist bitiv kratna rozryadnosti procesoriv same tomu najposhirenishimi rivnyami tochnosti ye odinarna tochnist 32 bita podvijna tochnist 64 bitiv Mashinnij epsilon Dokladnishe Mashinnij epsilon Mashinnij epsilon mozhna vikoristovuvati dlya vimiryuvannya rivnya pomilki okruglennya v sistemi chislennya z ruhomoyu komoyu Os dva riznih viznachennya Pohibka okruglennya za riznimi pravilami okruglennya Cej rozdil potrebuye dopovnennya Nakopichennya pohibki okruglennyaPohibka mozhe nakopichuvatis tobto zbilshuvatis yiyi diapazon yaksho poslidovnist obchislen vikonuyetsya nad danimi sho vzhe otrimani z pohibkoyu cherez obmezhenist predstavlennya Nestabilnij algoritm ta pogano obumovlena zadacha Algoritm abo chiselnij proces nazivayetsya stabilnim yaksho neveliki zmini u vhidnih danih viklikayut lishe neznachni zmini u vihidnih danih i navpaki nestabilnim yaksho u vihidnih danih vidbuvayutsya veliki zmini Navit yaksho vikoristovuyetsya stabilnij algoritm rozv yazok problemi vse odno mozhe buti netochnim cherez nakopichennya pomilki okruglennya koli sama problema ye pogano obumovlenoyu Chislo obumovlenosti zadachi ce vidnoshennya vidnosnoyi zmini rozv yazku do vidnosnoyi zmini vhodu Zadacha ye dobre obumovlenoyu yaksho neveliki vidnosni zmini vhidnih danih prizvodyat do nevelikih vidnosnih zmin u rozv yazanni V protilezhnomu vipadku zadacha ye neobumovlenoyu Inshimi slovami problema ye pogano obumovlenoyu yaksho yiyi chislo obumovlenosti nabagato bilshe za 1 Chislo obumovlenosti vvoditsya yak zasib ocinki pohibki okruglennya yaka mozhe viniknuti pri rozv yazuvanni pogano obumovlenih zadach Divis takozhTochnist arifmetika Okruglennya Nishivne skasuvannya Chislo z ruhomoyu komoyu Algoritm pidsumovuvannya Kahana Mashinij epsilon Znachushi cifriPrimitkiChapra Steven 2012 Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists vid 3rd ISBN 9780073401102 Laplante Philip A 2000 Dictionary of Computer Science Engineering and Technology CRC Press s 420 ISBN 978 0 84932691 2 2002 Accuracy and Stability of Numerical Algorithms vid 2 Society for Industrial and Applied Mathematics SIAM s 43 44 ISBN 978 0 89871521 7 Volkov E A 1990 Numerical Methods Taylor amp Francis s 24 ISBN 978 1 56032011 1 Forrester Dick 2018 Math Comp241 Numerical Methods lecture notes Collins Charles 2005 Condition and Stability PDF Department of Mathematics in University of Tennessee Procitovano 28 zhovtnya 2018