Потенціа́льний бар'є́р — область простору із збільшеним значенням потенціальної енергії.
Загальна характеристика
Частина простору, в якому є локальний максимум потенціальної енергії, тобто діють сили, які виштовхують частину з цього простору, й вона не може проникнути в цю область без надання їй певної енергії для здійснення роботи проти цих сил. У випадку систем, що описуються законами квантової механіки, частинка може проникнути через бар'єр, не маючи достатньої енергії для подолання цього відрізку простору понад бар'єром (тунельний ефект).
Максимальне значення потенціальної енергії в бар'єрі називається висотою бар'єру.
В класичній механіці частинка із кінетичною енергією, меншою за висоту бар'єру, не може проникнути в область потенціального бар'єру. Тому цю область часто називають класично забороненою. Квантова частинка частково проникає під бар'єр. У випадку, коли бар'єр скінченний, квантова частинка може просочитися (тунелювати) крізь нього.
Класична частинка, налетівши на потенціальний бар'єр, відбивається від нього, якщо її енергія менша за висоту бар'єру. Якщо енергія частки більша за висоту бар'єру, то класична частинка вільно проходить «над бар'єром». Квантова частинка частково відбивається навіть тоді, коли її енергія перевищує висоту бар'єру. При певних значеннях енергії це відбиття може бути абсолютним, тобто квантова частинка не проникає через бар'єр, навіть маючи достатню енергію.
Одновимірний потенціальний бар'єр в квантовій механіці
Скінченний потенціальний бар'єр — в квантовій механіці це стандартна одновимірна задача, що демонструє явище квантове тунелювання. Проблема полягає у розв'язку незалежного від часу рівняння Шредінгера для частки, що рухається в околицях потенціального бар'єру кінечних розмірів в одновимірному просторі. Як правило розглядають рух частки на бар'єр зліва.
Очевидно, що у класичному випадку частка тривіально відіб'ється від бар'єра у випадку, коли її потенціальна енергія менша за висоту бар'єра. Проте у квантовому випадку існує кінцева ймовірність проникнення частки через потенціальний бар'єр навіть у випадку, коли її енергія менша висоти бар'єра. Процес відбивання частки від бар'єра характеризується коефіцієнтом відбивання, а процес тунелювання частки через бар'єр — коефіцієнтом проникнення.
Елементарна теорія процесів
Незалежне від часу рівняння Шредінгера для хвильових функцій має вигляд:
де — гамільтоніан, — Стала Планка, — маса, а — енергія частинки, і
- -
бар'єрний потенціал з висотою та шириною . — сходинкова Функція Гевісайда. Бар'єр розташований між та . Перший член в гамільтоніані, — кінетична енергія.
Бар'єр розділяє простір на три частини (). У всіх цих частинах потенціал має постійне значення, що означає для частки, що вона квазівільна. Тому розв'язок рівняння Шредінгера може бути записаний у вигляді квантової суперпозиції для руху зліва і справа на бар'єр. У випадку, коли :
- ,
- , and
де хвильові числа відносяться до енергії через
- .
Індекс r/l при коефіцієнтах A та B відмічає напрям вектора швидкості. У випадку, коли енергія частки нижче потенціального бар'єру, тоді стає чисто уявною величиною і хвильова функція експоненційно спадає всередині бар'єру. Позначення r/l використовується і у випадку коли частка не проникає через бар'єр. Тоді припускається, що . Випадок розглянутий нижче.
Коефіцієнти повинні бути визначені із граничних умов для хвильової функції при та . Хвильові функції та їхні похідні повинні бути неперервними скрізь, і на границях також.
- ,
- ,
- ,
- .
Підставляючи хвильову функцію в граничні умови, отримаємо такі обмеження для коефіцієнтів:
- ,
- ,
- .
E = V0
У випадку, коли енергія частки рівна висоті потенціального бар'єру, розв'язок рівняння Шредінгера в області бар'єра уже не є експоненційний, а у вигляді лінійних функцій від координати простору.
Повний роз'язок рівняння Шредінгера може бути знайдене аналогічним чином, як було подано вище, шляхом зшивання хвильових функцій та їхніх похідних при та . Цей результат дає такі обмеження на величини коефіцієнтів:
- ,
- ,
- .
Проникнення та відбивання
На даному етапі розгляду доцільно порівняти поведінку частки з класичним випадком. В обох випадках за межами бар'єру частка є вільною для руху. Для великих енергій більших за висоту потенціального бар'єру would, навіть класична частка завжди проходить через бар'єр, проте при енергіях класична частка завжди відбивається від бар'єру.
Для вивчення квантового випадку, розглянемо наступну ситуацію, коли частка налітає зліва на бар'єр (). Вона може як відбитися () так і проникнути через бар'єр ().
Знайти амплітуди відбивання та проникнення для випадку налітання частки зліва, ми покладемо у вище приведених рівняннях (налітаюча частка), (відбиття), =0 (немає налітаючих часток праворуч) та (проникнення). Таким чином, ми знищимо коефіцієнти в рівнянні і розв'яжемо для .
Результат буде:
Враховуючи модель дзеркальної симетрії, амплітуди для випадків налітання праворуч будуть такими самими, як і ліворуч. Необхідно відзначити, що ці результати справедливі для енергій .
Аналіз отриманих результатів
E < V0
Несподіваність результату полягає в тому, що квантова частка з енергією менше за висоту бар'єру , все ж таки проникає через бар'єр. Вірніше існує не нульове значення ймовірності
для частки проникнути через бар'єр, при . Цей ефект, що не має аналогії в класиці, називається квантовим тунелюванням. Проникнення експоненційно подавляється шириною бар'єру, що можна зрозуміти із функціональної форми хвильової функції: За межами бар'єру вона осцилює з хвильовим вектором , в той час, як всередині бар'єру вона експоненційно спадає на відстані . У випадку, коли бар'єр значно більший, ніж ця довжина розпаду, ліві та праві частини є віртуально незалежні і тунелювання очевидно подавлене.
E > V0
В цьому випадку
Досить несподіваним в цьому випадку є те, що при енергіях більших за величину потенціального бар'єру, , квантова частка може бути відбита від цього бар'єру із не нульовою ймовірністю.
Ця ймовірність осцилює із і справедлива в межах наближаючись до класичного результату , де відсутнє відбивання. Необхідно пам'ятати, що ймовірності і амплітуди є для енергій (вище/нижче) висоти бар'єру.
E = V0
Ймовірність проникнення при може бути оцінена як:
- .
Зауваження та використання
Представлені вище обчислення та оцінки можуть на перший погляд здатися нереалістичними і непотрібними. Проте вже доведено чисельними впровадженнями, що це придатна модель для різноманітних практичних систем. Одним із таких практичних використань є система, що складається із двох металевих шарів, розділених ізолятором. У квантовому випадку, при малій товщині ізолятора, можливе проникнення часток через діелектрик, шляхом тунелювання. Такі прилади отримали назву тунельні діоди.
Сучасний скануючий тунельний мікроскоп (scanning tunneling microscope/STM) також базується на тунельному ефекті. В цьому випадку бар'єр пов'язаний із шаром повітря, що розділяє голковий електрод мікроскопа та поверхню досліджуваного об'єкта. Оскільки тунельний струм залежить експоненційно від ширини бар'єру, цей прилад є екстремально чутливий до висоти варіацій на поверхні досліджуваного об'єкта.
Представлена вище модель одновимірна, проте оскільки простір є тривимірний, тому необхідно розв'язувати рівняння Шредінгера для трьох координат. З іншого боку, багато систем змінюють свої властивості тільки вздовж однієї координати і трансляційно інваріантні щодо інших координат. Тому рівняння Шредінгера може бути редуковане до випадку розглянутому вище, шляхом заміни хвильової функції на
.
Інший крайній випадок є Дельта потенціальний бар'єр, котрий може бути віднесений як крайній випадок вище розглянутого потенціального бар'єру. Всі викладки для цього випадку можуть бути перенесені на нього враховуючи що постійна.
Квантово- механічний імпеданс (Quantum impedance)
В рамках «імпедансної моделі» виведення виразу для коефіцієнту відбиття виконується в один рядок на відміну від вище приведених традиційних викладок. В аналізі результатів зробимо акцент на важливому фізичному ефекті — резонансному надбар'єрному проходженні електронів.
Очевидно, що область бар'єру та навколишнього середовища відрізняється своїми імпедансами. Пронормуємо імпеданс бар'єру до імпеданса оточуючого середовища. Нормований вхідний імпеданс на границі бар'єру для хвилі, що налітає на бар'єр зліва, маємо:
.
де - нормований імпеданс бар'єру; - та - ефективні маси електрону відповідно в оточуючому середовищі та в області бар'єру, - висота бар'єру; , - хвильове число в оточуючому середовищі; - товщина бар'єру. Необхідно відзначити, що , де - хвильове число в оточуючому середовищі. Відношення, яке відповідає , фігурує у відомих виразах для «бар'єрних» задач. Таким чином, нормуванням імпедансу уже на початку викладок, закладена компактність розв'язку. При імпеданс та хвильове число в області бар'єру уявні, що відповідає тунелюванню електронів.
. Підставляючи в нього значення , знаходимо
Останній вираз узагальнює тунелювання та надбар'єрне проходження електронів, а також враховує різницю в ефективних масах електрону в оточуючому середовищі та в області бар'єру. Цей вираз справедливий і для потенціальної ями, якщо та відповідно поміняти місцями у виразах для та .
Якщо , то і, оскільки , то останній вираз можна переписати у вигляді:
Тобто отримано відомий вираз для відбиття від потенціального бар'єру.
Відповідно до закону збереження енергії , де — коефіцієнт проходження. При тунелювання . Із врахуванням цього Після нескладних перетворень знаходимо:
,
де , . При із врахуванням того, що та , знаходимо відомий вираз:
.
Перепишемо його у вигляді
Тут , , - маса спокою електрону, висота бар'єру вимірюється в еВ, ширина бар'єру - в нм. При маємо . Значенням , та нм відповідає .
При надбар'єрному проходженні електронів маємо . Якщо , де , - довжина хвилі електрону в області бар'єру, то і — умови резонансного надбар'єрного проходження електронів в загальному випадку. Необхідно відзначити, що при коефіцієнт відбиття .
В частковому випадку, коли при відповідних значеннях , імпеданс , що також відповідає резонансному надбар'єрному проходженню електронів.
Резонансне проходження хвиль має виняткове значення в формуванні характеристик хвильових структур. Необхідно звернути увагу на фізичні особливості умов такого проходження. Для резонансного проходження хвиль ключове значення має стояча хвиля. Стрибки потенціалу бар'єру утворюють резонатор. На власних частотах, які відповідають резонансному проходженню, в резонаторі формується стояча хвиля. Резонатор зі стоячою хвилею являє собою власне по відношенню до бар'єру (до хвильової структури в загальному випадку) джерело хвиль. На власних частотах резонатору хвиля, що відбивається бар'єром, компенсується протифазною хвилею, що випромінює це джерело. Таким чином, при резонансному проходженні компенсація неоднорідності хвильових збурень падаючої хвилі на границі розділу середовищ, обумовлена збудженнями стоячої хвилі, так що падаюча хвиля проходить ці границі як однорідне середовище без відбиття.
Іншими словами, стрибки властивостей середовищ на границі бар'єру діють як внутрішні джерела хвиль — відбитих хвиль. При резонансному проходженню дія (випромінювання) внутрішніх джерел зкомпенсована дією (випромінюванням) власного джерела (або джерел). Це узагальнення є універсальне для хвильових структур різної природи.
Див. також
Посилання
- Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. .
- Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu et Frank Laloe (1977). Mecanique quantique, vol. I et II. Paris: Collection Enseignement des sciences (Hermann). .
Література
- Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Ін-т фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л.М.Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. —
Цю статтю треба для відповідності Вікіпедії. (Жовтень 2012) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Potencia lnij bar ye r oblast prostoru iz zbilshenim znachennyam potencialnoyi energiyi Odnovimirnij pryamokutnij potencialnij bar yerZagalna harakteristikaChastina prostoru v yakomu ye lokalnij maksimum potencialnoyi energiyi tobto diyut sili yaki vishtovhuyut chastinu z cogo prostoru j vona ne mozhe proniknuti v cyu oblast bez nadannya yij pevnoyi energiyi dlya zdijsnennya roboti proti cih sil U vipadku sistem sho opisuyutsya zakonami kvantovoyi mehaniki chastinka mozhe proniknuti cherez bar yer ne mayuchi dostatnoyi energiyi dlya podolannya cogo vidrizku prostoru ponad bar yerom tunelnij efekt Maksimalne znachennya potencialnoyi energiyi v bar yeri nazivayetsya visotoyu bar yeru V klasichnij mehanici chastinka iz kinetichnoyu energiyeyu menshoyu za visotu bar yeru ne mozhe proniknuti v oblast potencialnogo bar yeru Tomu cyu oblast chasto nazivayut klasichno zaboronenoyu Kvantova chastinka chastkovo pronikaye pid bar yer U vipadku koli bar yer skinchennij kvantova chastinka mozhe prosochitisya tunelyuvati kriz nogo Klasichna chastinka naletivshi na potencialnij bar yer vidbivayetsya vid nogo yaksho yiyi energiya mensha za visotu bar yeru Yaksho energiya chastki bilsha za visotu bar yeru to klasichna chastinka vilno prohodit nad bar yerom Kvantova chastinka chastkovo vidbivayetsya navit todi koli yiyi energiya perevishuye visotu bar yeru Pri pevnih znachennyah energiyi ce vidbittya mozhe buti absolyutnim tobto kvantova chastinka ne pronikaye cherez bar yer navit mayuchi dostatnyu energiyu Odnovimirnij potencialnij bar yer v kvantovij mehaniciSkinchennij potencialnij bar yer v kvantovij mehanici ce standartna odnovimirna zadacha sho demonstruye yavishe kvantove tunelyuvannya Problema polyagaye u rozv yazku nezalezhnogo vid chasu rivnyannya Shredingera dlya chastki sho ruhayetsya v okolicyah potencialnogo bar yeru kinechnih rozmiriv v odnovimirnomu prostori Yak pravilo rozglyadayut ruh chastki na bar yer zliva Ochevidno sho u klasichnomu vipadku chastka trivialno vidib yetsya vid bar yera u vipadku koli yiyi potencialna energiya mensha za visotu bar yera Prote u kvantovomu vipadku isnuye kinceva jmovirnist proniknennya chastki cherez potencialnij bar yer navit u vipadku koli yiyi energiya mensha visoti bar yera Proces vidbivannya chastki vid bar yera harakterizuyetsya koeficiyentom vidbivannya a proces tunelyuvannya chastki cherez bar yer koeficiyentom proniknennya Elementarna teoriya procesivRozsiyannya na potencialnomu bar yeri visotoyu V 0 displaystyle V 0 Tut poznacheni amplitudi livostoronnogo ta pravostoronnogo nalitannya na bar yer Chervonim kolorom pomicheni amplitudi hvil sho vidbilisya vid bar yera j projshli kriz nogo Na comu malyunku E gt V 0 displaystyle E gt V 0 Nezalezhne vid chasu rivnyannya Shredingera dlya hvilovih funkcij ps x displaystyle psi x maye viglyad H ps x ℏ 2 2 m d 2 d x 2 V x ps x E ps x displaystyle H psi x left frac hbar 2 2m frac d 2 dx 2 V x right psi x E psi x de H displaystyle H gamiltonian ℏ displaystyle hbar Stala Planka m displaystyle m masa a E displaystyle E energiya chastinki i V x V 0 8 x 8 x a displaystyle V x V 0 Theta x Theta x a bar yernij potencial z visotoyu V 0 gt 0 displaystyle V 0 gt 0 ta shirinoyu a displaystyle a 8 x 0 x lt 0 8 x 1 x gt 0 displaystyle Theta x 0 x lt 0 Theta x 1 x gt 0 shodinkova Funkciya Gevisajda Bar yer roztashovanij mizh x 0 displaystyle x 0 ta x a displaystyle x a Pershij chlen v gamiltoniani ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ps displaystyle frac hbar 2 2m frac d 2 dx 2 psi kinetichna energiya Bar yer rozdilyaye prostir na tri chastini x lt 0 0 lt x lt a x gt 0 displaystyle x lt 0 0 lt x lt a x gt 0 U vsih cih chastinah potencial maye postijne znachennya sho oznachaye dlya chastki sho vona kvazivilna Tomu rozv yazok rivnyannya Shredingera mozhe buti zapisanij u viglyadi kvantovoyi superpoziciyi dlya ruhu zliva i sprava na bar yer U vipadku koli E gt V 0 displaystyle E gt V 0 ps L x A r e i k 0 x A l e i k 0 x x lt 0 displaystyle psi L x A r e ik 0 x A l e ik 0 x quad x lt 0 ps C x B r e i k 1 x B l e i k 1 x 0 lt x lt a displaystyle psi C x B r e ik 1 x B l e ik 1 x quad 0 lt x lt a and ps R x C r e i k 0 x C l e i k 0 x x gt a displaystyle psi R x C r e ik 0 x C l e ik 0 x quad x gt a de hvilovi chisla vidnosyatsya do energiyi cherez k 0 2 m E ℏ 2 x lt 0 o r x gt a displaystyle k 0 sqrt 2mE hbar 2 quad quad quad quad x lt 0 quad or quad x gt a k 1 2 m E V 0 ℏ 2 0 lt x lt a displaystyle k 1 sqrt 2m E V 0 hbar 2 quad 0 lt x lt a Indeks r l pri koeficiyentah A ta B vidmichaye napryam vektora shvidkosti U vipadku koli energiya chastki nizhche potencialnogo bar yeru todi k 1 displaystyle k 1 staye chisto uyavnoyu velichinoyu i hvilova funkciya eksponencijno spadaye vseredini bar yeru Poznachennya r l vikoristovuyetsya i u vipadku koli chastka ne pronikaye cherez bar yer Todi pripuskayetsya sho E V 0 displaystyle E neq V 0 Vipadok E V 0 displaystyle E V 0 rozglyanutij nizhche Koeficiyenti A B C displaystyle A B C povinni buti viznacheni iz granichnih umov dlya hvilovoyi funkciyi pri x 0 displaystyle x 0 ta x a displaystyle x a Hvilovi funkciyi ta yihni pohidni povinni buti neperervnimi skriz i na granicyah takozh ps L 0 ps C 0 displaystyle psi L 0 psi C 0 d d x ps L 0 d d x ps C 0 displaystyle frac d dx psi L 0 frac d dx psi C 0 ps C a ps R a displaystyle psi C a psi R a d d x ps C a d d x ps R a displaystyle frac d dx psi C a frac d dx psi R a Pidstavlyayuchi hvilovu funkciyu v granichni umovi otrimayemo taki obmezhennya dlya koeficiyentiv A r A l B r B l displaystyle A r A l B r B l i k 0 A r A l i k 1 B r B l displaystyle ik 0 A r A l ik 1 B r B l B r e i a k 1 B l e i a k 1 C r e i a k 0 C l e i a k 0 displaystyle B r e iak 1 B l e iak 1 C r e iak 0 C l e iak 0 i k 1 B r e i a k 1 B l e i a k 1 i k 0 C r e i a k 0 C l e i a k 0 displaystyle ik 1 B r e iak 1 B l e iak 1 ik 0 C r e iak 0 C l e iak 0 E V0U vipadku koli energiya chastki rivna visoti potencialnogo bar yeru rozv yazok rivnyannya Shredingera v oblasti bar yera uzhe ne ye eksponencijnij a u viglyadi linijnih funkcij vid koordinati prostoru ps C x B 1 B 2 x 0 lt x lt a displaystyle psi C x B 1 B 2 x quad 0 lt x lt a Povnij roz yazok rivnyannya Shredingera mozhe buti znajdene analogichnim chinom yak bulo podano vishe shlyahom zshivannya hvilovih funkcij ta yihnih pohidnih pri x 0 displaystyle x 0 ta x a displaystyle x a Cej rezultat daye taki obmezhennya na velichini koeficiyentiv A r A l B 1 displaystyle A r A l B 1 i k 0 A r A l B 2 displaystyle ik 0 A r A l B 2 B 1 B 2 a C r e i a k 0 C l e i a k 0 displaystyle B 1 B 2 a C r e iak 0 C l e iak 0 B 2 i k 0 C r e i a k 0 C l e i a k 0 displaystyle B 2 ik 0 C r e iak 0 C l e iak 0 Proniknennya ta vidbivannyaNa danomu etapi rozglyadu docilno porivnyati povedinku chastki z klasichnim vipadkom V oboh vipadkah za mezhami bar yeru chastka ye vilnoyu dlya ruhu Dlya velikih energij E displaystyle E bilshih za visotu potencialnogo bar yeru V 0 displaystyle V 0 would navit klasichna chastka zavzhdi prohodit cherez bar yer prote pri energiyah E lt V 0 displaystyle E lt V 0 klasichna chastka zavzhdi vidbivayetsya vid bar yeru Dlya vivchennya kvantovogo vipadku rozglyanemo nastupnu situaciyu koli chastka nalitaye zliva na bar yer A r displaystyle A r Vona mozhe yak vidbitisya A l displaystyle A l tak i proniknuti cherez bar yer C r displaystyle C r Znajti amplitudi vidbivannya ta proniknennya dlya vipadku nalitannya chastki zliva mi poklademo u vishe privedenih rivnyannyah A r 1 displaystyle A r 1 nalitayucha chastka A l r displaystyle A l r vidbittya C l displaystyle C l 0 nemaye nalitayuchih chastok pravoruch ta C r t displaystyle C r t proniknennya Takim chinom mi znishimo koeficiyenti B l B r displaystyle B l B r v rivnyanni i rozv yazhemo dlya r t displaystyle r t Rezultat bude t 4 k 0 k 1 e i a k 0 k 1 k 0 k 1 2 e 2 i a k 1 k 0 k 1 2 displaystyle t frac 4k 0 k 1 e ia k 0 k 1 k 0 k 1 2 e 2iak 1 k 0 k 1 2 r k 0 2 k 1 2 sin a k 1 2 i k 0 k 1 cos a k 1 k 0 2 k 1 2 sin a k 1 displaystyle r frac k 0 2 k 1 2 sin ak 1 2ik 0 k 1 cos ak 1 k 0 2 k 1 2 sin ak 1 Vrahovuyuchi model dzerkalnoyi simetriyi amplitudi dlya vipadkiv nalitannya pravoruch budut takimi samimi yak i livoruch Neobhidno vidznachiti sho ci rezultati spravedlivi dlya energij E gt 0 displaystyle E gt 0 Analiz otrimanih rezultativE lt V0 Jmovirnist proniknennya i dlya potencialnogo bar yeru kincevoyi velichini dlya 2 m V 0 a ℏ 7 displaystyle sqrt 2mV 0 a hbar 7 Punktirni klasichnij rezultat Sucilni liniyi kvantovomehanichnij rezultat Nespodivanist rezultatu polyagaye v tomu sho kvantova chastka z energiyeyu menshe za visotu bar yeru E lt V 0 displaystyle E lt V 0 vse zh taki pronikaye cherez bar yer Virnishe isnuye ne nulove znachennya jmovirnosti T t 2 1 1 V 0 2 sinh 2 k 1 a 4 E V 0 E displaystyle T t 2 frac 1 1 frac V 0 2 sinh 2 k 1 a 4E V 0 E dlya chastki proniknuti cherez bar yer pri k 1 2 m V 0 E ℏ 2 displaystyle k 1 sqrt 2m V 0 E hbar 2 Cej efekt sho ne maye analogiyi v klasici nazivayetsya kvantovim tunelyuvannyam Proniknennya eksponencijno podavlyayetsya shirinoyu bar yeru sho mozhna zrozumiti iz funkcionalnoyi formi hvilovoyi funkciyi Za mezhami bar yeru vona oscilyuye z hvilovim vektorom k 0 displaystyle k 0 v toj chas yak vseredini bar yeru vona eksponencijno spadaye na vidstani 1 k 1 displaystyle 1 k 1 U vipadku koli bar yer znachno bilshij nizh cya dovzhina rozpadu livi ta pravi chastini ye virtualno nezalezhni i tunelyuvannya ochevidno podavlene E gt V0 V comu vipadku T t 2 1 1 V 0 2 sin 2 k 1 a 4 E E V 0 displaystyle T t 2 frac 1 1 frac V 0 2 sin 2 k 1 a 4E E V 0 Dosit nespodivanim v comu vipadku ye te sho pri energiyah bilshih za velichinu potencialnogo bar yeru E gt V 0 displaystyle E gt V 0 kvantova chastka mozhe buti vidbita vid cogo bar yeru iz ne nulovoyu jmovirnistyu R r 2 1 T displaystyle R r 2 1 T Cya jmovirnist oscilyuye iz k 1 a displaystyle k 1 a i spravedliva v mezhah E V 0 displaystyle E gg V 0 nablizhayuchis do klasichnogo rezultatu r 0 displaystyle r 0 de vidsutnye vidbivannya Neobhidno pam yatati sho jmovirnosti i amplitudi ye dlya energij vishe nizhche visoti bar yeru E V0 Jmovirnist proniknennya pri E V 0 displaystyle E V 0 mozhe buti ocinena yak T 1 1 m a 2 V 0 2 ℏ 2 displaystyle T frac 1 1 ma 2 V 0 2 hbar 2 Zauvazhennya ta vikoristannyaPredstavleni vishe obchislennya ta ocinki mozhut na pershij poglyad zdatisya nerealistichnimi i nepotribnimi Prote vzhe dovedeno chiselnimi vprovadzhennyami sho ce pridatna model dlya riznomanitnih praktichnih sistem Odnim iz takih praktichnih vikoristan ye sistema sho skladayetsya iz dvoh metalevih shariv rozdilenih izolyatorom U kvantovomu vipadku pri malij tovshini izolyatora mozhlive proniknennya chastok cherez dielektrik shlyahom tunelyuvannya Taki priladi otrimali nazvu tunelni diodi Suchasnij skanuyuchij tunelnij mikroskop scanning tunneling microscope STM takozh bazuyetsya na tunelnomu efekti V comu vipadku bar yer pov yazanij iz sharom povitrya sho rozdilyaye golkovij elektrod mikroskopa ta poverhnyu doslidzhuvanogo ob yekta Oskilki tunelnij strum zalezhit eksponencijno vid shirini bar yeru cej prilad ye ekstremalno chutlivij do visoti variacij na poverhni doslidzhuvanogo ob yekta Predstavlena vishe model odnovimirna prote oskilki prostir ye trivimirnij tomu neobhidno rozv yazuvati rivnyannya Shredingera dlya troh koordinat Z inshogo boku bagato sistem zminyuyut svoyi vlastivosti tilki vzdovzh odniyeyi koordinati i translyacijno invariantni shodo inshih koordinat Tomu rivnyannya Shredingera mozhe buti redukovane do vipadku rozglyanutomu vishe shlyahom zamini hvilovoyi funkciyi na PS x y z ps x ϕ y z displaystyle Psi x y z psi x phi y z Inshij krajnij vipadok ye Delta potencialnij bar yer kotrij mozhe buti vidnesenij yak krajnij vipadok vishe rozglyanutogo potencialnogo bar yeru Vsi vikladki dlya cogo vipadku mozhut buti pereneseni na nogo V 0 a 0 displaystyle V 0 to infty quad a to 0 vrahovuyuchi sho V 0 a l 2 m 2 displaystyle V 0 a frac lambda 2 m 2 postijna Kvantovo mehanichnij impedans Quantum impedance V ramkah impedansnoyi modeli vivedennya virazu dlya koeficiyentu vidbittya vikonuyetsya v odin ryadok na vidminu vid vishe privedenih tradicijnih vikladok V analizi rezultativ zrobimo akcent na vazhlivomu fizichnomu efekti rezonansnomu nadbar yernomu prohodzhenni elektroniv Ochevidno sho oblast bar yeru ta navkolishnogo seredovisha vidriznyayetsya svoyimi impedansami Pronormuyemo impedans bar yeru do impedansa otochuyuchogo seredovisha Normovanij vhidnij impedans na granici bar yeru dlya hvili sho nalitaye na bar yer zliva mayemo Z 1 Z Z 2 A Z A displaystyle Z 1 frac Z Z 2 A Z A de Z m E V 0 m 1 E displaystyle Z sqrt m E V 0 m 1 E normovanij impedans bar yeru m displaystyle m ta m 1 displaystyle m 1 efektivni masi elektronu vidpovidno v otochuyuchomu seredovishi ta v oblasti bar yeru V 0 displaystyle V 0 visota bar yeru A tan i k 1 a displaystyle A tan ik 1 a k 1 1 ℏ 2 m 1 E V 0 displaystyle k 1 frac 1 hbar sqrt 2m 1 E V 0 hvilove chislo v otochuyuchomu seredovishi a displaystyle a tovshina bar yeru Neobhidno vidznachiti sho Z k 1 m k m 1 displaystyle Z k 1 m km 1 de k 1 ℏ 2 m E displaystyle k frac 1 hbar sqrt 2mE hvilove chislo v otochuyuchomu seredovishi Vidnoshennya yake vidpovidaye Z displaystyle Z figuruye u vidomih virazah dlya bar yernih zadach Takim chinom normuvannyam impedansu uzhe na pochatku vikladok zakladena kompaktnist rozv yazku Pri E lt V 0 displaystyle E lt V 0 impedans ta hvilove chislo v oblasti bar yeru uyavni sho vidpovidaye tunelyuvannyu elektroniv R 1 Z 1 1 Z 1 displaystyle R 1 Z 1 1 Z 1 Pidstavlyayuchi v nogo znachennya Z 1 k displaystyle Z 1 k znahodimo R Z 2 1 A 2 Z Z 2 1 A displaystyle R frac Z 2 1 A 2Z Z 2 1 A Ostannij viraz uzagalnyuye tunelyuvannya ta nadbar yerne prohodzhennya elektroniv a takozh vrahovuye riznicyu v efektivnih masah elektronu v otochuyuchomu seredovishi ta v oblasti bar yeru Cej viraz spravedlivij i dlya potencialnoyi yami yaksho k m displaystyle k m ta k 1 m 1 displaystyle k 1 m 1 vidpovidno pominyati miscyami u virazah dlya Z displaystyle Z ta A displaystyle A Yaksho m m 1 displaystyle m m 1 to Z k 1 k displaystyle Z k 1 k i oskilki tan i x i tan x displaystyle tan ix i tan x to ostannij viraz mozhna perepisati u viglyadi K k 2 k 1 2 sin k 1 a k 2 k 1 2 sin k 1 a 2 i k k 1 cos k 1 a displaystyle K frac k 2 k 1 2 sin k 1 a k 2 k 1 2 sin k 1 a 2ikk 1 cos k 1 a Tobto otrimano vidomij viraz dlya vidbittya vid potencialnogo bar yeru Vidpovidno do zakonu zberezhennya energiyi R 2 T 2 1 displaystyle R 2 T 2 1 de T displaystyle T koeficiyent prohodzhennya Pri tunelyuvannya T 1 displaystyle T ll 1 Iz vrahuvannyam cogo R 2 1 T 2 displaystyle R 2 approx 1 T 2 Pislya neskladnih peretvoren znahodimo T 2 Z A 2 1 Z 2 1 displaystyle T approx 2 frac Z sqrt A 2 1 Z 2 1 de A tanh x a displaystyle A tanh chi a x 1 ℏ 2 m 1 V 0 E displaystyle chi frac 1 hbar sqrt 2m 1 V 0 E Pri m m 1 displaystyle m m 1 iz vrahuvannyam togo sho cosh 2 x sinh 2 x 1 displaystyle cosh 2 x sinh 2 x 1 ta x a 1 displaystyle chi a gg 1 znahodimo vidomij viraz T 4 V 0 E V 0 E exp x a displaystyle T approx frac 4 V 0 sqrt E V 0 E exp chi a Perepishemo jogo u viglyadi T E ˇ 1 E ˇ exp 5 1 1 E ˇ V 0 a displaystyle T approx sqrt quad check E 1 quad check E exp big 5 1 sqrt 1 quad check E sqrt V 0 a big Tut E ˇ E V 0 displaystyle quad check E E V 0 m m 0 displaystyle m m 0 m 0 displaystyle m 0 masa spokoyu elektronu visota bar yeru V 0 displaystyle V 0 vimiryuyetsya v eV shirina bar yeru a displaystyle a v nm Pri E ˇ 0 5 displaystyle quad check E 0 5 mayemo T 2 exp 3 6 V 0 a displaystyle T approx 2 exp 3 6 sqrt V 0 a Znachennyam V 0 0 4 displaystyle V 0 0 4 E ˇ 0 5 displaystyle quad check E 0 5 ta a 6 displaystyle a 6 nm vidpovidaye T 2 10 6 displaystyle T approx 2 cdot 10 6 Pri nadbar yernomu prohodzhenni elektroniv E gt V 0 displaystyle E gt V 0 mayemo A i tan k 1 a displaystyle A i cdot tan k 1 a Yaksho a n l 2 displaystyle a n lambda 2 de n 1 2 l 1 displaystyle n 1 2 dots lambda 1 l 1 displaystyle lambda 1 dovzhina hvili elektronu v oblasti bar yeru to A 0 displaystyle A 0 i R 0 displaystyle R 0 umovi rezonansnogo nadbar yernogo prohodzhennya elektroniv v zagalnomu vipadku Neobhidno vidznachiti sho pri k 1 0 displaystyle k 1 0 koeficiyent vidbittya R 0 displaystyle R neq 0 V chastkovomu vipadku koli m 1 lt m displaystyle m 1 lt m pri vidpovidnih znachennyah E displaystyle E impedans Z 1 displaystyle Z 1 sho takozh vidpovidaye rezonansnomu nadbar yernomu prohodzhennyu elektroniv Rezonansne prohodzhennya hvil maye vinyatkove znachennya v formuvanni harakteristik hvilovih struktur Neobhidno zvernuti uvagu na fizichni osoblivosti umov takogo prohodzhennya Dlya rezonansnogo prohodzhennya hvil klyuchove znachennya maye stoyacha hvilya Stribki potencialu bar yeru utvoryuyut rezonator Na vlasnih chastotah yaki vidpovidayut rezonansnomu prohodzhennyu v rezonatori formuyetsya stoyacha hvilya Rezonator zi stoyachoyu hvileyu yavlyaye soboyu vlasne po vidnoshennyu do bar yeru do hvilovoyi strukturi v zagalnomu vipadku dzherelo hvil Na vlasnih chastotah rezonatoru hvilya sho vidbivayetsya bar yerom kompensuyetsya protifaznoyu hvileyu sho viprominyuye ce dzherelo Takim chinom pri rezonansnomu prohodzhenni kompensaciya neodnoridnosti hvilovih zburen padayuchoyi hvili na granici rozdilu seredovish obumovlena zbudzhennyami stoyachoyi hvili tak sho padayucha hvilya prohodit ci granici yak odnoridne seredovishe bez vidbittya Inshimi slovami stribki vlastivostej seredovish na granici bar yeru diyut yak vnutrishni dzherela hvil vidbitih hvil Pri rezonansnomu prohodzhennyu diya viprominyuvannya vnutrishnih dzherel zkompensovana diyeyu viprominyuvannyam vlasnogo dzherela abo dzherel Ce uzagalnennya ye universalne dlya hvilovih struktur riznoyi prirodi Div takozhDelta potencialna yamaPosilannyaGriffiths David J 2004 Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed Prentice Hall ISBN 0 13 111892 7 Claude Cohen Tannoudji Bernard Diu et Frank Laloe 1977 Mecanique quantique vol I et II Paris Collection Enseignement des sciences Hermann ISBN 2 7056 5767 3 LiteraturaGlosarij terminiv z himiyi J Opejda O Shvajka In t fiziko organichnoyi himiyi ta vuglehimiyi im L M Litvinenka NAN Ukrayini Doneckij nacionalnij universitet Doneck Veber 2008 758 s ISBN 978 966 335 206 0 Cyu stattyu treba vikifikuvati dlya vidpovidnosti standartam yakosti Vikipediyi Bud laska dopomozhit dodavannyam dorechnih vnutrishnih posilan abo vdoskonalennyam rozmitki statti Zhovten 2012