Поля́рний моме́нт іне́рції — геометрична характеристика плоскої фігури, що визначається як сума (інтеграл) добутків площ елементарних площинок dA на квадрат відстані їх від полюса — ρ2 (у полярній системі координат), взята по всій площі перерізу. Тобто:
Ця величина використовується для прогнозування здатності об'єкта чинити опір крученню. Вона має розмірність четвертого степеня одиниці довжини (м4, см4) і може бути лише додатною.
Для площі перерізу, що має форму кола радіусом r:
Зрозуміло: якщо сумістити початок декартової прямокутної системи координат із полюсом полярної системи (див. рис.), то
- тому що .
Застосування
Полярний момент інерції застосовується у формулах, які описують залежність між дотичними напруженнями та крутним моментом, що їх викликає дотичне напруження:
де — крутний момент, — відстань від осі кручення і — полярний момент інерції.
Полярний момент інерції для деяких випадків
Для круглого суцільного перерізу з одиничною густиною:
де R — зовнішній радіус кола.
Для кільцевого перерізу просто з полярного моменту інерції більшого круга вираховуємо полярний момент інерції меншого:
де
- R — зовнішній радіус кільця,
- r — внутрішній радіус кільця.
Див. також
Джерела
- Опір матеріалів. Підручник /Г. С. Писаренко, О. Л. Квітка, Е. С. Уманський. За ред. Г. С. Писаренка — К.: Вища школа,1993 .- 655 с.
- Мильніков О.В. Опір матеріалів. Конспект лекцій. − Тернопіль: Видавництво ТНТУ, 2010. − 257 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Polya rnij mome nt ine rciyi geometrichna harakteristika ploskoyi figuri sho viznachayetsya yak suma integral dobutkiv plosh elementarnih ploshinok dA na kvadrat vidstani yih vid polyusa r2 u polyarnij sistemi koordinat vzyata po vsij ploshi pererizu Tobto Shema do obchislennya polyarnogo momentu inerciyi J 0 A r 2 d A displaystyle J 0 iint A rho 2 dA Cya velichina vikoristovuyetsya dlya prognozuvannya zdatnosti ob yekta chiniti opir kruchennyu Vona maye rozmirnist chetvertogo stepenya odinici dovzhini m4 sm4 i mozhe buti lishe dodatnoyu Dlya ploshi pererizu sho maye formu kola radiusom r J 0 0 2 p 0 r r 2 r d r d ϕ p r 4 2 displaystyle J 0 int 0 2 pi int 0 r rho 2 rho d rho d phi frac pi r 4 2 Zrozumilo yaksho sumistiti pochatok dekartovoyi pryamokutnoyi sistemi koordinat iz polyusom polyarnoyi sistemi div ris to J 0 J x J y displaystyle J 0 J x J y tomu sho r 2 x 2 y 2 displaystyle rho 2 x 2 y 2 ZastosuvannyaPolyarnij moment inerciyi zastosovuyetsya u formulah yaki opisuyut zalezhnist mizh dotichnimi napruzhennyami ta krutnim momentom sho yih viklikaye dotichne napruzhennya t T r J 0 displaystyle tau frac Tr J 0 de T displaystyle T krutnij moment r displaystyle r vidstan vid osi kruchennya i J 0 displaystyle J 0 polyarnij moment inerciyi Dokladnishe Deformaciya kruchennyaPolyarnij moment inerciyi dlya deyakih vipadkivDlya kruglogo sucilnogo pererizu z odinichnoyu gustinoyu J p 0 x 2 y 2 R d A 0 2 p 0 R r 2 r d r d 8 p R 4 32 displaystyle J p0 iint x 2 y 2 leq R dA int 0 2 pi int 0 R r 2 rdrd theta frac pi R 4 32 de R zovnishnij radius kola Dlya kilcevogo pererizu prosto z polyarnogo momentu inerciyi bilshogo kruga virahovuyemo polyarnij moment inerciyi menshogo J p 0 p R 4 32 1 r 4 R 4 displaystyle J p0 frac pi R 4 32 left 1 frac r 4 R 4 right de R zovnishnij radius kilcya r vnutrishnij radius kilcya Div takozhMomenti inerciyi ploskih pererizivDzherelaOpir materialiv Pidruchnik G S Pisarenko O L Kvitka E S Umanskij Za red G S Pisarenka K Visha shkola 1993 655 s ISBN 5 11 004083 4 Milnikov O V Opir materialiv Konspekt lekcij Ternopil Vidavnictvo TNTU 2010 257 s