Паралелотоп

Паралелепі́пед (від грец. παράλλος — паралельний і επιπεδον — площина) — призма, основою для якої є паралелограм.

Властивості

• Всі 6 граней паралелепіпеда є паралелограмами.
• Протилежні грані рівні та паралельні.
• Діагоналі перетинаються в одній точці та діляться в ній навпіл.

Типи паралелепіпедів

Прямокутний паралелепіпед і його виміри a, b, c

Розрізняють декілька типів паралелепіпедів:

• Прямий паралелепіпед — паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площини основи. У прямих паралелепіпедів чотири грані є прямокутниками, а основи — паралелограмами. Паралелепіпеди, які не є прямими, називаються похилими.
• Прямокутний паралелепіпед — прямий паралелепіпед, основою в якому є прямокутник. У прямокутного паралелепіпеда всі грані — прямокутники. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину, називають його вимірами. Всі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні. Моделями прямокутного паралелепіпеда може бути кімната, цеглина, сірникова коробка.
• Куб — прямокутний паралелепіпед з рівними сторонами. Всі шість граней куба — рівні квадрати.

Основні формули

Прямий паралелепіпед

1. Площа бічної поверхні:

   S_б = Р_о · h, де Р_о — периметр основи, h — висота.

2. Площа повної поверхні:

   S_п = S_б + 2S_о, де S_о — площа основи.

3. Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту:

   V = S_о · h.

Прямокутний паралелепіпед

1. Площа бічної поверхні:

   S_б = 2c (a + b), де a, b — сторони основи, c — бічне ребро прямокутного паралелепіпеда.

2. Площа повної поверхні:

   S_п = 2(ab + bc + ac).

3. Об'єм:

   V = abc, де a, b, c — виміри прямокутного паралелепіпеда.

4. У прямокутному паралелепіпеді квадрат діагоналі d дорівнює сумі квадратів його вимірів:

   d² = a² + b² + c².

Куб

1. Площа повної поверхні:

   S_п = 6a², де a — сторона.

2. Об'єм:

   V = a³.

3. Діагональ:

   d = a√3.

Формули векторної алгебри

Паралелепіпед, який задається трьома векторами a, b і c.

Довжини векторних добутків a×b і b×c дорівнюють площам відповідних паралелограмів

Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$, ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}$ і ${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})}$ розраховується як модуль мішаного добутку цих векторів:

${\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|,}$

або

${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}$

Паралелотоп

Гарольд Коксетер назвав узагальнення паралелепіпеда на вищі розмірності паралелотопом. В сучасній літературі термін "паралелепіпед" часто використовують і у вищих розмірностях .

Конкретніше, паралелотоп в n-вимірному просторі називається n-вимірний паралелотоп, або просто n-паралелотоп (або n-паралелепіпед). Таким чином паралелограм це 2-паралелотоп, а паралепіпед - 3-паралелотоп.

Більш загально, паралелотоп, або паралелотоп Вороного, має паралельні і конгруентні протилежні фасети. Тож 2-паралелотоп - це паралелогон що також може включати деякі гексагони, а 3-паралелотоп це ^[en].

Діагоналі n-паралелотопа перетинаються в одній точці, і ця точка ділить їх надвоє. Інверсія в цій точці залишає n-паралелотоп незміненим.

Ребра що виходять з однієї вершини k-паралелотопа утворюють ^[en] ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{k})}$ векторного простору, і паралелотоп можна відтворити з цих векторів їх лінійними комбінаціями з коефіцієнтами в межах від 0 до 1.

n-об'єм n-паралелотопа в просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ де ${\displaystyle m\geq n}$ можна обчислити за допомогою визначника Грама. Як альтернатива, об'єм - це норма зовнішнього добутку векторів: $${\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}$$

Якщо m = n, це дорівнює абсолютному значенню визначника n векторів.

Див. також

• Призма
• Прямокутний паралелепіпед
• Куб

Примітки

1. Бевз, 2002, с. 110.
2. Погорелов, 2009, с. 73—75.
3. Киселёв, 1980, с. 211.
4. Крамор, 2008, с. 188.
5. Бевз, 2002, с. 112.
6. Morgan, C. L. (1974). Embedding metric spaces in Euclidean space. Journal of Geometry, 5(1), 101–107. https://doi.org/10.1007/bf01954540
7. Deza, Michel; Grishukhin, Viacheslav (2003). Properties of parallelotopes equivalent to Voronoi's conjecture. arXiv:math/0307170.

Література

• Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія. Підручник для 10—11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. — Київ : «Вежа», 2002. — .
• Погорелов А. В. Геометрия. 10—11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений. — 9-е изд. — Москва : Просвещение, 2009. — 175 с. — .(рос.)
• Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. — 4-е изд. — Москва : «Мир и Образование», 2008. — 336 с. — .(рос.)
• Киселёв А. П. Элементарная геометрия. Книга для учителя. — Москва : Просвещение, 1980. — 287 с.(рос.)