Парадокс обертання монети

Парадокс обертання монети — якщо одну монету котять по краю іншої монети такого ж розміру, то рухома монета щоб опинитись у початковому положенні виконає не один, а два повних оберти навколо своєї вісі, якщо дивитися на неї з боку зовнішньої системи відліку. Цей математичний парадокс можна узагальнити на кола різного радіусу.

Рухлива монета здійснює два оберти навколо своєї вісі, роблячи один оберт навколо нерухомої монети.

Шлях однієї точки на краю рухомої монети є кардіоїдою, яка робить лише одне коло.

Парадокс отримав широку відомість після того, як подібне завдання в дещо іншому формулюванні було включено до тесту SAT, при цьому жоден із передбачених у тесті варіантів відповіді не був правильним.

Опис

Найпростіше побачити проблему, якщо розглядати дві ідентичні монети, які торкаються одна одної на столі. Розмістіть монети так, щоб якийсь помітний елемент був вгорі або знизу. Тримаючи монету A нерухомо, обертайте монету Б навколо A, зберігаючи точку контакту без ковзання. Коли монета Б досягає протилежного боку, вона зробить один повний оберт. Продовження руху поверне монету Б у вихідне положення та завершить другий оберт. Парадоксально: монета Б навколо довжини окружності нерухомої монети зробила два оберти, тобто «прокотилася» на відстань, що дорівнює подвоєній довжині її окружності. Насправді, оскільки окружності обох монет рівні за визначенням, монета B дійсно прокотилася лише на відстань, що дорівнює її власній окружності, тобто на один оберт. Друге обертання виникає внаслідок того, що шлях, по якому котилась монета, сам є колом, що аналогічно повному обертанню монети Б без котіння, «на місці» і цей оберт не залежить від розміру об'єкта, який огинають.

Один із способів візуалізації різниці в складових частинах ефекту — це «витягнути» окружність монети A у пряму лінію. Монета Б у такому випадку обертається лише один раз, коли вона рухається по пласкій траєкторії. Це «перший оберт». Тепер розглянемо ковзання однією незмінною точкою (без прокочування) монети Б по колу монети A — це дасть одне повне обертання, яке представляє «другий оберт».

Іншим варіантом візуалізації є розгляд випадку руху монети вздовж периметру квадрата. Кочення по стороні квадрата викличе відповідне обертання монети, яке залежить від довжини сторони квадрата. Проте на куті квадрата, для забезпечення безперервного руху без ковзання монету доведеться повернути на 90 градусів без проходження будь-якого шляху. Чотири кути забезпечують 360 градусів обертання монети додатково до того, яке відбудеться при коченні вздовж периметру квадрата.

Коли монета Б обертається навколо іншої монети такого ж розміру, будь-яка точка її окружності описує кардіоїду.

Нерівні радіуси та рух не по колу

Приклад, коли R = 3 r . На малюнку 1, коли R випрямлено, кількість обертів (кількість разів, коли стрілка вказує вгору) R/r R / r = 3. На малюнку 2, коли R було відновлено в коло, монета робить додатковий оберт, даючи R/r R / r + 1 = 4. (Анімація)

На тесті SAT у травні 1982 року було запитання: Радіус кола А становить 1/3 радіуса кола Б. Починаючи з положення, показаного на малюнку, коло A котиться навколо кола Б. Через скільки обертів кола A його центр вперше досягне своєї початкової точки?

Варіанти відповіді:

(a) 2/3

(b) 3

(c) 6

(d) 9/2

(e) 9

Після тесту незалежно один від одного троє абітурієнтів поскаржилися на помилку в завданні та довели, що правильна відповідь 4, якої не було серед варіантів. Помилку визнали та повідомили, що отримані бали за тест будуть перераховані по всій країні, щоб виключити з результатів оцінку за це завдання. Крім того, в тексті питання «Через скільки обертів…» англійською мовою був використаний термін «revolution», яким в астрономії позначають повний оберт одного об'єкта навколо іншого (наприклад, річний оберт Землі довкола Сонця). Цей термін може позначати і обертання об'єкта навколо своєї вісі, але зазвичай у такому випадку використовується термін «rotation», а для «revolution» таке трактування набагато менш поширене. З урахуванням різниці в термінології на поставлене запитання «Через скільки обертів…» можна відповісти, що коло А зробить один оберт навколо кола Б поки не досягне початкової точки. Хоча цей варіант і є скоріше лінгвістичною неточністю, але відповідь «1» могла б трактуватися як вірна і вона також була відсутня в переліку варіантів.

Найпростіше довести помилку було через демонстрацію на двох паперових колах з відповідним співвідношенням радіусів (див. малюнок). Дещо складніше було довести це математично.

Аналіз та загальне рішення для замкненої кривої

Обертання дрібної монети навколо більшої

Від початку до кінця центр рухомої монети рухається по колу. Окружність нерухомої монети та траєкторія центру утворюють два концентричних кола. Радіус зовнішнього кола є сумою радіусів монет; отже, окружність шляху рухомого центру вдвічі більша за окружність однієї монети. Центр рухомої монети проходить подвійну довжину окружності монети без ковзання. Саме тому рухома монета робить два повних оберти.

Наскільки рухома монета на цьому шляху обертається навколо власного центру або в якому напрямку — це не впливає на довжину шляху, який повинен пройти центр монети Б. Фокусування уваги на точці торкання нерухомої монети та кількості обертів відволікає увагу і заважає збагнути дійсну довжину шляху, який проходить монета.

Монета радіуса r, що котиться навколо монети радіуса R, утворює R/r + 1 обертання. Це відбувається тому, що центр монети, що котиться, рухається по колу радіусом R + r/r = R/r + 1 помножити на власний радіус. У граничному випадку, коли R = 0, монета радіуса r становить 0/r + 1 = 1 простий оберт навколо нижньої точки.

Назагал, форма, навколо якої котиться монета, не обов'язково має бути саме колом: один додатковий оберт додається до співвідношення довжини кола до периметру будь-якого простого багатокутника або взагалі замкненої кривої, яка не перетинає сама себе. Коло буде лише окремим випадком такої кривої.

Якщо розглядати випадок руху монети всередині кривої, то пройдена центром монети лінія буде відсунута всередину на радіс монети, що зменшить її розмір на довжину кола монети. Замість додавання одного оберту до співвідношення протяжності периметрів, треба відняти один оберт від такого співвідношення.

Інші прояви парадоксу

Парадокс пов'язаний із зоряним часом. Так зоряна доба — це час, необхідний Землі для обертання, щоб віддалена зірка повернулася в те саме положення на небі. При цьому такий час не співпадає з довжиною сонячної доби — часу, протягом якого Сонце повертається в зеніт. Рік має приблизно 365.25 сонячних діб, але 366.25 зоряних діб для одного оберту Землі навколо Сонця. Так як сонячна доба має 24 години, зоряна доба має приблизно 365.25/366.25 × 24 години = 23 години 56 хвилин і 4,1 секунди.

Відомо, що Місяць завжди повернений до Землі однією стороною. Більшість людей вважають, що це відбувається тому, що час обертання Місяця навколо своєї осі випадково дорівнює тривалості обороту Місяця по орбіті навколо Землі. Але через приливне блокування Місяць самостійно не обертається навколо своєї вісі! Якби Земля була плоскою, то Місяць ковзав би над нею без обертання і саме відсутність обертання забезпечувала б постійне звернення до Землі тільки однією стороною. Спостережуване в геліоцентричній системі координат обертання Місяця відбувається виключно через його обліт навколо Землі, тобто центром обертання є Земля, а не вісь Місяця. Так само кордова авіамодель облітає центр прив'язки і не має ніякого обертання навколо своєї вісі.

Версія парадоксу виникає в теорії груп, зокрема в дослідженні групи Лі, відомої як розщеплена дійсна форма G ₂ . Одна з конструкцій цієї групи використовує той факт, що куля, яка котиться навколо іншої кулі з потрійним радіусом, зробить чотири повних оберти, а не три.

Див. також

• Колесо Арістотеля

Примітки

1. Weisstein, Eric W. Coin Paradox(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
2. Pappas, Theoni (1990). The joy of mathematics: discovering mathematics all around you. San Carlos, Calif. ISBN .
3. Murtagh, Jack (20 червня 2023). The SAT Problem That Everybody Got Wrong. Scientific American (англ.). Процитовано 2 лютого 2024.
4. Error found in S.A.T. question. The New York Times (амер.). United Press International. 25 травня 1982. ISSN 0362-4331. Процитовано 2 лютого 2024.
5. Тестовый вопрос, на который все ответили неверно на YouTube
6. Bunch, Bryan H. (1982). Mathematical Fallacies and Paradoxes. Van Nostrand Reinhold. с. 10–11. ISBN .
7. Rotational dynamics - Center of wheel travels the length of circumference in one revolution.
8. Talwalkar, Presh (5 липня 2015). Everyone Got This SAT Math Question Wrong — через YouTube.
9. Bartlett, A. K., Solar and Sidereal Time, Popular Astronomy, vol.
10. ; Huerta, John (2014). G₂ and the Rolling Ball. Transactions of the American Mathematical Society. 366: 5257—5293. arXiv:1205.2447. Bibcode:2012arXiv1205.2447B. doi:10.1090/S0002-9947-2014-05977-1. MR 3240924.

Джерела

• Тестовый вопрос, на который все ответили неверно на YouTube
• Парадокс вращения монеты — иллюзионист от мира математики. Хабр (рос.). 3 січня 2024. Процитовано 31 січня 2024.
• Gardner, Martin (1975). Penny Puzzles. Mathematical Carnival. Alfred A. Knopf.
• Nguyen, Huyen (4 червня 2020). answer to the question What proven math fact surprised you the most.... Quora.