П'ятикутний трапецоедр

П'ятикутний трапецоедр
Тип	Двоїстий до однорідного Трапецоедри
Властивості	Напівправильний опуклий, рівногранний, ізоедр
Комбінаторика
Елементи	10 граней; 20 ребер(10 коротких+10 довгих); 12 вершин (10 {3-го степеня}+2{5-го}).
Грані	10 рівних дельтоїдів
Характеристика Ейлера	${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=2}$
Конфігурація грані	V 5.3.3.3 (послідовне число граней біля кожної вершини навколо грані)
Класифікація
Позначення	• dA5 (в ^[en])
Діаграма Коксетера-Динкіна	або (p2p10o) або (p2p5p)
Група симетрії	^[en], [2^+,10], (2*5), порядок 20 (Діедрична симетрія 5-Антипризми)
Група поворотів	D5, [5,2]^+, (522), порядок 10
Двоїстий багатогранник	П'ятикутна антипризма
Розгортка

П'ятикутний трапецоедр (п'ятикутний дельтоедр, п'ятикутний антитегум) — опуклий напівправильний рівногранний багатогранник, двоїстий до однорідної п'ятикутної антипризми.

Цей багатогранник є напівправильним багатогранником, а отже, володіє такими властивостями:

1. Всі грані є рівними багатокутниками (дельтоїди);
2. Для будь-якої пари граней A і B існує симетрія всього тіла (тобто рух, що складається з поворотів та віддзеркалень), яка переводить A в B.

Він має 10 граней (тобто це ^[en]), які є конгруентними дельтоїдами з трьома рівними кутами; всі двогранні кути рівні між собою.

Має 12 вершин: в 10 вершинах сходяться своїми більшими кутами по 3 грані (10 вершин 3-го степеня), у 2 вершинах сходяться своїми меншими кутами по 5 граней (2 вершини 5-го степеня).

Вершини п'ятикутного трапецоедра розташовані в чотирьох паралельних площинах.

П'ятикутний трапецоедр є третім у нескінченному ряду рівногранних багатогранників, що є двоїстими до однорідних антипризм.

Розбиття 5-трапецоедра на піраміди та антипризму

Розбиття 5-трапецоедра на піраміди та додекаедр

Його можна розкласти на дві прямі п'ятикутні піраміди і неоднорідну п'ятикутну антипризму між ними. Його також можна розкласти на дві п'ятикутні піраміди та додекаедр між ними.

Тобто 5-трапецоедр можна отримати з правильного додекаедра шляхом нарощення на двох його протилежних гранях п'ятикутних пірамід.

Сферичний 5-трапецоедр

5-трапецоедр також існує у вигляді сферичного багатогранника з 2 вершинами на полюсах і вершинами, що чергуються, які рівномірно розташовані над і під екватором.

Формули

У всіх формулах нижче: ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618033988749}$ — відношення пропорції «золотого перетину». (послідовність A001622 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Грань 5-трапецоедра

Грань трапецоедра — дельтоїд.

Відношення між коротким ${\displaystyle l}$ та довгим ${\displaystyle L}$ ребрами 5-трапецоедра: $${\displaystyle {\frac {L}{l}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi +1\approx 2.618033988749}$$Гострий кут дельтоїда:

${\displaystyle \alpha =2\pi -3\beta ={\frac {\pi }{5}}rad=36^{\circ }}$;

Тупий кут: ${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {1}{2}}-\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)\right)={\frac {3\pi }{5}}rad=108^{\circ }}$

Площа грані: ${\displaystyle S={\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {15}}}{8}}}\cdot l^{2}={\frac {\varphi +1}{2}}\cdot {\sqrt {\varphi +2}}\cdot l^{2}\approx 2.48989828488278\cdot l^{2}}$

Діагоналі

Кількість діагоналей опуклого багатогранника: ${\displaystyle {\binom {B}{2}}-P}$,

де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника.

Для п'ятикутного трапецоедра: ${\displaystyle {\binom {12}{2}}-20={\frac {12}{2}}\cdot {\frac {11}{1}}-20=46}$ діагоналей (20 граневих та 26 просторових).

Діагоналі 5-трапецоедра з довжиною короткого ребра ${\displaystyle l}$
	Граневі діагоналі	${\displaystyle CE={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\cdot l=\varphi \cdot l\approx 1.61803398874989\cdot l}$ ${\displaystyle AD={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot l=\varphi \cdot {\sqrt {2+\varphi }}\approx 3.07768353717\cdot l}$
	Просторові діагоналі	${\displaystyle CF={\sqrt {2}}\cdot {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\cdot l={\sqrt {2}}\cdot \varphi \cdot l\approx 2.28824561127073\cdot l}$ ${\displaystyle GF={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot l=\varphi ^{2}\cdot l\approx 2.61803398874989\cdot l}$ ${\displaystyle CK=2~R_{3}={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{2}}\cdot l={\sqrt {3}}\cdot \varphi \cdot l\approx 2.8025170768881\cdot l}$ ${\displaystyle AB=2~R_{5}={\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {15}}}{2}}}\cdot l=(\varphi +1)\cdot {\sqrt {\varphi +2}}\cdot l\approx 4.97979656976556\cdot l}$

Метричні характеристики

Якщо коротке ребро 5-трапецоедра дорівнює ${\displaystyle l}$ , то:
Радіус вписаної сфери (дотикається до всіх граней)	${\displaystyle r={\frac {\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)\cdot {\sqrt {\left(\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{10}}\right)-4\right)\left(2\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)-3\right)}}}{4\left(4-5~\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)+\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)\right)}}\cdot l}$	${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {15}}}{10}}}\cdot l}$	${\displaystyle ={\frac {2\varphi +1}{2{\sqrt {\varphi +2}}}}\cdot l}$	${\displaystyle \approx 1.1135163\cdot l}$
Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)	${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\csc \left({\frac {\pi }{10}}\right)\cdot {\sqrt {2\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)+1}}\cdot l}$	${\displaystyle \rho ={\frac {3+{\sqrt {5}}}{4}}\cdot l}$	${\displaystyle ={\frac {\varphi +1}{2}}\cdot l}$	${\displaystyle \approx 1.30901699\cdot l}$
Описаної сфери 5-трапецоедр не має
Радіус сфери R3 та R5(відстань від центра до вершин 3-го степеня та, відповідно, 5-го степеня)	= радіусу описаної сфери вписаного додекаедра	${\displaystyle R_{3}={\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{4}}\cdot l}$	${\displaystyle ={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot \varphi \cdot l}$	${\displaystyle \approx 1.40125853\cdot l}$
	${\displaystyle R_{5}={\frac {1}{8}}\csc ^{3}\left({\frac {\pi }{10}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)\cdot l}$	${\displaystyle R_{5}={\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {15}}}{8}}}\cdot l}$	${\displaystyle ={\frac {\varphi +1}{2}}\cdot {\sqrt {\varphi +2}}\cdot l}$	${\displaystyle \approx 2.48989828\cdot l}$
Площа поверхні	${\displaystyle S={\frac {5}{4}}\csc ^{2}\left({\frac {\pi }{10}}\right){\sqrt {1+4~\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)-2\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)}}\cdot l^{2}}$	${\displaystyle S=5~{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {15}}}{2}}}\cdot l^{2}}$	${\displaystyle =5(\varphi +1)\cdot {\sqrt {\varphi +2}}\cdot l^{2}}$	${\displaystyle \approx 24.898982\cdot l^{2}}$
Об'єм	${\displaystyle V={\frac {5\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)\cdot \csc ^{2}\left({\frac {\pi }{10}}\right)\cdot \left(2\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)+1\right)}{24\cdot {\sqrt {2+2\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)}}}}\cdot l^{3}}$	${\displaystyle V={\frac {5\cdot (11+5{\sqrt {5}})}{12}}\cdot l^{3}}$	${\displaystyle ={\frac {5}{6}}(3\varphi +2)\cdot {\sqrt {\varphi +1}}\cdot l^{3}}$	${\displaystyle \approx 9.2418082\cdot l^{3}}$

Якщо ребро канонічно двоїстої 5-антипризми дорівнює ${\displaystyle a}$ , то для 5-трапецоедра справедливі формули:
Довжини ребер	${\displaystyle l={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\cdot a=(\varphi -1)\cdot a}$ ${\displaystyle L={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\cdot a=\varphi \cdot a}$	${\displaystyle \approx 0.6180339\cdot a}$ ${\displaystyle \approx 1.6180339\cdot a}$
Граневі діагоналі	${\displaystyle d=a}$ ${\displaystyle D={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 1.902113\cdot a}$
Площа грані	${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\cdot a^{2}}$	${\displaystyle \approx 0.95105651\cdot a^{2}}$
Радіус вписаної сфери (дотикається до всіх граней)	${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 0.68819096\cdot a}$
Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)	${\displaystyle \rho ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\cdot a={\frac {\varphi }{2}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 0.80901699\cdot a}$
Радіус сфери R3 та R5(відстань від центра до вершин 3-го степеня та відповідно, 5-го степеня)	${\displaystyle R_{3}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 0.8660254\cdot a}$
	${\displaystyle R_{5}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\cdot a}$	${\displaystyle \approx 1.5388417\cdot a}$
Площа поверхні	${\displaystyle S=5\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\cdot a^{2}}$	${\displaystyle \approx 9.5105651\cdot a^{2}}$
Об'єм	${\displaystyle V={\frac {5\cdot (3+{\sqrt {5}})}{12}}\cdot a^{3}}$	${\displaystyle \approx 2.18169499\cdot a^{3}}$

Кути

Кути багатогранника
Двогранний кут між гранями	${\displaystyle \alpha =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)=2\cdot \arctan \left(\varphi \right)}$	≈ 2.034443935795 rad ≈ 116° 33′ 54.18423748′′
Тілесний кут при вершині 5-го степеня	${\displaystyle \Omega _{5}=2\pi -10\cdot \arcsin \left({\frac {\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}{2}}\right)}$${\displaystyle =2\pi -10\cdot \operatorname {arccsc} \left({\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}\right)}$	${\displaystyle \Omega _{5}\thickapprox 1.760400835667}$ ср
Тілесний кут при вершині 3-го степеня	${\displaystyle \Omega _{3}=\arccos \left(-{\frac {11{\sqrt {5}}}{25}}\right)=\pi -\arctan \left({\frac {2}{11}}\right)}$	${\displaystyle \Omega _{3}\thickapprox 2.961739153797}$ ср

Граф п'ятикутного трапецоедра

В теорії графів граф п'ятикутного трапецоедра — це граф з 12 вершинами та 20 ребрами, що має кістяк 5-трапецоедра.

10 вершин мають степінь 3, 2 вершини мають степінь 5.

Деякі властивості:  двочастковий, планарний, багатогранний, досконалий, без трикутників, однозначно розфарбовуваний, простежуваний

Граф є Гамільтоновим і має ${\displaystyle (5+1)(5+2)=42}$  гамільтонових циклів та ${\displaystyle 2\cdot 5\cdot (3\cdot 5^{2}-7\cdot 5+6)=460}$ гамільтонових шляхів.

Споріднені багатогранники

П'ятикутний трапецоедр належить до нескінченного ряду рівногранних багатогранників, двоїстих однорідним антипризмам.

Родина n-кутних трапецоедрів

Назва трапецоедра				П'ятикутний трапецоедр						...	Безкінечнокутний трапецоедр
Зображення багатогранника										...
Сферична мозаїка										Зображення плоскої мозаїки
Конфігурація грані	V2.3.3.3	V3.3.3.3	V4.3.3.3	V5.3.3.3	V6.3.3.3	V7.3.3.3	V8.3.3.3	V10.3.3.3	V12.3.3.3	...	V∞.3.3.3

Примітки

1. [1] [ 15 лютого 2017 у Wayback Machine.] Джонатан Бауверс.
2. pentagonal antitegum. https://bendwavy.org (англ.) .
3. Dipyramids & Trapezohedra. http://dmccooey.com (англ.) .
4. Pentagonal Trapezohedron Calculator. https://www.redcrab-software.com (англ.) .
5. Trapezohedral Graph. https://mathworld.wolfram.com (англ.) .

Джерела

• Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett. Mathematical Models. — 2-ге. — Oxford University Press / Clarendon, 1961. — P. 117.

Посилання

• Generalized formula of uniform polyhedron (trapezohedron) having 2n congruent right kite faces from Academia.edu
• Weisstein, Eric W. Трапецоедр(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

• Pentagonal Trapezohedron (англ.) на сайті dmccooey.com.