Основне рівняння руху потяга

Основне рівняння руху потяга (рівняння руху потяга) — фізичне рівняння, що встановлює зв'язок між активними і реактивними силами, що діють на елементи кінематичної системи — потяг, а також між кінематичними і силовими параметрами руху потяга. Фізичною основою для даного рівняння є другий закон Ньютона. Рівняння було вперше виведене М. Є. Жуковським.

Потяг як кінематична система

Потяг — це система, що складається із таких елементів: локомотива (-вів), вагонів (вагонеток), моторних і гальмівних секцій тощо. В кінематичному відношенні ці елементи зв'язані один з одним за допомогою зчіпних пристроїв, систем управління двигунами, гальмами тощо. Зазвичай, потяг переміщується по рейках, які утворюють т.з. колію, але в окремих випадках використовують і промислові автомобілі з причіпними секціями, — вони можуть розглядатися як потяг, що рухається по дорожньому покритті.

З позицій теорії, потяг — складна система, в яку входять багато елементів із пружними (пружно-дисипативними) і жорсткими зв'язками. Під пружними зв'язками розуміють зчіпні пристрої між елементами состава, під жорсткими — рейки (дорожнє покриття).

Елементи потяга в період руху останнього виконують різні переміщення, які укрупнено поділяють на основні, тобто пов'язані із корисним переміщенням вантажу (уздовж колії), і додаткові (паразитні), які проявляються у вигляді обертання коліс, осей, елементів тягових пристроїв, коливальних процесів елементів состава, пов'язаних з нерівностями рейкової колії, системою підвіски локомотива і вагонів, подовжньою динамікою тощо. Кінематична єдність елементів потяга проявляється в однакових основних переміщеннях усіх елементів состава в кожний момент часу. Додатковими переміщеннями елементів состава при технологічному розрахунку залізничного (промислового локомотивного) транспорту зазвичай нехтують.

Сили, що діють на елементи потяга

Під час руху потяга, швидкість останнього змінюється від нуля до максимально можливого значення, і навпаки, тобто присутні прискорення, які є результатом дії різноманітних сил, які можуть бути як прикладені зовні (сила тяжіння, реакції від колії, опір від повітря тощо), так і ті, що виникають всередині складу (сили взаємодії між елементами потяга). Крім того, розрізняють сили, які керуються машиністом (сила тяги, і пов'язані з ними динамічні опори) і некеровані з боку машиніста (статичні ).

Сили, що виникають при русі потяга, фігурують у рівняннях руху. За родом дії на рух елементів состава, сили можуть бути активними, реактивними та пасивними.

Активні сили виникають у стані спокою і руху потяга, діють в напрямі руху і прагнуть зрушити состав з місця або подовжити рух в певному напрямі. У рівняння руху підставляються зі знаком «+». Зазвичай, такі сили виражаються через результуючу силу тяги ${\displaystyle F_{T}}$, яка виникає в результаті дії тягових пристроїв локомотива і моторних секцій (двигунів, рушіїв тощо).

Реактивні сили виникають лише при русі потяга і прагнуть перешкодити рухові. У загальному випадку, в рівняння руху реактивні сили підставляються зі знаком «–» (або зі знаком «+», але в різних із силою тяги частинах рівняння руху потяга). Мають різну природу і зазвичай зводяться до результуючої сили опору руху, яка залежить від величини состава (кількості вагонів або вагонеток), маси потяга, швидкості, стану і профілю рейкової колії, режиму руху потяга і дії гальмівних пристроїв тощо.

Опір руху може бути шкідливим (пов'язаний із тертям, зміною форми і розмірів складових елементів потяга тощо) ${\displaystyle W_{s}}$ і корисним (пов'язаний із подоланням перепаду висот між початковим і кінцевим пунктами прямування вантажу) ${\displaystyle W_{k}}$. Шкідливий опір руху завжди перешкоджає руху потяга, і в рівнянні руху сили шкідливого опору завжди негативні. Під час руху состава на похилій ділянці колії виникає корисний опір руху — сила подовжньої складової сили власної ваги потяга, яка прагне перемістити состава вниз похилою площиною. Не дивлячись на свій активний характер, така складова традиційно причислюється до сил опору руху, і в рівняння руху потяга (тобто, в його частину із силою тяги) підставляється зі знаком «–» під час підйому, і зі знаком «+» — під час спуску состава.

Див. також: Основний опір руху потяга

.

Крім того, розрізняють статичний (постійний, притаманний рухові із постійною швидкістю) ${\displaystyle W=W_{s}+W_{k}}$ і динамічний (виникає додатково до статичного при зміні швидкості, за природою — завжди шкідливий) ${\displaystyle W_{d}}$ опори руху потяга. Сили динамічного опору руху потяга підставляються у рівняння (тобто, в його частину із силою тяги) зі знаком «–» у випадку розгону (збільшення швидкості) состава, і зі знаком «+» у випадку гальмування (зменшення швидкості) состава.

Пасивні сили діють перпендикулярно напряму руху, прямо не впливають на параметри руху потяга, але від їх значень залежать величини активних і реактивних сил. Зазвичай, це поперечні складові ваги елементів потяга.

Найпростіша комплектація потяга — із одним локомотивом у голові состава, структурну модель руху якого горизонтальною ділянкою колії наведено на рисунку.

Структурна модель потяга як кінематично єдиного цілого

Отже, в загальному вигляді основне рівняння руху потяга можна записати наступним чином:

${\displaystyle f(F_{T},W,W_{d})=0}$.

Форми запису основного рівняння руху потяга

Існують два записи основного рівняння руху потяга, які використовуються в розрахунках і наукових дослідженнях: в диференційній та в інтегральній формах.

Диференційна форма

${\displaystyle F_{T}=W+m_{np}{\ddot {x}}}$,

де ${\displaystyle F_{T}}$ — сумарна сила тяги, що діє на приводні (моторні, рушійні) елементи потяга, Н;

${\displaystyle W}$ — рівнодіюча статичних опорів руху, Н;

${\displaystyle m_{np}=1,06m}$ — приведена маса потяга, — ураховує масу частин, що рухаються поступно, а також інерцію частин, що обертаються, кг;

${\displaystyle m}$ — маса потяга, кг;

${\displaystyle x}$ — переміщення потяга, м;

${\displaystyle {\ddot {x}}=j}$ — прискорення потяга (друга похідна переміщення по часі), м/с²;

${\displaystyle m_{np}{\ddot {x}}=W_{d}}$ — динамічний опір руху потяга, Н.

Аналіз основного рівняння руху потяга в диференційній формі

Основне рівняння руху потяга містить 3 елементи: силу тяги (рівнодіюча активних сил), статичні опори руху (рівнодіюча реактивних сил, а також подовжньої складової власної ваги потяга, яка має активний характер) і динамічні опори руху (в залежності від режиму руху потяга можуть мати як активний, так і реактивний характер). Теоретично, кожен член рівняння може обертатися в нуль.

При ${\displaystyle m_{np}{\ddot {x}}=0}$ — маємо випадок усталеного режиму руху потяга. Оскільки опори руху потяга і сила тяги в даному запису рівняння руху знаходяться у різних частинах рівняння, то при ${\displaystyle m_{np}{\ddot {x}}>0}$ маємо випадок прискореного руху (розгону), при ${\displaystyle m_{np}{\ddot {x}}<0}$ — уповільненого руху (вибігу — руху із вимкненими двигунами, або гальмування) потяга.

При ${\displaystyle W=0}$ — маємо окремий випадок, коли усі шкідливі опори руху компенсуються корисними, і локомотив розвиває тягу лише для розгону состава.

При ${\displaystyle F_{T}=0}$ — маємо випадок вільного вибігу состава, коли тягові пристрої вимкнені, а кінетична енергія потяга знижується при подоланні опорів руху.

Окремий випадок вибігу — гальмування состава, коли штучно, за допомогою спеціальних пристроїв, збільшують ${\displaystyle W}$ для зниження швидкості потяга до заданого значення або повної його зупинки.

За допомогою основного рівняння руху потяга в диференційній формі можна досліджувати основні рухи потяга. Крім того, рівняння надає можливість математичного опису поздовжньої динаміки потяга і додаткових рухів його елементів уздовж осі траси руху. В даному випадку основне рівняння руху в диференційній формі складають для кожного елементу потяга (із підстановкою у певне рівняння лише тих сил, що діють на певний елемент потяга), додаючи до названих вище сил зусилля у зчіпках состава. Для досягнення поставленої задачі розв'язують систему отриманих диференційних рівнянь другого порядку, кількість яких визначається кількістю елементів потяга.

Інтегральна форма

${\displaystyle F_{T}-B=(P_{0}+Q)(w+i+w_{kp}+110j)}$,

де ${\displaystyle B}$ — гальмівна сила, Н;

${\displaystyle P_{0}}$ — вага локомотива (мотор-вагонного рухомого состава), Н;

${\displaystyle Q}$ — вага причіпної частини состава, Н;

${\displaystyle w}$ — питомий опір руху потяга, Н/кН;

${\displaystyle i}$ — питомий опір від ухилу колії, Н/кН, чисельно дорівнює ухилу колії, вираженому в проміле (‰). Оскільки даний опір знаходиться у різних частинах рівняння із силою тяги, то при русі потяга на ухил (тобто, на підйом), значення ${\displaystyle i}$ підставляється у рівняння зі знаком «+»; при русі з ухилу — зі знаком «–»;

${\displaystyle w_{kp}}$ — питомий опір руху потяга на криволінійних ділянках, діє лише на криволінійних ділянках маршруту прямування потяга, Н/кН. При оперуванні середньозваженим показниками, питомий опір ${\displaystyle w_{kp}}$ та інші місцеві опори руху доцільно перерахувати у «фіктивний ухил» ${\displaystyle i_{kp}}$, який буде завжди позитивним і має діяти «на підйом состава» на всій протяжності маршруту потяга;

${\displaystyle 110j}$ — питомий динамічний опір руху потяга, Н/кН. Оскільки даний опір знаходиться у різних частинах рівняння із силою тяги, то при розгоні состава питомий динамічний опір позитивний, при гальмуванні — негативний.

Добуток ${\displaystyle (P_{0}+Q)(w+i+w_{kp})=W_{s}}$ являє собою статичні опори руху в тягових режимах та вільному вибігу потяга, вираз ${\displaystyle B+(P_{0}+Q)(w+i+w_{kp})=W_{s}}$ — статичні опори в гальмівних режимах руху потяга. Добуток ${\displaystyle 110j(P_{0}+Q)=W_{d}}$ називають динамічним опором руху потяга.

Тобто, запис основного рівняння руху потяга в інтегральній формі містить у собі питомі параметри статичних і динамічних опорів руху потяга. Аналіз основного рівняння руху потяга в інтегральній формі дає ті ж самі результати, що й аналіз такого в диференційній формі. Дослідження основних рухів потяга за допомогою основного рівняння в диференційній та інтегральній формах дає аналогічні результати.

Примітки

1. Волотковский С.А. (1981). Рудничная электровозная тяга. М.
2. Тяга поездов.
3. Поляков Н.С., Штокман И.Г. (1962). Основы теории и расчеты рудничных транспортных установок. М.
4. . Архів оригіналу за 26 січня 2019.
5. Штокман И.Г. и др. (1986). Проектирование и конструирование транспортных машин и комплексов. М.

Джерела

• Гетьман Г. К. Теорія електричної тяги. У двох томах. Том I. — Дніпропетровськ: Акцент ПП, 2014. — 580 с.
• Деев В. В., Ильин Г. А., Афонин Г. С. Тяга поездов. — М.: Транспорт, 1987. — 264 с.
• Волотковский С. А. Рудничная электровозная тяга. — М.: Недра, 1981. — 389 с.
• Андреев А. В., Шешко Е. Е. Транспортные машины и комплексы для открытой добычи полезных ископаемых. — М.: Недра, 1970. — 430 с.
• Поляков Н. С., Штокман И. Г. Основы теории и расчеты рудничных транспортных установок. — М.: Госгортехиздат, 1962. — 491 с.