В лінійній алгебрі, ортогональне перетворення це лінійне перетворення T : V → V в дійсному просторі із визначеним внутрішнім добутком V, при якому зберігається внутрішній добуток. Тобто, для кожної пари u, v елементів V, маємо
Оскільки довжина векторів і кутів між ними визначається через внутрішній скалярний добуток, ортогональне перетворення зберігає довжину векторів і кути між ними. Зокрема, ортогональні перетворення відображають ортонормовані базиси в ортонормовані базиси.
В дво- або тривимірному Евклідовому просторі ортогональні перетворення це жорсткі обертання, дзеркальні відбиття, або комбінації обертання і відбиття(також відоме як [en]). Відбиття це такі перетворення, які змінюють ліво на право, аналогічно як відзеркалення зображення. Матриці, які визначають правильне обертання (без дзеркального відбиття) мають детермінант +1. Перетворення із відбиттям задаються матрицями із детермінантом −1. Це дозволяє концепцію обертання і відбиття узагальнити для просторів з більшою розмірністю.
У просторах з скінченним виміром, матричне представлення (відповідно до ортонормованого базису) ортогонального перетворення є ортогональною матрицею. Її рядки є взаємно ортогональними векторами з одиничною нормою, так що рядки утворюють ортогональний базис V. Стовпці матриці є іншим ортогональним базисом V.
Інверсія ортогонального перетворення є іншим ортогональним перетворенням. Матричне представлення якого є транспонованою матрицею, що представляє ортогональне перетворення.
Приклади
Розглянемо простір внутрішнього добутку із стандартним евклідовим внутрішнім добутком і стандартним базисом. Тоді, матричне перетворення
є ортогональним. Аби пояснити це, розглянемо
Тоді,
Наведений приклад можна узагальнити для побудови всіх ортогональних перетворень. Наприклад, наступні матриці визначають ортогональне перетворення для :
Див. також
Примітки
- Rowland, Todd. . MathWorld. Архів оригіналу за 9 квітня 2012. Процитовано 4 травня 2012.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V linijnij algebri ortogonalne peretvorennya ce linijne peretvorennya T V V v dijsnomu prostori iz viznachenim vnutrishnim dobutkom V pri yakomu zberigayetsya vnutrishnij dobutok Tobto dlya kozhnoyi pari u v elementiv V mayemo u v Tu Tv displaystyle langle u v rangle langle Tu Tv rangle Oskilki dovzhina vektoriv i kutiv mizh nimi viznachayetsya cherez vnutrishnij skalyarnij dobutok ortogonalne peretvorennya zberigaye dovzhinu vektoriv i kuti mizh nimi Zokrema ortogonalni peretvorennya vidobrazhayut ortonormovani bazisi v ortonormovani bazisi V dvo abo trivimirnomu Evklidovomu prostori ortogonalni peretvorennya ce zhorstki obertannya dzerkalni vidbittya abo kombinaciyi obertannya i vidbittya takozh vidome yak en Vidbittya ce taki peretvorennya yaki zminyuyut livo na pravo analogichno yak vidzerkalennya zobrazhennya Matrici yaki viznachayut pravilne obertannya bez dzerkalnogo vidbittya mayut determinant 1 Peretvorennya iz vidbittyam zadayutsya matricyami iz determinantom 1 Ce dozvolyaye koncepciyu obertannya i vidbittya uzagalniti dlya prostoriv z bilshoyu rozmirnistyu U prostorah z skinchennim vimirom matrichne predstavlennya vidpovidno do ortonormovanogo bazisu ortogonalnogo peretvorennya ye ortogonalnoyu matriceyu Yiyi ryadki ye vzayemno ortogonalnimi vektorami z odinichnoyu normoyu tak sho ryadki utvoryuyut ortogonalnij bazis V Stovpci matrici ye inshim ortogonalnim bazisom V Inversiya ortogonalnogo peretvorennya ye inshim ortogonalnim peretvorennyam Matrichne predstavlennya yakogo ye transponovanoyu matriceyu sho predstavlyaye ortogonalne peretvorennya PrikladiRozglyanemo prostir vnutrishnogo dobutku R2 displaystyle mathbb R 2 langle cdot cdot rangle iz standartnim evklidovim vnutrishnim dobutkom i standartnim bazisom Todi matrichne peretvorennya T cos 8 sin 8 sin 8 cos 8 R2 R2 displaystyle T begin bmatrix cos theta amp sin theta sin theta amp cos theta end bmatrix mathbb R 2 to mathbb R 2 ye ortogonalnim Abi poyasniti ce rozglyanemo Te1 cos 8 sin 8 Te2 sin 8 cos 8 displaystyle begin aligned Te 1 begin bmatrix cos theta sin theta end bmatrix amp amp Te 2 begin bmatrix sin theta cos theta end bmatrix end aligned Todi Te1 Te1 cos 8 sin 8 cos 8 sin 8 cos2 8 sin2 8 1 Te1 Te2 cos 8 sin 8 sin 8 cos 8 sin 8 cos 8 sin 8 cos 8 0 Te2 Te2 sin 8 cos 8 sin 8 cos 8 sin2 8 cos2 8 1 displaystyle begin aligned amp langle Te 1 Te 1 rangle begin bmatrix cos theta amp sin theta end bmatrix cdot begin bmatrix cos theta sin theta end bmatrix cos 2 theta sin 2 theta 1 amp langle Te 1 Te 2 rangle begin bmatrix cos theta amp sin theta end bmatrix cdot begin bmatrix sin theta cos theta end bmatrix sin theta cos theta sin theta cos theta 0 amp langle Te 2 Te 2 rangle begin bmatrix sin theta amp cos theta end bmatrix cdot begin bmatrix sin theta cos theta end bmatrix sin 2 theta cos 2 theta 1 end aligned Navedenij priklad mozhna uzagalniti dlya pobudovi vsih ortogonalnih peretvoren Napriklad nastupni matrici viznachayut ortogonalne peretvorennya dlya R3 displaystyle mathbb R 3 langle cdot cdot rangle cos 8 sin 8 0sin 8 cos 8 0001 cos 8 0 sin 8 010sin 8 0cos 8 1000cos 8 sin 8 0sin 8 cos 8 displaystyle begin bmatrix cos theta amp sin theta amp 0 sin theta amp cos theta amp 0 0 amp 0 amp 1 end bmatrix begin bmatrix cos theta amp 0 amp sin theta 0 amp 1 amp 0 sin theta amp 0 amp cos theta end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp cos theta amp sin theta 0 amp sin theta amp cos theta end bmatrix Div takozhLinijne vidobrazhennya Ortogonalna matricya Unitarne peretvorennyaPrimitkiRowland Todd MathWorld Arhiv originalu za 9 kvitnya 2012 Procitovano 4 travnya 2012