Ортогональна траєкторія

Ортогональні траєкторії — лінії, що перетинають задане сімейство кривих під прямим кутом. Якщо ${\displaystyle y_{1}'}$ — кутовий коефіцієнт дотичної до ортогональної траєкторії, а ${\displaystyle y_{2}'}$ — кутовий коефіцієнт дотичної до кривої даного сімейства, то ${\displaystyle y_{1}'}$ і ${\displaystyle y_{2}'}$ повинні в кожній точці відповідати умові ортогональності:

${\displaystyle y_{1}'=-{1 \over y_{2}'}}$

Нехай у нас є сімейство кривих ${\displaystyle g(x,y)=C}$, де ${\displaystyle C}$ — константа. Тоді ортогональні траєкторії можуть бути знайдені шляхом розв'язку системи диференціальних рівнянь:

${\displaystyle \nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=0}$

Використовуючи визначення градієнта, можна записати:

${\displaystyle \nabla f(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$

Таким чином:

${\displaystyle \nabla f(x,y)\cdot \nabla g(x,y)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\cdot \left({\frac {\partial g}{\partial x}},{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}=0}$

Приклади

Ортогональні траєкторії сімейства прямих ліній, що проходять через початок координат

Нехай у нас є сімейство прямих ліній, що проходять через початок координат, заданих рівнянням ${\displaystyle y=kx}$. Диференціюючи дане рівняння по змінній ${\displaystyle x}$, отримуємо:

${\displaystyle y'=k=const}$

Виключимо параметр ${\displaystyle k}$ із системи:

${\displaystyle ~\mathrm {{\begin{cases}y=kx\\y'=k\end{cases}}\Rightarrow y'={\frac {y}{x}}} }$

Замінимо ${\displaystyle y'}$ на ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{y'}}\right)}$:

${\displaystyle -{\frac {1}{y'}}={\frac {y}{x}}\Rightarrow y'=-{\frac {x}{y}}\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}}$

Ми отримали своєрідне диференціальне рівняння з перемінними. Інтегруючи, отримуємо:

${\displaystyle ydy=-xdx\Rightarrow \int {ydy}=-\int {xdx}\Rightarrow {\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}=C}$

Дане рівняння є ніщо інше, як рівняння кола радіуса ${\displaystyle {\sqrt {2C}}}$. Дійсно:

${\displaystyle R^{2}=2C\Rightarrow x^{2}+y^{2}=R^{2}}$

Література

Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стор. 23, Приклад 8)

Посилання

• Ортогональні траєкторії [ 2 листопада 2014 у Wayback Machine.](рос.)