Оптимальне рішення

Оптимальне рішення — рішення, що приймається таким чином, що ніякі інші доступні варіанти не приведуть до кращого результату. Це важливе поняття в теорії прийняття рішень. Для того, щоб порівняти різні результати рішення, один зазвичай призначає відносну корисність для кожного з них. Якщо існує невизначеність у тому, що результат буде, оптимальне рішення максимізує очікувану корисність (корисність, усереднена по всіх можливих результатах рішення).

Іноді еквівалентним завданню мінімізації втрат вважається, зокрема, у фінансовій ситуації, завдання, де утиліта визначається як економічна вигода.

«Утиліта» тільки довільний термін для кількісної оцінки доцільності результатів конкретного рішення і не обов'язково пов'язаний з «корисністю». Наприклад, цілком можливо, оптимальне рішення для когось — покупка спортивного автомобіля, а не універсала, якщо результат з точки зору іншого критерію (наприклад, вплив на особистий імідж) є більш бажаним, навіть враховуючи високу вартість і відсутність універсальності спортивного автомобіля.

Задача знаходження оптимального рішення є проблемою математичної оптимізації. На практиці, мало хто переконався, що їхні рішення є оптимальними, але замість використання евристичних методів для прийняття рішень, які «досить непогані», вони керуються задовільним результатом.

Більш формальний підхід може бути використаний, коли рішення є досить важливим, щоб мотивувати час, необхідний для його аналізу, або коли воно занадто складне, щоб вирішити за допомогою більш простих інтуїтивних підходів.

Формальний математичний опис

Кожне рішення ${\displaystyle d}$ у встановленому ${\displaystyle D}$ наявних варіантів вирішення призведе до підсумкового ${\displaystyle o=f(d)}$. Всі можливі результати утворюють безліч ${\displaystyle O}$. Визначаючи утиліту ${\displaystyle U_{O}(o)}$ до кожного результату, ми можемо визначити корисність конкретного рішення ${\displaystyle d}$ як: ${\displaystyle U_{D}(d)\ =\ U_{O}(f(d)).\,}$,

В умовах невизначеності в результаті

У випадку, якщо не можливо з упевненістю передбачити, яким буде результат конкретного рішення, необхідним є імовірнісний підхід. У найзагальнішому вигляді, це може бути виражено наступним чином: Враховуючи рішення ${\displaystyle d}$, ми знатимемо розподіл ймовірностей для можливих результатів, описаних в умовній щільності ймовірності ${\displaystyle p(o|d)}$. Враховуючи ${\displaystyle U_{D}(d)}$ у вигляді випадкової величини (умова ${\displaystyle d}$), ми можемо обчислити очікувану корисність прийняття ${\displaystyle d}$ як

${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)=\int {p(o|d)U(o)do}\,}$ ,

де інтеграл береться по всій множині ${\displaystyle O}$ (ДеГрут, стор 121).

Оптимальне рішення ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ тоді те, яке максимізує ${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)}$, як і вище:

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}{\text{E}}U_{D}(d).\,}$

Прикладом є проблема Монті Холла. Ми можемо визначити оптимальне рішення ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ як таке, що максимізує ${\displaystyle U_{D}(d)}$:

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d).\,}$

Рішення проблеми, таким чином, може бути розділене на три етапи:

1. прогнозування результату виводу ${\displaystyle o}$ для кожного рішення ${\displaystyle o}$;
2. призначення утиліти ${\displaystyle U_{O}(o)}$ до кожного результату виводу;
3. знаходження рішення ${\displaystyle d}$, яке максимізує ${\displaystyle U_{D}(d).}$.

Див. також

• Теорія рішень

Посилання

• Morris DeGroot Optimal Statistical Decisions. McGraw-Hill. New York. 1970. .
• James O. Berger Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Second Edition. 1980. Springer Series in Statistics. .