Описаний многокутник

Описаний многокутник, відомий також як тангенціальний многокутник — це опуклий многокутник, що містить вписане коло. Це таке коло, відносно якого кожна сторона описаного многокутника є дотичною. ^[en] описаного многокутника — це многокутник, який має описане коло, що проходить через усі його вершини.

Описана трапеція

Всі трикутники є описаними для якогось кола, як і всі правильні многокутники з довільним числом сторін. Добре вивчена група описаних многокутників — описані чотирикутники, куди входять ромби і дельтоїди.

Описи

Опуклий многокутник має вписане коло тоді й лише тоді, коли всі його внутрішні бісектриси кутів конкурентні (перетинаються в одній точці) і ця спільна точка перетину є центром уписаного кола.

Існує описаний многокутник з n послідовними сторонами ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ тоді і тільки тоді, коли система рівнянь

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}}$

має розв'язок ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ у додатних дійсних числах. Якщо такий розв'язок існує, то ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ є дотичними довжинами многокутника (довжинами від вершини до точки дотику на стороні).

Єдиність і неєдиність

Якщо число сторін n непарне, то для будь-якого заданого набору довжин сторін ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$, що задовольняють критерію, наведеному вище, існує тільки один описаний многокутник. Але якщо n парне, їх існує нескінченне число. Наприклад, у разі чотирикутника, коли всі сторони рівні, ми будемо мати ромб з будь-якою величиною гострого кута і всі ці ромби будуть описані навколо якого-небудь кола.

Радіус вписаного кола

Якщо довжини сторін описаного многокутника дорівнюють ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$, то радіус вписаного кола дорівнює

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}$

де K — площа многокутника, а s — його півпериметр. (Оскільки всі трикутники мають уписане коло, ця формула застосовна до всіх трикутників.)

Інші властивості

• Для описаного многокутника з непарним числом сторін усі сторони рівні тоді й лише тоді, коли кути рівні (правильний многокутник). Описаний многокутник з парним числом сторін має всі сторони рівними тоді й лише тоді, коли кути почергово рівні.
• В описаному многокутнику з парним числом сторін сума довжин непарних сторін дорівнює сумі довжин парних сторін.
• Описаний многокутник має більшу площу, ніж будь-який інший многокутник з тим самим периметром і такими самими внутрішніми кутами в тій самій послідовності.
• Барицентр будь-якого описаного многокутника, барицентр його точок межі і центр уписаного кола колінеарні і барицентр многокутника міститься між двома іншими зазначеними центрами і вдвічі далі від центра вписаного кола, ніж від барицентра межі.

Описаний трикутник

Всі трикутники мають деяке вписане коло. Трикутник називають тангенціальним трикутником розглянутого трикутника, якщо всі точки дотику тангенціального трикутника кола є вершинами розглянутого трикутника.

Описаний чотирикутник

Докладніше: Описаний чотирикутник

Описаний шестикутник

Конкурентні головні діагоналі

• В описаному шестикутнику ABCDEF, згідно з теоремою Бріаншона, головні діагоналі AD, BE і CF конкурентні.

Примітки

1. Byer, Lazebnik, Smeltzer, 2010, с. 77.
2. Djukić, Janković, Matić, Petrović, 2006, с. 561.
3. Hess, 2014, с. 389.
4. Alsina, Nelsen, 2011, с. 125.
5. Apostol, Mnatsakanian, 2004, с. 862.
6. Apostol, 2005, с. 946.
7. Apostol, Mnatsakanian, 2004, с. 858-9.

Література

• Albrecht Hess. On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14 (18 червня). — С. 389–396.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images. — Mathematical Association of America, 2011. — Т. 45. — (Dolciani Mathematical Expositions)
• Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // . — 2011. — Вип. 95 (March).
• Owen Byer, Felix Lazebnik, Deirdre Smeltzer. Methods for Euclidean Geometry. — 2010. — .
• Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović. The IMO Compendium. — Springer, 2006. — .
• Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Figures Circumscribing Circles // American Mathematical Monthly. — 2004. — Т. 111 (December). — С. 853–863. — DOI:10.2307/4145094. Процитовано 6 квітня 2016.
• Tom Apostol. =erratum // American Mathematical Monthly. — 2005. — Т. 112, вип. 10 (December). — DOI:10.1080/00029890.2005.11920274.