Одинична гіпербола

В геометрії одинична гіпербола — це набір точок ${\displaystyle (x,y)}$ декартової площини, які задовольняють рівняння ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1.}$ У теорії невизначених ортогональних груп одинична гіпербола є основою для альтернативної радіальної довжини (довжина вектора від початку координат до точки${\displaystyle (x,y)}$)

Одиничну гіперболу позначено синім, її спряжену зеленим, асимптоти червоним.

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}.}$

Одиничне коло ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ повністю оточує свій центр, тоді як одиничну гіперболу ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ для цього необхідно доповнити її спряженою ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$. Ця пара гіпербол має спільні асимптоти ${\displaystyle y=x}$ і ${\displaystyle y=-x}$. Коли мова йде про спряжену одиничну гіперболу, альтернативна радіальна довжина визначається як ${\displaystyle r={\sqrt {y^{2}-x^{2}}}.}$

Одинична гіпербола є частковим випадком прямокутної гіперболи з конкретними орієнтацією, розташуванням і масштабом. Отже, її ексцентриситет може бути однозначно обчислений і дорівнює ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

Одинична гіпербола знаходить застосування в задачах аналітичної геометрії, де коло доводиться замінити гіперболою. Яскравим прикладом є зображення простору-часу як псевдоевклідового простору, де асимптоти одиничної гіперболи утворюють світловий конус. Крім того, результатом вивчення Ґреґуаром де Сен-Венсаном площ стали функція логаритмування та сучасна параметризація гіперболи площами секторів.

Коли розуміються поняття спряжених гіпербол і гіперболічних кутів, класичні комплексні числа, побудовані на понятті одиничного кола, можна замінити числами, побудованими на понятті одиничної гіперболи.

Асимптоти

Зазвичай асимптоти визначаються як лінії, що збігаються до кривої. В алгебраїчній геометрії і теорії алгебраїчних кривих існує інший підхід. Крива спочатку розглядається як крива деякої проєктивної площини в однорідних координатах. Тоді асимптоти – це лінії, котрі є дотичними до проєктивної кривої в нескінченній точці, таким чином зникає потреба в концепції відстані та збіжності. У стандартних однорідних координатах ${\displaystyle (x:y:z)}$ задається рівнянням z = 0. Наприклад, К. Г. Гібсон писав:

Для стандартної прямокутної гіперболи ${\displaystyle f=x^{2}-y^{2}-1}$ у ℝ², відповідна проєктивна крива це ${\displaystyle F=x^{2}-y^{2}-z^{2},}$ що проходить через ${\displaystyle z=0}$ у точках ${\displaystyle P=(1:1:0)}$ і ${\displaystyle Q=(1:-1:0)}$. І ${\displaystyle P}$, і ${\displaystyle Q}$ прості на ${\displaystyle F}$ з дотичними ${\displaystyle x+y=0}$, ${\displaystyle x-y=0}$; таким чином ми отримуємо вже знайоме поняття асимптот.

Діаграма Мінковського

Діаграму Мінковського малюють у просторово-часовій площині, де простір обмежують лише одним виміром (у координатах ${\displaystyle t}$ та ${\displaystyle x}$). Як одиниці відстані і часу на такій площині використовують

• одиниці довжини по 30 сантиметрів і наносекунди
• астрономічні одиниці та інтервали 8 хвилин 20 секунд
• світлові роки й роки

У кожному із зазначених масштабів координат рух фотонів утворює світові лінії, що йдуть під кутом ${\displaystyle 45^{\circ }}$ до кожної осі (кутовий коефіцієнт ${\displaystyle \pm 1}$). Герман Мінковський використовував для опису перетворень Лоренца п'ять елементів: одинична гіпербола, її спряжена гіпербола, її осі, діаметр та . Осі гіперболи є осями координат статичної системи відліку. Діаметр одиничної гіперболи відповідає системі відліку, що рухається зі стрімкістю ${\displaystyle w}$, де ${\displaystyle \tanh w=y/x}$, а ${\displaystyle (x,y)}$ — кінцева точка діаметра, що лежить на одиничній гіперболі. Спряжений діаметр є просторовою гіперплощиною одночасності (на якій лежать одночасні події) у системі відліку, що відповідає стрімкості a. Ця одинична гіпербола є калібрувальною гіперболою . Зазвичай у теорії відносності гіпербола з вертикальною віссю вважається основною:

Вісь часу йде від низу до верху графіка — формальність, прийнята Річардом Фейнманом у його знаменитих діаграмах. Просторові осі йдуть перпендикулярно до осі часу. Подія, що відповідає "тут і зараз", лежить у початку координат.

Домовленість малювати вісь часу вертикально закріпилася через Мінковського в 1908 році, а також була використана в ілюстрації на 48 сторінці книги Еддінгтона «Природа фізичного світу» (1928).

Параметризація

Гілки одиничної гіперболи утворюються точками ${\displaystyle (\cosh a,\sinh a)}$ і ${\displaystyle (-\cosh a,-\sinh a)}$ залежно від параметра гіперболічного кута ${\displaystyle a}$.

Почнімо з параметризації повернутої одиничної гіперболи ${\displaystyle xy=1}$ за допомогою експоненціальної функції: ${\displaystyle (e^{t},\ e^{-t}).}$

Ця гіпербола може бути приведена до традиційної одиничної гіперболи ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ за допомогою лінійного відображення (повороту), що має матрицю ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\ :}$

${\displaystyle (e^{t},\ e^{-t})\ A=({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).}$

Параметр ${\displaystyle t}$ називається гіперболічним кутом і є аргументом гіперболічних функцій.

Можна знайти ранню згадку параметризації одиничної гіперболи в "Елементи Динаміки" (1878) Вільяма Кліфорда. Він описує квазігармонійний рух по гіперболі наступним чином:

Рух ${\displaystyle \rho =\alpha \cosh(nt+\epsilon )+\beta \sinh(nt+\epsilon )}$ має деякі цікаві аналогії з еліптичним гармонійним рухом. ... Прискорення ${\displaystyle {\ddot {\rho }}=n^{2}\rho \ }$, отже, воно завжди пропорційне відстані від центру, як і в еліптичному гармонійному русі, але спрямоване від центру.

Як частковий випадок конічного перерізу, гіпербола може бути параметризована шляхом додавання точок на ній.

Зафіксуймо точку Е на гіперболі. Точки, в яких пряма, проведена через E паралельно AB, перетинає гіперболу вдруге, називатимемо сумою точок A і B .

Для гіперболи ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ з фіксованою точкою ${\displaystyle E=(1,0)}$ сума точок ${\displaystyle (x_{1},\ y_{1})}$ і ${\displaystyle (x_{2},\ y_{2})}$ це точка ${\displaystyle (x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},\ y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1})}$. У параметризації ${\displaystyle x=\cosh \ t}$ і ${\displaystyle y=\sinh \ t}$ це додавання відповідає додаванню параметра t.

Алгебра на комплексній площині

Тоді як одиничне коло має велике значення на комплексній площині, одинична гіпербола є ключовим поняттям для площини подвійних чисел, що мають вигляд ${\displaystyle z=x+yj}$, де ${\displaystyle j^{2}=+1}$. Легко показати, що ${\displaystyle jz=y+xj}$. Отже, дія ${\displaystyle j}$ на площину полягає в тому, щоб поміняти місцями координати. Зокрема, ця дія міняє місцями одиничну гіперболу та її спряжену, а також пари гіпербол.

Усі точки гіперболи можна виразити через параметр гіперболічного кута ${\displaystyle \alpha }$ як

${\displaystyle \pm (\cosh \alpha +j\sinh \beta )}$, де j = (0,1).

Права гілка одиничної гіперболи відповідає додатному коефіцієнту. Фактично ця гілка є образом експоненціального відображення, що діє на вісь j. Оскільки

${\displaystyle \exp(\alpha j)\exp(\beta j)=\exp((\alpha +\beta )j)}$,

ця гілка є групою відносно множення. На відміну від групи, що утворює коло, група, що утворює одиничну гіперболу, не є компактною. Подібно до звичайної комплексної площини, точка не на діагоналях має полярний розклад за допомогою параметра гіперболічного кута ${\displaystyle \alpha }$ та альтернативної радіальної довжини ${\displaystyle r}$

${\displaystyle x+yj=r(\cosh \alpha +j\sinh \alpha )=r\cdot \exp(\alpha j)}$

Наведені варіанти запису називають алгебраїчний, тригонометричний та експоненціальний відповідно.

Список літератури

1. Rectangular hyperbola from Wolfram Mathworld
2. C.G. Gibson (1998) Elementary Geometry of Algebraic Curves, p 159, Cambridge University Press
3. (1968) Special Relativity, page 83,
4. W.G.V. Rosser (1964) Introduction to the Theory of Relativity, figure 6.4, page 256, London:
5. A.P. French (1989) "Learning from the past; Looking to the future", acceptance speech for 1989 , American Journal of Physics 57(7):587–92
6. (1878) Elements of Dynamic, pages 89 & 90, London: MacMillan & Co; on-line presentation by Cornell University Historical Mathematical Monographs

• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Figure 4.33, page 70, Academic Press, .