Область визначення функції

Область визначення (старіший термін — область задавання^[]) — множина допустимих значень аргументу функції. Позначатиметься як ${\displaystyle D(f)}$, якщо вказується область визначення функції ${\displaystyle y=f(x)}$.

Область визначення
Підтримується Вікіпроєктом

Функція f відображає область визначення X в простір Y; менший овал всередині Y — це область значень функції f

Якщо задана: числова множина ${\displaystyle X}$ та правило ${\displaystyle f}$, що дозволяє поставити у відповідність кожному елементу ${\displaystyle x}$ з множини ${\displaystyle X}$ певне число, то говорять, що задана функція ${\displaystyle y=f(x)}$ з областю визначення ${\displaystyle X:y=f(x),D(f)=X}$.

Тобто, визначення області значень є необхідна умова для визначення функції.

Означення. Значення змінних, на яких задається функція ${\displaystyle y=f(x)}$, називають допустимими значеннями змінних.

Означення. Значення змінних, при яких алгебраїчний вираз ${\displaystyle P}$ має зміст, називають допустимими значеннями змінних. Множину всіх допустимих значень змінних називають областю допустимих значень змінних ${\displaystyle D(P)}$.

Означення. Областю визначення рівняння ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ називають множину всіх тих значень змінної ${\displaystyle x}$, при яких алгебраїчні вирази ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle g(x)}$ одночасно мають зміст.

Якщо функція задана формулою, то область визначення складається зі всіх значень незалежної змінної, при яких формула має зміст.

Приклади

Нижче наведені умови на області визначення алгебраїчних виразів від деяких елементарних функцій дійсного аргумента

Функція ${\displaystyle y=f(x)}$	Область визначення, множина ${\displaystyle D(f)}$
${\displaystyle f(x)=(h(x))^{n},n\in \mathbb {N} }$	${\displaystyle h(x)\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle f(x)={\frac {1}{h(x)}}}$	${\displaystyle h(x)\neq 0}$
${\displaystyle f(x)={\sqrt {h(x)}}}$	${\displaystyle h(x)\geq 0}$
${\displaystyle f(x)=a^{h(x)},a>0}$	${\displaystyle h(x)\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle f(x)=\log _{a}h(x)}$	${\displaystyle h(x)>0}$
${\displaystyle f(x)=\log _{h(x)}~a}$	${\displaystyle h(x)>0,h(x)\neq 1}$
${\displaystyle f(x)={\mbox{tg}}~h(x)}$	${\displaystyle h(x)\neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle f(x)={\mbox{ctg}}~h(x)}$	${\displaystyle h(x)\neq \pi n,n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle f(x)={\mbox{arcsin}}~h(x)}$	${\displaystyle -1\leq h(x)\leq 1}$
${\displaystyle f(x)={\mbox{arccos}}~h(x)}$	${\displaystyle -1\leq h(x)\leq 1}$

Див. також

• Область значень

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)