Об'єкт категорії

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Об’єкт.

Об'єкт категорії - неозначуване поняття теорії категорій. Термін, використовуваний для позначення елементів довільної категорії, що грають роль множин, груп, топологічних просторів і т. п.

Кожна категорія складається з елементів двох класів, які називаються класом об'єктів і класом морфізмів відповідно.

Розподіл елементів категорії на об'єкти і морфізми має сенс тільки у межах фіксованої категорії, так як об'єкти однієї категорії можуть бути морфізмами іншої і навпаки.

Клас об'єктів категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ зазвичай позначається ${\displaystyle Ob\,{\mathcal {C}}}$.

Будь-якому об'єкту ${\displaystyle A}$ категорії ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ однозначно відповідає одиничний морфізм ${\displaystyle 1_{A}\colon A\to A}$, причому різним об'єктам відповідають різні одиничні морфізми.

Тому формально можна визначити поняття категорії тільки за допомогою морфізмів. Проте термін «об'єкт категорії» є зручним мовним засобом, який практично завжди використовується.

Деякі типи об'єктів

• Об'єкт ${\displaystyle P\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ називається універсальним притягаючим (термінальним) об'єктом, якщо для будь-якого об'єкта ${\displaystyle A\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ існує єдиний морфізм ${\displaystyle A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}P}$.

• Об'єкт ${\displaystyle R\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ називається універсальним відштовхуючим (ініціальним, початковим) об'єктом, якщо для будь-якого об'єкта ${\displaystyle A\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ існує єдиний морфізм ${\displaystyle R{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A}$.

• Об'єкт ${\displaystyle R\in Ob\,{\mathcal {C}}}$ називається нульовим, якщо він одночасно універсальний притягаючий і відштовхуючий.

Література

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — [[{{{1}}} (станція метро)|{{{1}}}]]: Физматлит, 2004 [1998].