Об'єднання і перетин

У математиці, в області теорії порядку для підмножини ${\displaystyle S}$ частково впорядкованої множини ${\displaystyle P}$ розглядають операції:

• поєднання (англ. join) ${\displaystyle S,}$ результатом є супремум (точна верхня межа) ${\displaystyle S,}$ позначається ${\textstyle \bigvee S.}$
• зустріч (англ. meet) ${\displaystyle S,}$ результатом є інфімум (точна нижня межа) ${\displaystyle S,}$ позначається ${\textstyle \bigwedge S.}$

This Діаграма Гассе посета з 4 елементів: a, b, максимального елемента a ${\displaystyle \vee }$ b та мінімального елемента a ${\displaystyle \wedge }$ b.

В загальному випадку результати цих операцій можуть не існувати. Операції є дуальними одна до одної при зміні порядку на протилежний.

• Посет, в якому для всіх пар елементів ${\displaystyle a,b}$ існує ${\displaystyle a\vee b}$, називають join-напівґраткою (верхньою-напівґраткою).
• Посет, в якому для всіх пар елементів ${\displaystyle a,b}$ існує ${\displaystyle a\wedge b}$, називають meet-напівґраткою (нижньою-напівґраткою).
• Посет, в якому для всіх пар елементів ${\displaystyle a,b}$ існують обидві операції, називають ґраткою.

Властивості

Обидві операції є комутативними, асоціативними та ідемпотентними.

Див. також

• Двоїстість (теорія порядку)
• Максимальні та мінімальні елементи
• Верхня та нижня межа
• Найбільший та найменший елемент
• Супремум та Інфімум

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)