Нормальна форма Чибраріо

Нормальна форма Чибраріо — нормальна форма диференціального рівняння, нелінійного за похідною, в околі найпростішої особливої точки. Назву запропоновано В. І. Арнольдом, на честь італійського математика Марії Чибраріо, що встановила цю нормальну форму для одного класу рівнянь.

Нехай диференціальне рівняння має вигляд

${\displaystyle F(x,y,p)=0,\ }$ где ${\displaystyle p={\frac {dy}{dx}}.}$

Функція ${\displaystyle F}$ є дійсною, гладкою класу ${\displaystyle C^{\infty }}$ (або аналітичною) за сукупністю всіх трьох змінних. Особливі точки такого рівняння — це точки тривимірного простору з координатами ${\displaystyle (x,y,p)}$, що лежать на поверхні, що задається рівнянням ${\displaystyle F=0}$, в яких похідна ${\displaystyle F_{p}}$ дорівнює нулю, тобто проектування ${\displaystyle \pi }$ поверхні ${\displaystyle \{F=0\}}$ на площину змінних ${\displaystyle x,y}$ вздовж напрямку осі ${\displaystyle p}$ є нерегулярним. У загальному випадку множина особливих точок утворює на поверхні ${\displaystyle \{F=0\}}$ криву, що називають кримінантою. Проєкція кримінанти на площину ${\displaystyle (x,y)}$ називається дискримінантною кривою, її точки теж часто називають особливими точками рівняння, хоча при цьому можлива неточність: при проектуванні ${\displaystyle \pi }$ різним точками поверхні ${\displaystyle \{F=0\}}$ може відповідати одна і та ж точка площині змінних ${\displaystyle (x,y)}$.

Теорема про нормальну форму

Найпростішими особливими точками рівняння ${\displaystyle F(x,y,p)=0}$ є так звані регулярні особливі точки, в яких проектування ${\displaystyle \pi }$ має особливість, яка називається , і контактна площина не торкається поверхні ${\displaystyle F=0.}$ Це рівнозначно виконанню в даній точці умов:

${\displaystyle F=0,\quad F_{p}=0,\quad F_{pp}\neq 0,\quad F_{x}+pF_{y}\neq 0.}$

Теорема. В околі регулярної особливої точки рівняння ${\displaystyle F(x,y,p)=0}$ з гладкою (або аналітичною) функцією ${\displaystyle F}$ гладко (відповідно, аналітично) еквівалентно рівнянню ${\displaystyle p^{2}-x=0,}$ що називають нормальною формою Чибраріо

Приклади

Нормальна форма Чибраріо є характеристичним рівнянням для

${\displaystyle u_{xx}-xu_{yy}=0}$,

що відноситься до еліптичного типу в напівплощині ${\displaystyle x<0}$ і до гіперболічного — в напівплощині ${\displaystyle x>0}$.

Рівняння ${\displaystyle p^{2}-x=0}$ легко інтегрується: графіки його розв'язків утворюють сімейство напівкубічних парабол

${\displaystyle y=\pm {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\rm {const,}}}$

які заповнюють напівплощину ${\displaystyle x>0}$, каспи яких лежать на дискримінантній кривій — осі ${\displaystyle y}$.

Примітки

1. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1. — гл. 1, пар. 7.
2. Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889—906.
3. Ремизов А. О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений, ― СМФН, 19 (2006), 131—170.(рос.)
4. . Архів оригіналу за 19 грудня 2018. Процитовано 11 грудня 2018.