Нестійкість Релея — Тейлора — виникає між двома контактуючими різної щільності, коли більш важка рідина штовхає більш легку. Прикладом такої нестійкості може служити нестійкість краплі води на поверхні олії — вода буде намагатися проникнути крізь олію.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlEyTDBoRUxWSmhlV3hsYVdkb0xWUmhlV3h2Y2k1bmFXWXZNekF3Y0hndFNFUXRVbUY1YkdWcFoyZ3RWR0Y1Ykc5eUxtZHBaZz09LmdpZg==.gif)
Основним параметром, що визначає швидкість розвитку цієї нестабільності є .
Аналітичний опис
Задача про нестійкості Релея — Тейлора має аналітичне рішення в рамках лінійної .
Нехай два протяжних плоских горизонтальних шару рідини розташовані в полі тяжіння один над одним, причому більш важка рідина 1 знаходиться вгорі (на ілюстрації — синій колір), щільності рідин
. Верхня і нижня межі — тверді. Для простоти зручно користуватися моделлю нев'язкої нестисливої рідини, тоді система описується рівнянням Ейлера:
Надалі компоненти швидкості визначаються як . Цілком очевидно, що рівноважне рішення (
) задовольняє моделі, при цьому з рівняння Ейлера для тиску виходить наступне:
Звідки визначається рівноважний розподіл тиску (відомий результат для тиску стовпа рідини):
Внесемо в рівноважний стан малі збурення. Нехай швидкість настільки мала, що можна знехтувати нелінійним доданком
в рівнянні Ейлера, а тиск має вигляд
, де
. Тоді отримаємо лінійну систему рівнянь для малих збурень (далі штрих у тиску опущений):
Граничні умови задаються виходячи з міркувань рівності z-компонент швидкості рідин 1 і 2 на межі розділу і наявності поверхневого натягу. На верхній і нижній межах, тому що рідина ідеальна, працюють умови непротікання. Зручно прийняти координату кордону розділу в рівновазі за 0. На ній виконується кінематична умова
і динамічна умова
Умова непротікання верхньої і нижньої меж:
де — величина відхилення кордону від незбуреної,
— коефіцієнт поверхневого натягу. Отримана завдання для збурень легко вирішується. Припустимо, що збурення мають вигляд:
де — швидкість росту (інкремент) обурення,
— компоненти хвильового вектора обурення кордону.
З рівняння Ейлера виражається :
а умова дає рівняння Лапласа для тиску. У результаті, швидкість течії із завдання вдається виключити. Залишається лінійне рівняння:
з граничними умовами:
Рішення рівняння Лапласа для тиску:
Константи визначаються з кінематичного умови. Динамічне умова дає зв'язок між інкремент і (модулем) хвильового вектора
звідки безпосередньо випливає вираз для критичного хвильового числа збурень (при ):
.
Якщо довжина хвилі більша за критичну, то обурення кордону будуть наростати.
У граничному випадку нескінченно глибоких шарів () найбільша швидкість росту збурень досягається при хвильовому числі
.
У тонких шарах ():
.
Література
- Лабунцов Д. А., Ягов В. В. Механіка двофазних систем. / / М.: Видавництво МЕІ, 2000. — С. 143—146.
- Векштейн Г. Є. Фізика суцільних середовищ в завдання. / / М.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002. — С. 109—111.
Посилання
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет