Нерівність Бернуллі стверджує: якщо , то
- для всіх
Однак, узагальнена нерівність Бернуллі стверджую наступне:
- якщо , то
- якщо , то
- при цьому рівність досягається в двох випадках: помилка
Доведення
Доведення проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірна. Припустимо, що вона вірна для n, доведемо це вірно для n+1:
- .
Проте наведене доведення не розповсюджується на інші . Доведення узагальненої нерівності Бернуллі наведено нижче.
Розглянемо , причому .
Похідна при , оскільки .
Функція двічі диференційовна в проколотому околі точки . Тому . Отримуємо:
- ⇒ при
- ⇒ при
Значення функції , відповідно, справедливі наступні твердження:
- якщо , то
- якщо , то
Неважко помітити, що за відповідних значень або функція . При цьому в кінцевій нерівності зникають обмеження на , що були задані на початку доведення, оскільки для них виконується рівність. ■ — Q.E.D.
Зауваження
- Нерівність також справедлива для (при ), але вказане вище доведення методом математичної індукції у випадку не працює.
Назва
Нерівність названа на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі
Джерела
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Nerivnist Bernulli stverdzhuye yaksho x 1 displaystyle x geq 1 to 1 x n 1 n x displaystyle 1 x n geq 1 nx dlya vsih n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 Odnak uzagalnena nerivnist Bernulli stverdzhuyu nastupne yaksho n 0 1 displaystyle n in infty 0 cup 1 infty to 1 x n 1 n x displaystyle 1 x n geq 1 nx yaksho n 0 1 displaystyle n in 0 1 to 1 x n 1 n x displaystyle 1 x n leq 1 nx pri comu rivnist dosyagayetsya v dvoh vipadkah x 1 n 0 n 0 x 1 displaystyle left begin matrix forall x neq 1 n 0 forall n neq 0 x 1 end matrix right pomilkaDovedennyaDovedennya n N 0 displaystyle forall n in mathbb N 0 provoditsya metodom matematichnoyi indukciyi po n Pri n 0 nerivnist ochevidno virna Pripustimo sho vona virna dlya n dovedemo ce virno dlya n 1 1 x n 1 1 x 1 x n 1 x 1 n x 1 n x x 1 n 1 x displaystyle 1 x n 1 1 x 1 x n geq 1 x 1 nx geq 1 nx x 1 n 1 x Prote navedene dovedennya ne rozpovsyudzhuyetsya na inshi n R displaystyle n in mathbb R Dovedennya uzagalnenoyi nerivnosti Bernulli navedeno nizhche Rozglyanemo f x 1 x n n x displaystyle f x 1 x n nx prichomu x gt 1 n 0 n 1 displaystyle x gt 1 n neq 0 n neq 1 Pohidna f x n 1 x n 1 n 0 displaystyle f x n 1 x n 1 n 0 pri x x 0 0 displaystyle x x 0 0 oskilki n 0 displaystyle n neq 0 Funkciya f displaystyle f dvichi diferencijovna v prokolotomu okoli tochki x 0 displaystyle x 0 Tomu f x n n 1 1 x n 2 displaystyle f x n n 1 1 x n 2 Otrimuyemo f x gt 0 displaystyle f x gt 0 f x f x 0 displaystyle f x geq f x 0 pri n 0 1 displaystyle n in infty 0 cup 1 infty f x lt 0 displaystyle f x lt 0 f x f x 0 displaystyle f x leq f x 0 pri n 0 1 displaystyle n in 0 1 Znachennya funkciyi f x 0 1 displaystyle f x 0 1 vidpovidno spravedlivi nastupni tverdzhennya yaksho n 0 1 displaystyle n in infty 0 cup 1 infty to 1 x n 1 n x displaystyle 1 x n geq 1 nx yaksho n 0 1 displaystyle n in 0 1 to 1 x n 1 n x displaystyle 1 x n leq 1 nx Nevazhko pomititi sho za vidpovidnih znachen x 0 0 displaystyle x 0 0 abo n 0 n 1 displaystyle n 0 n 1 funkciya f x f x 0 displaystyle f x f x 0 Pri comu v kincevij nerivnosti znikayut obmezhennya na n displaystyle n sho buli zadani na pochatku dovedennya oskilki dlya nih vikonuyetsya rivnist Q E D ZauvazhennyaNerivnist takozh spravedliva dlya x 2 displaystyle x geq 2 pri n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 ale vkazane vishe dovedennya metodom matematichnoyi indukciyi u vipadku x 2 1 displaystyle x in left 2 1 right ne pracyuye NazvaNerivnist nazvana na chest shvejcarskogo matematika Yakoba BernulliDzherelaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr