Ця стаття не містить . (квітень 2024) |
Означення
Нехай дано достатньо гладку функцію багатьох змінних:
Ми можемо взяти частинну похідну цієї функції по одному з аргументів , вважаючи решту аргументів постійними параметрами. В результаті ми одержимо нову функцію:
Ця нова функція теж залежить від решти аргументів, як від параметрів. Тобто чисельне значення в загальному випадку залежить від усіх тих змінних , що і оригінальна функція :
Якщо функція виявиться досить гладкою, то ми можемо і її продиференціювати, взявши частинну похідну по тому самому, або по іншому аргументу :
Якщо , то вираз в правій частині рівності (4) називається мішаною похідною.
Теорема Шварца (рівність змішаних похідних)
Для достатньо гладкої функції багатьох змінних значення мішаної похідної не залежить від порядку диференціювання:
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno kviten 2024 OznachennyaNehaj dano dostatno gladku funkciyu f displaystyle f bagatoh zminnih 1 f f x1 x2 xn displaystyle 1 qquad f f x 1 x 2 dots x n Mi mozhemo vzyati chastinnu pohidnu ciyeyi funkciyi po odnomu z argumentiv xi displaystyle x i vvazhayuchi reshtu argumentiv postijnimi parametrami V rezultati mi oderzhimo novu funkciyu 2 ϕ xi f xi x1 xi 1 xi 1 xn const displaystyle 2 qquad phi x i partial f over partial x i bigg x 1 dots x i 1 x i 1 dots x n const Cya nova funkciya tezh zalezhit vid reshti argumentiv yak vid parametriv Tobto chiselne znachennya ϕ displaystyle phi v zagalnomu vipadku zalezhit vid usih tih zminnih x1 x2 xn displaystyle x 1 x 2 dots x n sho i originalna funkciya f displaystyle f 3 ϕ ϕ x1 x2 xn displaystyle 3 qquad phi phi x 1 x 2 dots x n Yaksho funkciya ϕ displaystyle phi viyavitsya dosit gladkoyu to mi mozhemo i yiyi prodiferenciyuvati vzyavshi chastinnu pohidnu po tomu samomu abo po inshomu argumentu xj displaystyle x j 4 ϕ xj 2f xj xi displaystyle 4 qquad partial phi over partial x j partial 2 f over partial x j partial x i Yaksho j i displaystyle j neq i to viraz v pravij chastini rivnosti 4 nazivayetsya mishanoyu pohidnoyu Teorema Shvarca rivnist zmishanih pohidnih Dokladnishe Dlya dostatno gladkoyi funkciyi bagatoh zminnih znachennya mishanoyi pohidnoyi ne zalezhit vid poryadku diferenciyuvannya 5 2f xi xj 2f xj xi displaystyle 5 qquad partial 2 f over partial x i partial x j partial 2 f over partial x j partial x i