Мотивне інтегрування

Моти́вне інтегрува́ння — це інтегрування зі значеннями в кільці мотивів, тобто класів еквівалентності алгебричних многовидів.

Мотивне інтегрування було започатковане Концевичем при доведенні гіпотези Батирева. Нехай X - гладкий комплексний проективний алгебричний многовид Калабі-Яу вимірності n (що для наших потреб означає існування голоморфної n-форми, яка ніде не перетворюється в 0). Інакше кажучи, n-тий зовнішній степінь ${\displaystyle \Omega ^{n}}$ голоморфного кодотичного розшарування є тривіальним одновимірним розшаруванням. За допомогою p-адичного інтегрування Батирев довів, що біраціонально еквівалентні гладкі многовиди Калабі-Яу ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle X'}$ мають однакові числа Бетті, ${\displaystyle \dim \,H^{i}(X,\mathbb {C} )=\dim \,H^{i}(X',\mathbb {C} )}$. Концевич довів за допомогою мотивного інтегрування, що такі ж ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle X'}$ мають однакові числа Годжа ${\displaystyle \dim \,H^{i}(X,\Omega ^{j})=\dim \,H^{i}(X',\Omega ^{j})}$.

Геометричний підхід

Годжева характеристика ${\displaystyle E(X)=\sum (-1)^{i}\dim \,H^{i}(X,\Omega ^{j})u^{i}v^{j}\in \mathbb {Z} [u,v]}$ є функцією ${\displaystyle \mathrm {Var} _{\mathbb {C} }\to K_{0}(\mathrm {Var} _{\mathbb {C} })\to \mathbb {Z} [u,v]}$ з категорії комплексних многовидів (відокремлюваних редукованих схем скінченного типу), де наївне кільце Ґротендіка ${\displaystyle K_{0}(\mathrm {Var} _{\mathbb {C} })}$ - абелева група, породжена класами ізоморфізму [X] таких многовидів зі співвідношеннями ${\displaystyle [X]=[Y]+[X-Y]}$ для замкненого (за Зариським) підмноговиду ${\displaystyle Y\subset X}$. Добуток заданий як ${\displaystyle [X]\cdot [Y]=[X\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {C} }Y]}$. Клас ізоморфізму прямої позначається ${\displaystyle \mathbb {L} =[\mathbb {A} ^{1}]=[\mathbb {C} ^{1}]}$. Нехай ${\displaystyle f:Y\to X}$ - відтинково тривіальне розшарування з шаром Z. Це означає, що X можна записати як скінченне диз'юнктивне об'єднання ${\displaystyle \cup X_{i}}$ локально замкнених підмножин ${\displaystyle X_{i}}$, таких, що ${\displaystyle f{\big |}=(f^{-1}X_{i}\cong X_{i}\times Z\to X_{i})}$ є проєкцією. Тоді ${\displaystyle [Y]=[X]\cdot [Z]}$ в ${\displaystyle K_{0}(\mathrm {Var} _{\mathbb {C} })}$.

Кажемо, що ${\displaystyle \tau \in K_{0}(\mathrm {Var} _{\mathbb {C} })}$ є d-вимірним, ${\displaystyle \dim \,\tau =d}$, якщо цей елемент представляється як ${\displaystyle \tau =\sum a_{i}[X_{i}]}$, ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \dim \,X_{i}\leq d}$, і не існує представлення з ${\displaystyle \dim \,X_{i}\leq d-1}$ для всіх i. За означенням ${\displaystyle \dim \,[\emptyset ]=-\infty }$. Вимірність поширюється на локалізацію ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }=K_{0}(\mathrm {Var} _{\mathbb {C} })[\mathbb {L} ^{-1}]}$ вимогою ${\displaystyle \dim \,\mathbb {L} ^{-1}=-1}$. Функція ${\displaystyle \exp(\dim ):{\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }\to \mathbb {Z} \cup \{-\infty \}\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$ є неархімедовою нормою на ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }}$. Поповнення ${\displaystyle {\hat {\mathcal {M}}}_{\mathbb {C} }}$ у цій нормі є кільцем, у якому приймають значення мотивні міри і мотивні інтеграли. Ряд ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\tau _{i}}$ з елементами ${\displaystyle \tau _{i}\in {\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }}$ збігається в ${\displaystyle {\hat {\mathcal {M}}}_{\mathbb {C} }\Leftrightarrow \tau _{i}\to 0\Leftrightarrow \dim \,\tau _{i}\to -\infty }$ при ${\displaystyle i\to \infty }$.

Простір, по якому відбувається інтегрування, це простір дуг, або ${\displaystyle \infty }$-струменів ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\infty }(X)}$ для даного гладкого комплексного проективного многовида X вимірності n. Схема m-струменів ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{m}(X)}$ визначається природною бієкцією

${\displaystyle \mathrm {Sch} _{\mathbb {C} }(Z\times \mathrm {Spec} \mathbb {C} [t]/t^{m+1},X)\cong \mathrm {Sch} _{\mathbb {C} }(Z,{\mathcal {J}}_{m}(X))}$

для всіх ${\displaystyle \mathbb {C} }$-схем Z. В дійсності, ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{m}(X)}$ є гладким многовидом і ${\displaystyle \mathbb {A} ^{mn}}$-розшаруванням над X, зокрема, ${\displaystyle \dim \,{\mathcal {J}}_{m}(X)=n(m+1)}$. Точніше, ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{m}(X)}$ є ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$-розшаруванням над ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{m-1}(X)}$. Простір дуг, або ${\displaystyle \infty }$-струменів, ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\infty }(X)=\lim \limits _{\longleftarrow }{\mathcal {J}}_{m}(X)}$, задовольняє природній бієкції

${\displaystyle \mathrm {Sch} _{\mathbb {C} }(Z\times \mathrm {Spec} \mathbb {C} [[t]],X)\cong \mathrm {Sch} _{\mathbb {C} }(Z,{\mathcal {J}}_{\infty }(X)).}$

Підмножина ${\displaystyle A\subset {\mathcal {J}}_{\infty }(X)}$ називається циліндричною, якщо ${\displaystyle A=\pi _{m}^{-1}B}$ для деякої конструктивної підмножини ${\displaystyle B\subset {\mathcal {J}}_{m}(X)}$, де ${\displaystyle \pi _{m}:{\mathcal {J}}_{\infty }(X)\to {\mathcal {J}}_{m}(X)}$ - канонічне відображення. Алгебра конструктивних підмножин схеми - це найменша алгебра, що містить підмножини, замкнені в топології Зариського. Об'ємом (мірою) циліндричної множини A назвемо елемент ${\displaystyle \mu _{X}(A)=[B]\cdot \mathbb {L} ^{-nm}\in {\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }}$. Він не залежить від вибору m: ${\displaystyle \mu _{X}(A)=[(\pi _{m}^{m+k})^{-1}B]\cdot \mathbb {L} ^{-n(m+k)}}$, ${\displaystyle k\geq 0}$, оскільки ${\displaystyle \pi _{m}^{m+k}:{\mathcal {J}}_{m+k}(X)\to {\mathcal {J}}_{m}(X)}$ - локально тривіальне ${\displaystyle \mathbb {A} ^{k}}$-розшарування. Клас циліндричних множин поширюється до класу вимірних множин. Серед вимірних функцій міститься функція визначена порядком дотичності дуги до підсхеми ${\displaystyle Y\subset X}$, визначеної пучком ідеалів ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}}$. Отже, функція ${\displaystyle \mathrm {ord} _{Y}:{\mathcal {J}}_{\infty }(X)\to \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$ співставляє дузі ${\displaystyle \vartheta :{\mathcal {O}}_{X}\to \mathbb {C} [[t]]}$ супремум ${\displaystyle \mathrm {ord} _{Y}(\vartheta )}$ поміж всіх ${\displaystyle e\geq 0}$, таких, що ${\displaystyle \vartheta ({\mathcal {I}}_{Y})\subset (t^{e})}$. Тоді для ${\displaystyle s\geq 0}$ ${\displaystyle \mathrm {ord} _{Y}^{-1}(s)}$ є циліндричною множиною. Якщо підмноговид Y ніде не щільний в X, то ${\displaystyle \mathrm {ord} _{Y}^{-1}(\infty )={\mathcal {J}}_{\infty }(Y)}$ є вимірною множиною міри 0. Мотивний інтеграл функції ${\displaystyle \mathbb {L} ^{-\mathrm {ord} _{Y}}}$ визначається як

${\displaystyle \int _{{\mathcal {J}}_{\infty }(X)}\mathbb {L} ^{-\mathrm {ord} _{Y}}d\mu _{X}=\sum _{s=0}^{\infty }\mu (\mathrm {ord} _{Y}^{-1}(s))\cdot \mathbb {L} ^{-s}.}$

Наприклад, для ${\displaystyle Y=\emptyset }$ ${\displaystyle \mathrm {ord} _{Y}\equiv 0}$ і ${\displaystyle \int _{{\mathcal {J}}_{\infty }(X)}d\mu _{X}=[X]}$. Для (ефективного дивізора) ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{s}r_{i}D_{i}}$ (${\displaystyle r_{i}>0}$) з носієм з нормальними перетинами і гладкими ${\displaystyle D_{i}}$ маємо

${\displaystyle \int _{{\mathcal {J}}_{\infty }(X)}\mathbb {L} ^{-\mathrm {ord} _{Y}}d\mu _{X}=\sum _{J\subset \{1,\dots ,s\}}[D_{J}^{\circ }]\prod _{j\in J}{\frac {\mathbb {L} -1}{\mathbb {L} ^{r+1}-1}}=\sum _{J\subset \{1,\dots ,s\}}{\frac {[D_{J}^{\circ }]}{\prod _{j\in J}[\mathbb {P} ^{r_{j}}]}},}$

де ${\displaystyle D_{J}^{\circ }=\cap _{j\in J}D_{j}-\cup _{j\notin J}D_{j}}$.

Якщо ${\displaystyle f:X''\to X}$ - власний біраціональний морфізм гладких ${\displaystyle \mathbb {C} }$-схем і D - ефективний дивізор на X, то

${\displaystyle \int _{{\mathcal {J}}_{\infty }(X)}\mathbb {L} ^{-\mathrm {ord} _{D}}d\mu _{X}=\int _{{\mathcal {J}}_{\infty }(X'')}\mathbb {L} ^{-\mathrm {ord} _{f^{-1}D+K_{X''/X}}}d\mu _{X''}}$

(формула Концевича заміни змінних в мотивному інтегралі). Відносний канонічний дивізор ${\displaystyle K_{X''/X}}$ визначається ідеалом Якобі для f. Ця формула застосована до відображень ${\displaystyle X'\leftarrow X''\to X}$ і дозволяє зробити висновок, що біраціонально еквівалентні ${\displaystyle X'}$, ${\displaystyle X}$ мають однаковий об'єм ${\displaystyle [X']=[X]\in {\mathcal {M}}_{\mathbb {C} }}$, а, отже, і однакові числа Годжа.

Арифметичний підхід

В арифметичному підході мотивний об'єм співставляється не множинам, а формулам логіки з мови Денефа-Паса, що описує кільця дискретного нормування. На цьому шляху вдається обчислити деякі p-адичні інтеграли, які не піддаються прямому обчисленню. Денефом та Лезером доведена теорема про універсальність мотивного об'єму: нехай ${\displaystyle \phi }$ - формула для кілець дискретного нормування; K - локально компактне неархімедове поле з кільцем цілих ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ та полем лишків ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, ${\displaystyle q=p^{m}}$; dx - міра Хаара на ${\displaystyle K^{n}}$, нормована умовою, що міра ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{n}}$ - одиниця; ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}[X_{i}]\mathbb {L} ^{-N_{i}}}$ - мотивний об'єм ${\displaystyle \phi }$ (збіжна сума многовидів над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$). Якщо відкинути скінченне число простих p, то у решті випадків p-адичний об'єм може бути обчислений через мотивний об'єм як ${\displaystyle \mathrm {vol} (\{x\in {\mathcal {O}}_{K}^{n}\mid \phi ^{K}(x)\},dx)=\sum _{i}a_{i}\#X_{i}(\mathbb {F} _{q})q^{-N_{i}}}$.

Посилання

• M. Blickle, A short course on geometric motivic integration

• J. Gordon, Y. Yaffe, An overview of arithmetic motivic integration [ 27 жовтня 2019 у Wayback Machine.]

• T. C. Hales, What is motivic measure? [ 3 березня 2016 у Wayback Machine.]

Джерела

• Енциклопедія Сучасної України