Модель перетинних (пересічних) поколінь (модель Даймонда, модель Самуельсона — Даймонда, англ. overlapping generations model) — модель екзогенного економічного зростання в умовах досконалої конкуренції. Розроблена в 1965 році Пітером Даймондом з використанням ідей Пола Самуельсона. У моделі відображено зміну споживчої поведінки індивіда з вікових причин. Це дозволило зробити кроки в напрямку розуміння того, яким чином рішення індивідів формують норму заощаджень в економіці. При цьому у моделі заперечуються альтруїстичні зв'язки між поколіннями, вона не дає задовільного пояснення відмінностям між країнами у рівні доходу на душу населення.
Історія створення
У перших моделях економічного зростання (модель Солоу, модель Харрода — Домара) використовувалися задані екзогенно параметри «норма заощаджень» та «темп науково-технічного прогресу», від яких, зрештою, і залежали темпи зростання, які демонстрували моделі. Дослідники ж хотіли отримати обґрунтування темпів економічного зростання внутрішніми (ендогенними) факторами, оскільки моделі зі заздалегідь визначеною нормою заощаджень мали низку недоліків. Наприклад, вони не пояснювали стійкі відмінності у рівнях і темпах зростання між розвиненими країнами та країнами, що розвиваються. У моделі Рамсея — Касса — Купманса було подолано недолік екзогенності норми заощаджень. Однак вона зберегла інший недолік ранніх моделей — в ній розглядається безсмертний індивід (або домогосподарство) як рівномірний вічний споживач. Але у реальності з часом характер фінансової та споживчої поведінки змінюється. Якщо в молодому віці індивід працює і робить заощадження, то в літньому віці він ці заощадження витрачає. Саме на це майбутній лауреат Нобелівської премії з економіки Пол Самуельсон звернув прискіпливу увагу. У грудні 1958 року він опублікував роботу «Моделювання відсоткової ставки на основі співвідношення споживання та кредитування за наявності або відсутності соціальної концепції грошей», в якій була представлена проста модель економіки на основі ідей Ойґен фон Бем-Баверка про причини існування відсоткового доходу на капітал, де були виділені три періоди життя індивідуума та відповідне цим періодам споживання (у перших двох він працює, у третьому — виходить на пенсію). У грудні 1965 року Пітер Даймонд, також майбутній лауреат Нобелівської премії з економіки, опублікував роботу «Національний борг у неокласичній моделі зростання» у журналі The American Economic Review, в якій він розвинув ідеї Самуельсона з урахуванням висновків моделі Солоу та моделі Рамсея-Касса-Купманса і представив модель перетинних поколінь, також відому як модель Даймонда або модель Самуельсона — Даймонда.
Опис моделі
Базові передумови
У моделі розглядається закрита економіка. Фірми функціонують за умов досконалої конкуренції та максимізують свій прибуток, а споживачі — корисність своїх витрат. Виготовляється лише один продукт , що використовується як для споживання , так і для виробничих потреб (враховується як інвестиції) . Темпи технологічного прогресу , зростання населення та норма вибуття обладнання (капіталу) — постійні і задаються екзогенно. Індивідууми живуть два періоди: у першому вони працюють, споживають та зберігають, у другому — лише споживають, витрачаючи власні заощадження з першого періоду (виходять на пенсію). Альтруїстичні зв'язки між поколіннями відсутні: молоді не допомагають людям похилого віку і не отримують спадщину. Час змінюється дискретно, тобто періоди не мають власної тривалості. Один період моделі відповідає зміні виробничих поколінь, тобто у реальному вираженні еквівалентний приблизно 25—30 рокам.
Закритість економіки означає, що вироблений продукт витрачається тільки на заощадження і споживання, експорт/імпорт відсутні, інвестиції завжді дорівнюють заощадженням: , .
Виробнича функція задовольняє неокласичним передумовам:
- технологічний прогрес збільшує продуктивність праці (нейтральний за Харродом): .
- у виробничій функції використовується праця та капітал , вона має постійну віддачу від масштабу: .
- гранична продуктивність факторів позитивна та спадна: .
- виробнича функція задовольняє умовам Інади, а саме, якщо запас одного з факторів нескінченно малий, то його гранична продуктивність нескінченно велика, якщо запас одного з факторів нескінченно великий, то його гранична продуктивність нескінченно мала: .
- для виробництва необхідні всі фактори: .
Населення зростає з постійним темпом : . У кожному періоді живе молодих та літніх індивідів. Сукупне споживання дорівнює:
- де — споживання працюючого покоління, — споживання покоління, що вийшло на пенсію.
Молодий індивід пропонує одну одиницю праці (пропозиція праці нееластична) і отримує натуральну заробітну плату (деякою кількістю єдиного виробленного товару, гроші відсутні). Кожен індивід обирає і розподіляє отримане між споживанням зараз (у молодості) або заощадженням (споживанням у старості), максимізуючи міжчасову корисність своїх витрат, яка описується наступною функцією:
- де — еластичність заміщення за часом, , , — коефіцієнт міжчасової переваги споживача, , .
Функція відповідає умовам і умовам Інади (при споживанні, що прагне до нуля, гранична корисність прагне нескінченності; при споживанні, що прагне нескінченності, гранична корисність прагне нуля): .
Спочатку весь капітал перебуває у літніх, вони його повністю витрачають протягом першого періоду. Заощадження дорівнюють інвестиціям, які робить молоде покоління. Інвестиції своєю чергою дорівнюють капіталу в наступному періоді:
- де — заощадження в розрахунку на одного працівника.
Для пошуку рішення моделі використовуються питомі показники: випуск на одиницю ефективної праці , капітал на одиницю ефективної праці .
Мета споживача
Споживач максимізує міжчасову корисність своїх витрат. Оскільки, згідно з моделлю, індивід працює тільки молодим (у першому періоді), міжчасове бюджетне обмеження споживача відповідає формулі:
Таким чином, мета споживача має такий вигляд:
за умови:
де — реальна заробітна плата в періоді .
Для вирішення цього завдання складається функція Лагранжа і знаходиться її максимум.
Умови максимуму:
Результатом розв'язання цієї системи рівнянь є норма заощаджень для періоду :
Мета фірми
Фірма максимізує свій прибуток . Випуск фірми описується неокласичною виробничою функцією:
- , де
Мета фірми виглядає так:
В умовах досконалої конкуренції рішення завдання фірми призводить до того, що плата за працю (заробітна плата) та плата за капітал (відсоткова ставка) дорівнюють відповідним граничним продуктивностям:
Загальна економічна рівновага
Згідно передумов моделі: . Звідки з урахуванням вирішення завдань споживача та фірми, отримуємо:
Оскільки входить як у праву, так і у ліву частини рівняння, знайти явні рішення цього рівняння можливо лише запровадивши додаткові припущення. За умови, що споживання у першому періоді та споживання у другому періоді є досконалими замінниками, тоді рівновага існує. Якщо при цьому заощадження монотонно зростають за процентною ставкою (), то ця рівновага є єдиною.
Якщо позначити , де — заощадження в розрахунку на одиницю праці з постійною ефективністю в період , тоді рівняння набуде вигляду:
Звідки можливо вивести динаміку капіталоозброєності:
Як результат можливо отримати два варіанти [ru] (див. ілюстрації). У першому варіанті крива виходить з початку координат під кутом більше за 45° (вище лінії ), тоді в моделі буде непарна кількість рівноважних станів (точки перетину та ), з яких перетини, непарні по порядку від початку координат (перший, третій, п'ятий, тощо), будуть стійкими рівновагами, а які йдуть парними (другий, четвертий, тощо) — нестійкими.
У другому варіанті крива виходить з початку координат під кутом меншим за 45° (нижче лінії ), тоді в моделі буде парна кількість рівноважних станів, з яких перетини, парні від початку координат (другий, четвертий, тощо), будуть стійкими рівновагами, а непарні (перший, третій, тощо) — нестійкими.
Рівновага для виробничої функції Кобба-Дугласа та логарифмічної функції корисності
Наочно досягнення рівноваги продемонструється у разі логарифмічної функції корисності та виробничої функції Кобба-Дугласа. В цьому випадку , а корисність витрат для індивіда описується функцією:
Випуск описується функцією:
Тоді, норма заощаджень дорівнює: , а стійкий рівень капіталоозброєності (у цьому випадку існує лише один рівноважний стан) дорівнює: .
Процес досягнення рівноваги на фазовій площині для цього випадку показано на ілюстрації.
Стійкий рівень випуску на одиницю праці з постійною ефективністю у цьому випадку становить:
Як і в моделях Солоу та Рамсея — Каса — Купманса, споживання максимальне у тому випадку, якщо . Таким чином, у моделі можлива динамічна неефективність (надлишкове накопичення капіталу), в тому випадку, якщо:
Конвергенція
Модель передбачає наявність умовної конвергенції, тобто, що країни з малим рівнем капіталоозброєності зростатимуть вищими темпами, ніж країни із великим рівнем капіталоозброєності, за умови, що стійкий рівноважний стан у них однаковий. Окремий випадок з виробничою функцією Кобба — Дугласа та логарифмічною корисністю дозволяє оцінити, наскільки швидко конвергенція відбувається. Швидкість наближення до стану стійкої рівноваги оцінюють за допомогою лінійної апроксимації в залежності від за допомогою розкладання в ряд Тейлора:
Якщо позначити похідну у точці рівноваги , тоді шляхом рекурентних замін виходить наступне рівняння наближення до рівноважного стану:
Для цього випадку, тому:
Таким чином, у розглянутому випадку швидкість конвергенції безпосередньо залежить від — частки доходу на капітал у загальному доході. Чим менша частка доходу на капітал (тобто, чим більша частка праці у вигляді заробітної плати, що можливо за умови малої капіталоозброєності), тим швидше відбувається рух до рівноважного стану, і тим швидше бідні країни наздоганяють багатих.
Фіскальна політика в моделі
Модель дозволяє оцінити вплив фіскальної політики на рівновагу. В рамках моделі збільшення податків і державних витрат призводить до рівноваги з меншим рівнем капіталоозброєності, випуску та споживання. Вплив бюджетно-податкової політики показано на діаграмі. Крива зсувається вниз на розмір податків (державних витрат) на одиницю ефективної праці. Сума податків передбачається рівною розміру державних витрат (), що не впливає на корисність індивідів та майбутній випуск. Рівновага зсувається з точки (стійка рівновага) до точки (стійка рівновага), і встановлюється на нижчому рівні капіталоозброєності та споживання. З'являється третя рівноважна точка , яка є нестійкою рівновагою. [ru] не виконується. Таким чином, в моделі державні витрати витісняють як споживання, і інвестиції.
Переваги, недоліки та подальший розвиток моделі
Одним із суттєвих недоліків моделі є повна відсутність альтруїстичних зв'язків між поколіннями. Щоб подолати цей недолік, [ru], а також Роберт Барро та [ru] запропонували ввести в функцію корисності витрат кожного індивіда корисність витрат його дітей з деяким коефіцієнтом. Така модель перетворюється на дискретний аналог моделі Рамсея — Касса — Купманса для випадку, коли . Динамічна неефективність стає неможливою, а наслідки бюджетно-податкової політики відповідають [ru]. Однак у цьому випадку з'являються і недоліки моделі Рамсея — Касса — Купманса: втрачається можливість недосконалості ринку (динамічної неефективності), а значить, модель перестає пояснювати причини, що призводять до неоптимальної за Парето рівноваги в економіці.
Пол Самуельсон використав цю модель для дослідження впливу розподільної (солідарної) пенсійної системи на загальну економічну рівновагу. В роботі робиться висновок: якщо в економіці встановилась динамічно неефективна рівновага з надлишковим накопиченням капіталу, то розподільна пенсійна система дозволяє перейти до оптимальнішого розподілу ресурсів з вищим споживанням. Якщо ж використовується накопичувальна пенсійна система, то економічна рівновага залишається незмінною.
Модифікація моделі з безперервним часом, в якій життя індивіда має деяку тривалість, але не поділяється на періоди молодості та старості, проте індивід може померти будь-якої миті з деякою ймовірністю, була розроблена [ru] та Олів'є Бланшаром. Через те, що в цій модифікації ймовірність смерті індивіда не змінюється з віком, вона отримала назву «модель вічної молодості». У ній існує єдине рівноважне значення капіталоозброєності, яке при цьому стійке, і так само, як переважно варіанті, є можливість надлишкового накопичення в точці рівноваги.
В цілому, модель перетинних поколінь більш реалістично описує загальну економічну рівновагу та процес її досягнення, ніж моделі Солоу або Рамсея — Касса — Купманса. Перевагою моделі є можливість динамічної неефективності, однак у моделі вона пов'язана з надлишковим накопиченням капіталу, яке не є типовою проблемою країн, що розвиваються, навпаки, у них зазвичай спостерігається недостатність капіталу. До того ж, модель передбачає наявність умовної конвергенції, що означає зростання бідних країн швидше за багатих за умови схожості структурних параметрів. Але в реальності цього не відбувається, як показали, наприклад, дослідження [ru] та [ru], Дж. Де Лонга, П. Ромера. Також, як і в моделях Солоу і Рамсея — Касса — Купманса, науково-технічний прогрес у моделі перетинних поколінь не є наслідком прийняття рішень економічними агентами, а задається екзогенно. Тому, попри всі свої переваги, модель не дає відповіді на питання, чому одні країни багаті, а інші — бідні, і чому другі не можуть наздогнати перших.
Примітки
- Аджемоглу, 2018, с. 501.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 252.
- Samuelson, 1958.
- Барро, Сала-и-Мартин, 2010.
- Ромер Д., 2014.
- Diamond, 1965.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 252—256.
- Аджемоглу, 2018, с. 501—505.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 264.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 187.
- Аджемоглу, 2018, с. 36—47.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 256.
- Аджемоглу, 2018, с. 505.
- Аджемоглу, 2018, с. 509.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 255.
- Аджемоглу, 2018, с. 91.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 254.
- Аджемоглу, 2018, с. 506.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 257.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 258.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 260.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 262.
- Аджемоглу, 2018, с. 513.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 265.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 263.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 271.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 267.
- Туманова, Шагас, 2004, с. 268.
- Andreoni, 1989.
- Samuelson P., 1975.
- Аджемоглу, 2018.
- Yaari, 1965.
- Blanchard, 1985.
- Hall, Jones, 1996.
- De Long, 1988.
- Romer P. M., 1989.
Література
- Дарон Аджемоглу. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М. : , 2018. — 928 с. — .
- Модель пересічних поколінь Самуельсона — Даймонда // Макроекономіка.
- Роберт Барро, [ru]. Экономический рост / Пер. с англ. — М. : Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — .
- Олів'є Бланшар, [ru]. Лекции по макроэкономике = Lectures on macroeconomics. — М. : , 2014. — 680 с. — .
- [ru]. Высшая макроэкономика = Advanced Macroeconomics. — М. : Издательский дом ВШЭ, 2014. — 855 с. — .
- Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М. : ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — .
- [en]. Giving with Impure Altruism: Applications to Charity and Ricardian Equivalence // [en]. — 1989. — Т. 97, № 6 (7 липня). — С. 1447—1458. — DOI: .
- Олів'є Бланшар. Debt, Deficits and Finite Horizons // [en]. — 1985. — Т. 93, № 2 (7 липня). — С. 223—247. — DOI: .
- De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review. — 1988. — Т. 78, № 5 (7 липня). — С. 1138—1154.
- Пітер Артур Даймонд. National Debt in Neoclassical Growth Model // The American Economic Review. — 1965. — Т. 55, № 5 (7 липня). — С. 1126—1150.
- [ru], [ru]. The Productivity of Nations // Working Paper. — 1996. — № 5812 (7 липня). — DOI: .
- Пол Ромер. Human Capital And Growth: Theory and Evidence // Working paper. — 1989. — № 3173 (7 липня). — DOI: .
- Пол Семюельсон. An exact Consumption-Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money // [en]. — 1958. — Т. 66, № 6 (7 липня). — С. 467—482. — DOI: .
- Пол Семюельсон. Optimum Social Security in a Life-Cycle Growth Model // [en]. — 1975. — Т. 16, № 3 (7 липня). — С. 539—544. — DOI: .
- [ru]. Uncertain Lifetime, Life Insurance, and the Theory of the Consumer // [en]. — 1965. — Т. 32, № 2 (7 липня). — С. 137—150. — DOI: .
Ця стаття належить до української Вікіпедії. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Model peretinnih peresichnih pokolin model Dajmonda model Samuelsona Dajmonda angl overlapping generations model model ekzogennogo ekonomichnogo zrostannya v umovah doskonaloyi konkurenciyi Rozroblena v 1965 roci Piterom Dajmondom z vikoristannyam idej Pola Samuelsona U modeli vidobrazheno zminu spozhivchoyi povedinki individa z vikovih prichin Ce dozvolilo zrobiti kroki v napryamku rozuminnya togo yakim chinom rishennya individiv formuyut normu zaoshadzhen v ekonomici Pri comu u modeli zaperechuyutsya altruyistichni zv yazki mizh pokolinnyami vona ne daye zadovilnogo poyasnennya vidminnostyam mizh krayinami u rivni dohodu na dushu naselennya Piter Artur DajmondPol Entoni SamuelsonIstoriya stvorennyaU pershih modelyah ekonomichnogo zrostannya model Solou model Harroda Domara vikoristovuvalisya zadani ekzogenno parametri norma zaoshadzhen ta temp naukovo tehnichnogo progresu vid yakih zreshtoyu i zalezhali tempi zrostannya yaki demonstruvali modeli Doslidniki zh hotili otrimati obgruntuvannya tempiv ekonomichnogo zrostannya vnutrishnimi endogennimi faktorami oskilki modeli zi zazdalegid viznachenoyu normoyu zaoshadzhen mali nizku nedolikiv Napriklad voni ne poyasnyuvali stijki vidminnosti u rivnyah i tempah zrostannya mizh rozvinenimi krayinami ta krayinami sho rozvivayutsya U modeli Ramseya Kassa Kupmansa bulo podolano nedolik ekzogennosti normi zaoshadzhen Odnak vona zberegla inshij nedolik rannih modelej v nij rozglyadayetsya bezsmertnij individ abo domogospodarstvo yak rivnomirnij vichnij spozhivach Ale u realnosti z chasom harakter finansovoyi ta spozhivchoyi povedinki zminyuyetsya Yaksho v molodomu vici individ pracyuye i robit zaoshadzhennya to v litnomu vici vin ci zaoshadzhennya vitrachaye Same na ce majbutnij laureat Nobelivskoyi premiyi z ekonomiki Pol Samuelson zvernuv priskiplivu uvagu U grudni 1958 roku vin opublikuvav robotu Modelyuvannya vidsotkovoyi stavki na osnovi spivvidnoshennya spozhivannya ta kredituvannya za nayavnosti abo vidsutnosti socialnoyi koncepciyi groshej v yakij bula predstavlena prosta model ekonomiki na osnovi idej Ojgen fon Bem Baverka pro prichini isnuvannya vidsotkovogo dohodu na kapital de buli vidileni tri periodi zhittya individuuma ta vidpovidne cim periodam spozhivannya u pershih dvoh vin pracyuye u tretomu vihodit na pensiyu U grudni 1965 roku Piter Dajmond takozh majbutnij laureat Nobelivskoyi premiyi z ekonomiki opublikuvav robotu Nacionalnij borg u neoklasichnij modeli zrostannya u zhurnali The American Economic Review v yakij vin rozvinuv ideyi Samuelsona z urahuvannyam visnovkiv modeli Solou ta modeli Ramseya Kassa Kupmansa i predstaviv model peretinnih pokolin takozh vidomu yak model Dajmonda abo model Samuelsona Dajmonda Opis modeliBazovi peredumovi U modeli rozglyadayetsya zakrita ekonomika Firmi funkcionuyut za umov doskonaloyi konkurenciyi ta maksimizuyut svij pributok a spozhivachi korisnist svoyih vitrat Vigotovlyayetsya lishe odin produkt Y displaystyle Y sho vikoristovuyetsya yak dlya spozhivannya C displaystyle C tak i dlya virobnichih potreb vrahovuyetsya yak investiciyi I displaystyle I Tempi tehnologichnogo progresu g displaystyle g zrostannya naselennya n displaystyle n ta norma vibuttya obladnannya kapitalu d displaystyle delta postijni i zadayutsya ekzogenno Individuumi zhivut dva periodi u pershomu voni pracyuyut spozhivayut ta zberigayut u drugomu lishe spozhivayut vitrachayuchi vlasni zaoshadzhennya z pershogo periodu vihodyat na pensiyu Altruyistichni zv yazki mizh pokolinnyami vidsutni molodi ne dopomagayut lyudyam pohilogo viku i ne otrimuyut spadshinu Chas t displaystyle t zminyuyetsya diskretno tobto periodi ne mayut vlasnoyi trivalosti Odin period modeli vidpovidaye zmini virobnichih pokolin tobto u realnomu virazhenni ekvivalentnij priblizno 25 30 rokam Zakritist ekonomiki oznachaye sho viroblenij produkt vitrachayetsya tilki na zaoshadzhennya i spozhivannya eksport import vidsutni investiciyi zavzhdi dorivnyuyut zaoshadzhennyam S I displaystyle S I Y C I displaystyle Y C I Virobnicha funkciya Y K L E displaystyle Y K L E zadovolnyaye neoklasichnim peredumovam tehnologichnij progres zbilshuye produktivnist praci nejtralnij za Harrodom Yt Y Kt LtEt Et 1 g Et 1 g const displaystyle Y t Y K t L t E t E t 1 g E t 1 g const u virobnichij funkciyi vikoristovuyetsya pracya L displaystyle L ta kapital K displaystyle K vona maye postijnu viddachu vid masshtabu Y aK aLE aY K LE displaystyle Y aK aLE aY K LE granichna produktivnist faktoriv pozitivna ta spadna Y K gt 0 2Y K2 lt 0 Y L gt 0 2Y L2 lt 0 displaystyle frac partial Y partial K gt 0 frac partial 2 Y partial K 2 lt 0 frac partial Y partial L gt 0 frac partial 2 Y partial L 2 lt 0 virobnicha funkciya zadovolnyaye umovam Inadi a same yaksho zapas odnogo z faktoriv neskinchenno malij to jogo granichna produktivnist neskinchenno velika yaksho zapas odnogo z faktoriv neskinchenno velikij to jogo granichna produktivnist neskinchenno mala limK 0 Y K limL 0 Y L limK Y K limL Y L 0 displaystyle lim K to 0 frac partial Y partial K lim L to 0 frac partial Y partial L infty lim K to infty frac partial Y partial K lim L to infty frac partial Y partial L 0 dlya virobnictva neobhidni vsi faktori Y K 0 Y 0 LE 0 displaystyle Y K 0 Y 0 LE 0 Naselennya Lt displaystyle L t zrostaye z postijnim tempom n displaystyle n Lt 1 n Lt 1 n const displaystyle L t 1 n L t 1 n const U kozhnomu periodi t displaystyle t zhive Lt displaystyle L t molodih ta Lt 1 displaystyle L t 1 litnih individiv Sukupne spozhivannya C displaystyle C dorivnyuye Ct c1tLt c2tLt 1 displaystyle C t c 1t L t c 2t L t 1 de c1tLt displaystyle c 1t L t spozhivannya pracyuyuchogo pokolinnya c2tLt 1 displaystyle c 2t L t 1 spozhivannya pokolinnya sho vijshlo na pensiyu Molodij individ proponuye odnu odinicyu praci propoziciya praci neelastichna i otrimuye naturalnu zarobitnu platu deyakoyu kilkistyu yedinogo viroblennogo tovaru groshi vidsutni Kozhen individ obiraye i rozpodilyaye otrimane mizh spozhivannyam zaraz u molodosti abo zaoshadzhennyam spozhivannyam u starosti maksimizuyuchi mizhchasovu korisnist svoyih vitrat yaka opisuyetsya nastupnoyu funkciyeyu Ut c1t1 8 11 8 11 r c2t 11 8 11 8 displaystyle U t frac c 1t 1 theta 1 1 theta frac 1 1 rho times frac c 2t 1 1 theta 1 1 theta de 18 displaystyle frac 1 theta elastichnist zamishennya za chasom 8 gt 0 displaystyle theta gt 0 8 const displaystyle theta const r displaystyle rho koeficiyent mizhchasovoyi perevagi spozhivacha r gt 1 displaystyle rho gt 1 r const displaystyle rho const Funkciya vidpovidaye umovam u c gt 0 u c lt 0 displaystyle u c gt 0 u c lt 0 i umovam Inadi pri spozhivanni sho pragne do nulya granichna korisnist pragne neskinchennosti pri spozhivanni sho pragne neskinchennosti granichna korisnist pragne nulya limc 0u c limc u c 0 displaystyle lim c to 0 u c infty lim c to infty u c 0 Spochatku ves kapital K0 displaystyle K 0 perebuvaye u litnih voni jogo povnistyu vitrachayut protyagom pershogo periodu Zaoshadzhennya dorivnyuyut investiciyam yaki robit molode pokolinnya Investiciyi svoyeyu chergoyu dorivnyuyut kapitalu v nastupnomu periodi St stLt It Kt 1 displaystyle S t s t L t I t K t 1 de st displaystyle s t zaoshadzhennya v rozrahunku na odnogo pracivnika Dlya poshuku rishennya modeli vikoristovuyutsya pitomi pokazniki vipusk na odinicyu efektivnoyi praci y YLE displaystyle y frac Y LE kapital na odinicyu efektivnoyi praci k KLE displaystyle k frac K LE Meta spozhivacha Spozhivach maksimizuye mizhchasovu korisnist svoyih vitrat Oskilki zgidno z modellyu individ pracyuye tilki molodim u pershomu periodi mizhchasove byudzhetne obmezhennya spozhivacha vidpovidaye formuli c1t c2t 11 rt 1 wtEt displaystyle c 1t frac c 2t 1 1 r t 1 w t E t Takim chinom meta spozhivacha maye takij viglyad Ut max displaystyle U t rightarrow max za umovi wtEt c1t c2t 11 rt 1 0 displaystyle w t E t c 1t frac c 2t 1 1 r t 1 0 de wt displaystyle w t realna zarobitna plata v periodi t displaystyle t Dlya virishennya cogo zavdannya skladayetsya funkciya Lagranzha i znahoditsya yiyi maksimum Poshuk maksimumu funkciyi LagranzhaL c1t1 8 11 8 c2t1 8 1 1 8 1 r l wtEt c1t c2t 1rt 1 displaystyle L frac c 1t 1 theta 1 1 theta frac c 2t 1 theta 1 1 theta 1 rho lambda biggl w t E t c 1t frac c 2t 1 r t 1 biggr Umovi maksimumu L c1t c1t 8 l 0 L c2t 1 c2t 1 81 r l1 rt 1 0 L l wtEt c1t c2t 11 rt 1 0 displaystyle begin cases frac partial L partial c 1t c 1t theta lambda 0 frac partial L partial c 2t 1 frac c 2t 1 theta 1 rho frac lambda 1 r t 1 0 frac partial L partial lambda w t E t c 1t frac c 2t 1 1 r t 1 0 end cases Rezultatom rozv yazannya ciyeyi sistemi rivnyan ye norma zaoshadzhen s t displaystyle bar s t dlya periodu t displaystyle t s t 1 rt 1 1 88 1 r 18 1 rt 1 1 88 displaystyle bar s t frac 1 r t 1 frac 1 theta theta 1 rho frac 1 theta 1 r t 1 frac 1 theta theta Meta firmi Firma maksimizuye svij pributok p displaystyle pi Vipusk firmi opisuyetsya neoklasichnoyu virobnichoyu funkciyeyu yt f k t displaystyle y t f hat k t de k t KtLtEt displaystyle hat k t frac K t L t E t Meta firmi viglyadaye tak p F Kt Lt rtKt wtLt max displaystyle pi F K t L t r t K t w t L t rightarrow max V umovah doskonaloyi konkurenciyi rishennya zavdannya firmi prizvodit do togo sho plata za pracyu zarobitna plata w displaystyle w ta plata za kapital r displaystyle r vidsotkova stavka dorivnyuyut vidpovidnim granichnim produktivnostyam Yt L wt f k t k tf k t displaystyle frac partial Y t partial L w t f hat k t hat k t f hat k t Yt K rt d f k t displaystyle frac partial Y t partial K r t delta f hat k t Zagalna ekonomichna rivnovaga Model peretinnih pokolin fazova ploshina variant 1Model peretinnih pokolin fazova ploshina variant 2Model peretinnih pokolin fazova ploshina virobnicha funkciya Kobba Duglasa logarifmichna funkciya korisnosti dosyagnennya rivnovagi Zgidno peredumov modeli Kt 1 stLt displaystyle K t 1 s t L t Zvidki z urahuvannyam virishennya zavdan spozhivacha ta firmi otrimuyemo k t 1 1 1 n 1 g 1 f k t 1 d 1 88 1 r 18 1 f k t 1 d 1 88 f k t k tf k t displaystyle hat k t 1 frac 1 1 n 1 g times frac 1 f hat k t 1 delta frac 1 theta theta 1 rho frac 1 theta 1 f hat k t 1 delta frac 1 theta theta times f hat k t hat k t f hat k t Oskilki k t 1 displaystyle hat k t 1 vhodit yak u pravu tak i u livu chastini rivnyannya znajti yavni rishennya cogo rivnyannya mozhlivo lishe zaprovadivshi dodatkovi pripushennya Za umovi sho spozhivannya u pershomu periodi ta spozhivannya u drugomu periodi ye doskonalimi zaminnikami todi rivnovaga isnuye Yaksho pri comu zaoshadzhennya monotonno zrostayut za procentnoyu stavkoyu st rt gt 0 displaystyle s t r t gt 0 to cya rivnovaga ye yedinoyu Yaksho poznachiti s rt 1 wt stEt displaystyle s r t 1 w t frac s t E t de s rt 1 wt displaystyle s r t 1 w t zaoshadzhennya v rozrahunku na odinicyu praci z postijnoyu efektivnistyu v period t displaystyle t todi rivnyannya nabude viglyadu 1 n 1 g k t 1 s f k t 1 d f k 1 k tf k t displaystyle 1 n 1 g hat k t 1 s bigl f hat k t 1 delta f hat k 1 hat k t f hat k t bigr Zvidki mozhlivo vivesti dinamiku kapitaloozbroyenosti k t 1 k t sw k tf k t 1 n 1 g sr f k t 1 displaystyle frac partial hat k t 1 partial hat k t frac s w hat k t f hat k t 1 n 1 g s r f hat k t 1 Yak rezultat mozhlivo otrimati dva varianti ru div ilyustraciyi U pershomu varianti kriva k t 1 k t displaystyle frac partial hat k t 1 partial hat k t vihodit z pochatku koordinat pid kutom bilshe za 45 vishe liniyi k t k t 1 displaystyle hat k t hat k t 1 todi v modeli bude neparna kilkist rivnovazhnih staniv tochki peretinu k t 1 k t displaystyle frac partial hat k t 1 partial hat k t ta k t 1 k t displaystyle hat k t 1 hat k t z yakih peretini neparni po poryadku vid pochatku koordinat pershij tretij p yatij tosho budut stijkimi rivnovagami a yaki jdut parnimi drugij chetvertij tosho nestijkimi U drugomu varianti kriva k t 1 k t displaystyle frac partial hat k t 1 partial hat k t vihodit z pochatku koordinat pid kutom menshim za 45 nizhche liniyi k t k t 1 displaystyle hat k t hat k t 1 todi v modeli bude parna kilkist rivnovazhnih staniv z yakih peretini parni vid pochatku koordinat drugij chetvertij tosho budut stijkimi rivnovagami a neparni pershij tretij tosho nestijkimi Rivnovaga dlya virobnichoyi funkciyi Kobba Duglasa ta logarifmichnoyi funkciyi korisnosti Naochno dosyagnennya rivnovagi prodemonstruyetsya u razi logarifmichnoyi funkciyi korisnosti ta virobnichoyi funkciyi Kobba Duglasa V comu vipadku 8 0 displaystyle theta 0 a korisnist vitrat dlya individa opisuyetsya funkciyeyu U ln c1t ln c2t 1 1 r displaystyle U ln c 1t frac ln c 2t 1 1 rho Vipusk Y displaystyle Y opisuyetsya funkciyeyu Y Ka LE 1 a displaystyle Y K alpha LE 1 alpha Todi norma zaoshadzhen dorivnyuye s t s 12 r displaystyle bar s t bar s frac 1 2 rho a stijkij riven kapitaloozbroyenosti u comu vipadku isnuye lishe odin rivnovazhnij stan dorivnyuye k 1 a 1 n 1 g 2 r 11 a displaystyle hat k biggl frac 1 alpha 1 n 1 g 2 rho biggr frac 1 1 alpha Proces dosyagnennya rivnovagi na fazovij ploshini dlya cogo vipadku pokazano na ilyustraciyi Stijkij riven vipusku na odinicyu praci z postijnoyu efektivnistyu y displaystyle hat y u comu vipadku stanovit y k a 1 a 1 n 1 g 2 r a1 a displaystyle hat y hat k alpha biggl frac 1 alpha 1 n 1 g 2 rho biggr frac alpha 1 alpha Yak i v modelyah Solou ta Ramseya Kasa Kupmansa spozhivannya maksimalne u tomu vipadku yaksho f k n g d displaystyle f hat k n g delta Takim chinom u modeli mozhliva dinamichna neefektivnist nadlishkove nakopichennya kapitalu v tomu vipadku yaksho a 1 n 1 g 2 r 1 a lt n g d displaystyle frac alpha 1 n 1 g 2 rho 1 alpha lt n g delta Konvergenciya Model peredbachaye nayavnist umovnoyi konvergenciyi tobto sho krayini z malim rivnem kapitaloozbroyenosti zrostatimut vishimi tempami nizh krayini iz velikim rivnem kapitaloozbroyenosti za umovi sho stijkij rivnovazhnij stan u nih odnakovij Okremij vipadok z virobnichoyu funkciyeyu Kobba Duglasa ta logarifmichnoyu korisnistyu dozvolyaye ociniti naskilki shvidko konvergenciya vidbuvayetsya Shvidkist nablizhennya do stanu stijkoyi rivnovagi ocinyuyut za dopomogoyu linijnoyi aproksimaciyi k t 1 displaystyle hat k t 1 v zalezhnosti vid k t displaystyle hat k t za dopomogoyu rozkladannya v ryad Tejlora k t 1 k k t 1 k t k t k k t k displaystyle hat k t 1 approx hat k frac partial hat k t 1 partial hat k t vert hat k t hat k hat k t hat k Yaksho poznachiti pohidnu u tochci rivnovagi l k t 1 k t k t k displaystyle lambda frac partial hat k t 1 partial hat k t vert hat k t hat k todi shlyahom rekurentnih zamin vihodit nastupne rivnyannya nablizhennya do rivnovazhnogo stanu k t 1 k lt k 0 k displaystyle hat k t 1 hat k lambda t hat k 0 hat k Dlya cogo vipadku l a displaystyle lambda alpha tomu k t 1 k lt k 0 k at k 0 k displaystyle hat k t 1 hat k lambda t hat k 0 hat k alpha t hat k 0 hat k Takim chinom u rozglyanutomu vipadku shvidkist konvergenciyi bezposeredno zalezhit vid a displaystyle alpha chastki dohodu na kapital u zagalnomu dohodi Chim mensha chastka dohodu na kapital tobto chim bilsha chastka praci u viglyadi zarobitnoyi plati sho mozhlivo za umovi maloyi kapitaloozbroyenosti tim shvidshe vidbuvayetsya ruh do rivnovazhnogo stanu i tim shvidshe bidni krayini nazdoganyayut bagatih Fiskalna politika v modeli Model peretinnih pokolin fazova ploshina fiskalna politika Model dozvolyaye ociniti vpliv fiskalnoyi politiki na rivnovagu V ramkah modeli zbilshennya podatkiv i derzhavnih vitrat prizvodit do rivnovagi z menshim rivnem kapitaloozbroyenosti vipusku ta spozhivannya Vpliv byudzhetno podatkovoyi politiki pokazano na diagrami Kriva k t 1 k t displaystyle frac partial hat k t 1 partial hat k t zsuvayetsya vniz na rozmir podatkiv derzhavnih vitrat na odinicyu efektivnoyi praci Suma podatkiv peredbachayetsya rivnoyu rozmiru derzhavnih vitrat G t T t displaystyle hat G t hat T t sho ne vplivaye na korisnist individiv ta majbutnij vipusk Rivnovaga zsuvayetsya z tochki A displaystyle A stijka rivnovaga do tochki B displaystyle B stijka rivnovaga i vstanovlyuyetsya na nizhchomu rivni kapitaloozbroyenosti k k B lt k A displaystyle hat k hat k B lt hat k A ta spozhivannya Z yavlyayetsya tretya rivnovazhna tochka C displaystyle C yaka ye nestijkoyu rivnovagoyu ru ne vikonuyetsya Takim chinom v modeli derzhavni vitrati vitisnyayut yak spozhivannya i investiciyi Perevagi nedoliki ta podalshij rozvitok modeliOdnim iz suttyevih nedolikiv modeli ye povna vidsutnist altruyistichnih zv yazkiv mizh pokolinnyami Shob podolati cej nedolik ru a takozh Robert Barro ta ru zaproponuvali vvesti v funkciyu korisnosti vitrat kozhnogo individa korisnist vitrat jogo ditej z deyakim koeficiyentom Taka model peretvoryuyetsya na diskretnij analog modeli Ramseya Kassa Kupmansa dlya vipadku koli r 0 displaystyle rho 0 Dinamichna neefektivnist staye nemozhlivoyu a naslidki byudzhetno podatkovoyi politiki vidpovidayut ru Odnak u comu vipadku z yavlyayutsya i nedoliki modeli Ramseya Kassa Kupmansa vtrachayetsya mozhlivist nedoskonalosti rinku dinamichnoyi neefektivnosti a znachit model perestaye poyasnyuvati prichini sho prizvodyat do neoptimalnoyi za Pareto rivnovagi v ekonomici Pol Samuelson vikoristav cyu model dlya doslidzhennya vplivu rozpodilnoyi solidarnoyi pensijnoyi sistemi na zagalnu ekonomichnu rivnovagu V roboti robitsya visnovok yaksho v ekonomici vstanovilas dinamichno neefektivna rivnovaga z nadlishkovim nakopichennyam kapitalu to rozpodilna pensijna sistema dozvolyaye perejti do optimalnishogo rozpodilu resursiv z vishim spozhivannyam Yaksho zh vikoristovuyetsya nakopichuvalna pensijna sistema to ekonomichna rivnovaga zalishayetsya nezminnoyu Modifikaciya modeli z bezperervnim chasom v yakij zhittya individa maye deyaku trivalist ale ne podilyayetsya na periodi molodosti ta starosti prote individ mozhe pomerti bud yakoyi miti z deyakoyu jmovirnistyu bula rozroblena ru ta Oliv ye Blansharom Cherez te sho v cij modifikaciyi jmovirnist smerti individa ne zminyuyetsya z vikom vona otrimala nazvu model vichnoyi molodosti U nij isnuye yedine rivnovazhne znachennya kapitaloozbroyenosti yake pri comu stijke i tak samo yak perevazhno varianti ye mozhlivist nadlishkovogo nakopichennya v tochci rivnovagi V cilomu model peretinnih pokolin bilsh realistichno opisuye zagalnu ekonomichnu rivnovagu ta proces yiyi dosyagnennya nizh modeli Solou abo Ramseya Kassa Kupmansa Perevagoyu modeli ye mozhlivist dinamichnoyi neefektivnosti odnak u modeli vona pov yazana z nadlishkovim nakopichennyam kapitalu yake ne ye tipovoyu problemoyu krayin sho rozvivayutsya navpaki u nih zazvichaj sposterigayetsya nedostatnist kapitalu Do togo zh model peredbachaye nayavnist umovnoyi konvergenciyi sho oznachaye zrostannya bidnih krayin shvidshe za bagatih za umovi shozhosti strukturnih parametriv Ale v realnosti cogo ne vidbuvayetsya yak pokazali napriklad doslidzhennya ru ta ru Dzh De Longa P Romera Takozh yak i v modelyah Solou i Ramseya Kassa Kupmansa naukovo tehnichnij progres u modeli peretinnih pokolin ne ye naslidkom prijnyattya rishen ekonomichnimi agentami a zadayetsya ekzogenno Tomu popri vsi svoyi perevagi model ne daye vidpovidi na pitannya chomu odni krayini bagati a inshi bidni i chomu drugi ne mozhut nazdognati pershih PrimitkiAdzhemoglu 2018 s 501 Tumanova Shagas 2004 s 252 Samuelson 1958 Barro Sala i Martin 2010 Romer D 2014 Diamond 1965 Tumanova Shagas 2004 s 252 256 Adzhemoglu 2018 s 501 505 Tumanova Shagas 2004 s 264 Tumanova Shagas 2004 s 187 Adzhemoglu 2018 s 36 47 Tumanova Shagas 2004 s 256 Adzhemoglu 2018 s 505 Adzhemoglu 2018 s 509 Tumanova Shagas 2004 s 255 Adzhemoglu 2018 s 91 Tumanova Shagas 2004 s 254 Adzhemoglu 2018 s 506 Tumanova Shagas 2004 s 257 Tumanova Shagas 2004 s 258 Tumanova Shagas 2004 s 260 Tumanova Shagas 2004 s 262 Adzhemoglu 2018 s 513 Tumanova Shagas 2004 s 265 Tumanova Shagas 2004 s 263 Tumanova Shagas 2004 s 271 Tumanova Shagas 2004 s 267 Tumanova Shagas 2004 s 268 Andreoni 1989 Samuelson P 1975 Adzhemoglu 2018 Yaari 1965 Blanchard 1985 Hall Jones 1996 De Long 1988 Romer P M 1989 LiteraturaDaron Adzhemoglu Vvedenie v teoriyu sovremennogo ekonomicheskogo rosta v 2 kn Kniga 1 Introduction to Modern Economic Growth 2009 M 2018 928 s ISBN 978 5 7749 1262 9 Model peresichnih pokolin Samuelsona Dajmonda Makroekonomika Robert Barro ru Ekonomicheskij rost Per s angl M Binom Laboratoriya znanij 2010 824 s ISBN 978 5 94774 790 4 Oliv ye Blanshar ru Lekcii po makroekonomike Lectures on macroeconomics M 2014 680 s ISBN 978 5 7749 0829 5 ru Vysshaya makroekonomika Advanced Macroeconomics M Izdatelskij dom VShE 2014 855 s ISBN 978 5 7568 0406 2 Tumanova E A Shagas N L Makroekonomika Elementy prodvinutogo podhoda M INFRA M 2004 400 s ISBN 5 1600 1864 6 en Giving with Impure Altruism Applications to Charity and Ricardian Equivalence en 1989 T 97 6 7 lipnya S 1447 1458 DOI 10 1086 261662 Oliv ye Blanshar Debt Deficits and Finite Horizons en 1985 T 93 2 7 lipnya S 223 247 DOI 10 1086 261297 De Long J B Productivity Growth Convergence and Welfare Comment The American Economic Review 1988 T 78 5 7 lipnya S 1138 1154 Piter Artur Dajmond National Debt in Neoclassical Growth Model The American Economic Review 1965 T 55 5 7 lipnya S 1126 1150 ru ru The Productivity of Nations Working Paper 1996 5812 7 lipnya DOI 10 3386 w5812 Pol Romer Human Capital And Growth Theory and Evidence Working paper 1989 3173 7 lipnya DOI 10 3386 w3173 Pol Semyuelson An exact Consumption Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money en 1958 T 66 6 7 lipnya S 467 482 DOI 10 1086 258100 Pol Semyuelson Optimum Social Security in a Life Cycle Growth Model en 1975 T 16 3 7 lipnya S 539 544 DOI 10 2307 2525994 ru Uncertain Lifetime Life Insurance and the Theory of the Consumer en 1965 T 32 2 7 lipnya S 137 150 DOI 10 2307 2296058 Cya stattya nalezhit do dobrih statej ukrayinskoyi Vikipediyi