Модель Пламмера, також сфера Пламмера (англ. Plummer model, англ. Plummer sphere) — закон розподілу густини, вперше застосований Г. Пламмером при дослідженні кулястих скупчень. Часто використовується у вигляді спрощеної моделі в рамках моделювання в задачі N тіл.
Опис моделі
Тривимірний профіль густини в моделі Пламмера має вигляд
де — повна маса модельованого об'єкта, a — так званий радіус Пламмера, масштабний параметр, який встановлює характерний розмір ядра системи. Відповідний потенціал має вигляд
де G позначає гравітаційну сталу. Дисперсія швидкостей становить
Функція розподілу має вигляд
якщо , і в іншому випадку. тут показує енергію в розрахунку на одиницю маси.
Властивості
Маса всередині сфери радіуса :
Багато властивостей моделі Пламмера описано в статті Хервіга Дейонге.
Радіус ядра , на якому густина падає до половини значення в центрі, дорівнює .
Радіус, всередині якого міститься половина маси,
Віріальний радіус становить .
Двовимірна поверхнева густина дорівнює
,
отже, двовимірний профіль розподілу маси:
.
В астрономії буває необхідно визначати також радіус, всередині якого міститься половина маси в рамках двовимірного розподілу .
Для моделі Пламмера .
Радіальні точки повороту орбіти характеризуються питомою енергією і питомим кутовим моментом , відповідні значення відстаней можна знайти як корені кубічного рівняння
де , тому . Це рівняння має три дійсних корені : Два додатних і один від'ємний, при , де є питомим кутовим моментом для кругової орбіти з тією ж енергією. можна обчислити на основі єдиного дійсного кореня дискримінанту кубічного рівняння, який сам по собі є кубічним рівнянням
де підкреслені параметри є безрозмірними в [en], визначених у вигляді , і .
Застосування
Модель Пламмера дозволяє подати спостережувані профілі густини зоряних скупчень, хоча швидке зниження густини на великих відстанях () погано описується цим способом.
Поведінка густини поблизу центру системи не відповідає спостережуваним характеристикам еліптичних галактик, у яких густина до центру зростає сильніше.
Простота, з якою можна застосувати модель Пламмера в методі Монте-Карло, зробила модель Пламмера дуже популярною в рамках моделювання задачі N тіл, попри недостатній реалізм моделі.
Примітки
- Plummer, H. C. (1911), On the problem of distribution in globular star clusters [ 26 червня 2019 у Wayback Machine.], Mon. Not. R. Astron. Soc. 71, 460.
- Dejonghe, H. (1987), A completely analytical family of anisotropic Plummer models [ 26 червня 2019 у Wayback Machine.]. Mon. Not. R. Astron. Soc. 224, 13.
- Aarseth, S. J., Henon, M. and Wielen, R. (1974), A comparison of numerical methods for the study of star cluster dynamics. [ 19 квітня 2020 у Wayback Machine.] Astronomy and Astrophysics 37 183.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Model Plammera takozh sfera Plammera angl Plummer model angl Plummer sphere zakon rozpodilu gustini vpershe zastosovanij G Plammerom pri doslidzhenni kulyastih skupchen Chasto vikoristovuyetsya u viglyadi sproshenoyi modeli v ramkah modelyuvannya v zadachi N til Opis modeliTrivimirnij profil gustini v modeli Plammera maye viglyad r P r 3 M 0 4 p a 3 1 r 2 a 2 5 2 displaystyle rho P r frac 3M 0 4 pi a 3 left 1 frac r 2 a 2 right frac 5 2 de M 0 displaystyle M 0 povna masa modelovanogo ob yekta a tak zvanij radius Plammera masshtabnij parametr yakij vstanovlyuye harakternij rozmir yadra sistemi Vidpovidnij potencial maye viglyad F P r G M 0 r 2 a 2 displaystyle Phi P r frac GM 0 sqrt r 2 a 2 de G poznachaye gravitacijnu stalu Dispersiya shvidkostej stanovit s P 2 r G M 0 6 r 2 a 2 displaystyle sigma P 2 r frac GM 0 6 sqrt r 2 a 2 Funkciya rozpodilu maye viglyad f x v 24 2 7 p 3 N a 2 G 5 M 0 5 E x v 7 2 displaystyle f vec x vec v frac 24 sqrt 2 7 pi 3 frac Na 2 G 5 M 0 5 E vec x vec v 7 2 yaksho E lt 0 displaystyle E lt 0 i f x v 0 displaystyle f vec x vec v 0 v inshomu vipadku tut E x v 1 2 v 2 F P r displaystyle E vec x vec v frac 1 2 v 2 Phi P r pokazuye energiyu v rozrahunku na odinicyu masi VlastivostiMasa vseredini sferi radiusa r displaystyle r M lt r 4 p 0 r r 2 r P r d r M 0 r 3 r 2 a 2 3 2 displaystyle M lt r 4 pi int 0 r r 2 rho P r dr M 0 frac r 3 r 2 a 2 3 2 Bagato vlastivostej modeli Plammera opisano v statti Herviga Dejonge Radius yadra r c displaystyle r c na yakomu gustina padaye do polovini znachennya v centri dorivnyuye r c a 2 1 0 64 a displaystyle r c a sqrt sqrt 2 1 approx 0 64a Radius vseredini yakogo mistitsya polovina masi r h 1 0 5 2 3 1 0 5 a 1 3 a displaystyle r h left frac 1 0 5 2 3 1 right 0 5 a approx 1 3a Virialnij radius stanovit r V 16 3 p a 1 7 a displaystyle r V frac 16 3 pi a approx 1 7a Dvovimirna poverhneva gustina dorivnyuye S R r r z d z 2 0 3 a 2 M 0 d z 4 p a 2 z 2 R 2 5 2 M 0 a 2 p a 2 R 2 2 displaystyle Sigma R int infty infty rho r z dz 2 int 0 infty frac 3a 2 M 0 dz 4 pi a 2 z 2 R 2 5 2 frac M 0 a 2 pi a 2 R 2 2 otzhe dvovimirnij profil rozpodilu masi M R 2 p 0 R S R R d R M 0 R 2 a 2 R 2 displaystyle M R 2 pi int 0 R Sigma R R dR M 0 frac R 2 a 2 R 2 V astronomiyi buvaye neobhidno viznachati takozh radius vseredini yakogo mistitsya polovina masi v ramkah dvovimirnogo rozpodilu M R 1 2 M 0 2 displaystyle M R 1 2 M 0 2 Dlya modeli Plammera R 1 2 a displaystyle R 1 2 a Radialni tochki povorotu orbiti harakterizuyutsya pitomoyu energiyeyu E 1 2 v 2 F r displaystyle E frac 1 2 v 2 Phi r i pitomim kutovim momentom L r v displaystyle L vec r times vec v vidpovidni znachennya vidstanej mozhna znajti yak koreni kubichnogo rivnyannya R 3 G M 0 E R 2 L 2 2 E a 2 R G M 0 a 2 E 0 displaystyle R 3 frac GM 0 E R 2 left frac L 2 2E a 2 right R frac GM 0 a 2 E 0 de R r 2 a 2 displaystyle R sqrt r 2 a 2 tomu r R 2 a 2 displaystyle r sqrt R 2 a 2 Ce rivnyannya maye tri dijsnih koreni R displaystyle R Dva dodatnih i odin vid yemnij pri L lt L c E displaystyle L lt L c E de L c E displaystyle L c E ye pitomim kutovim momentom dlya krugovoyi orbiti z tiyeyu zh energiyeyu L c displaystyle L c mozhna obchisliti na osnovi yedinogo dijsnogo korenya diskriminantu kubichnogo rivnyannya yakij sam po sobi ye kubichnim rivnyannyam E L c 3 6 E 2 a 2 1 2 L c 2 12 E 3 a 4 20 E a 2 L c 8 E 4 a 6 16 E 2 a 4 8 a 2 0 displaystyle underline E underline L c 3 left 6 underline E 2 underline a 2 frac 1 2 right underline L c 2 left 12 underline E 3 underline a 4 20 underline E underline a 2 right underline L c left 8 underline E 4 underline a 6 16 underline E 2 underline a 4 8 underline a 2 right 0 de pidkresleni parametri ye bezrozmirnimi v en viznachenih u viglyadi E E r V G M 0 displaystyle underline E Er V GM 0 L c L c G M r V displaystyle underline L c L c sqrt GMr V i a a r V 3 p 16 displaystyle underline a a r V 3 pi 16 ZastosuvannyaModel Plammera dozvolyaye podati sposterezhuvani profili gustini zoryanih skupchen hocha shvidke znizhennya gustini na velikih vidstanyah r r 5 displaystyle rho rightarrow r 5 pogano opisuyetsya cim sposobom Povedinka gustini poblizu centru sistemi ne vidpovidaye sposterezhuvanim harakteristikam eliptichnih galaktik u yakih gustina do centru zrostaye silnishe Prostota z yakoyu mozhna zastosuvati model Plammera v metodi Monte Karlo zrobila model Plammera duzhe populyarnoyu v ramkah modelyuvannya zadachi N til popri nedostatnij realizm modeli PrimitkiPlummer H C 1911 On the problem of distribution in globular star clusters 26 chervnya 2019 u Wayback Machine Mon Not R Astron Soc 71 460 Dejonghe H 1987 A completely analytical family of anisotropic Plummer models 26 chervnya 2019 u Wayback Machine Mon Not R Astron Soc 224 13 Aarseth S J Henon M and Wielen R 1974 A comparison of numerical methods for the study of star cluster dynamics 19 kvitnya 2020 u Wayback Machine Astronomy and Astrophysics 37 183