Модель Мертона оцінки вартості опціонів

Модель Мертона оцінки вартості опціонів є узагальненням формули Блека-Шоулза для оцінки вартості Європейських опціонів на акції чи індекси акцій які виплачують відомий потік дивідендів. Потік має бути виражений у вигляді річної неперервної ставки ${\displaystyle q}$.

Формула

Вартість кол-опціону, ${\displaystyle C(S,T-t)}$, чи опціону пут ${\displaystyle P(S,T-t)}$ обчислюється за формулою:

${\displaystyle C(S,T-t)=S~e^{-q(T-t)}\Phi (d_{1})-\Phi (d_{2})~Ke^{-r(T-t)}\,}$

${\displaystyle P(S,T-t)=\Phi (d_{2})~Ke^{-r(T-t)}-S~e^{-q(T-t)}\Phi (d_{1})\,}$

де

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln({\frac {S}{K}})+(r-q+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln({\frac {S}{K}})+(r-q-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}.}$

Тут, log позначає натуральний логарифм, a: ${\displaystyle S}$ - це ціна базової акції; ${\displaystyle K}$ - ; ${\displaystyle r}$ - неперервна безризикова відсоткова ставка; ${\displaystyle q}$ - неперервна річна дивідендна ставка; ${\displaystyle T-t}$ - час до виконання (в роках); ${\displaystyle \sigma }$ - волатильність базової акції; ${\displaystyle \Phi }$ - функція розподілу стандартної нормальної випадкової величини.

Греки

Грецькі показники — дельта (${\displaystyle \Delta }$), гамма(${\displaystyle \Gamma }$), вега (${\displaystyle \nu }$), тета (${\displaystyle \Theta }$) і ро (${\displaystyle \mathrm {P} }$) для кол-опціону знаходяться за формулою:

${\displaystyle \Delta =e^{-q(T-t)}\Phi (d_{1})}$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\varphi (d_{1})e^{-q(T-t)}}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}}$

${\displaystyle \nu =Se^{-q(T-t)}N(d_{1}){\sqrt {T-t}}}$

${\displaystyle \Theta =-{\frac {S\varphi (d_{1})e^{-q(T-t)}\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+qSe^{-q(T-t)}\Phi (d_{1})-rKe^{-r(T-t)}\Phi (d_{2})}$

${\displaystyle \mathrm {P} =K(T-t)e^{-r(T-t)}\Phi (d_{2})}$

де ${\displaystyle \varphi }$ позначає щільність нормального розподілу. Греки для опціону пут обчислюються:

${\displaystyle \Delta =e^{-q(T-t)}(\Phi (d_{1})-1)}$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\varphi (d_{1})e^{-q(T-t)}}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}}$

${\displaystyle \nu =Se^{-q(T-t)}N(d_{1}){\sqrt {T-t}}}$

${\displaystyle \Theta =-{\frac {S\varphi (d_{1})e^{-q(T-t)}\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+qSe^{-q(T-t)}\Phi (d_{1})-rKe^{-r(T-t)}\Phi (d_{2})}$

${\displaystyle \mathrm {P} =-K(T-t)e^{-r(T-t)}\Phi (-d_{2})}$

Недоліки формули Мертона

Недоліком формули Мертона є припущення, що дивіденди виплачуються неперервно. Для фондового індексу, це недосконале, але зазвичай розумне припущення. А для звичайних акцій, які зазвичай виплачують дивіденди два рази на рік, це припущення далеке від дійсності. Річна прибутковість акції не має значення. Величина ${\displaystyle q}$ повинна відображати потік дивідендів, які мають бути здійснені до кінця терміну дії опціону. Якщо дивіденди за акцією не виплачуються до закінчення терміну дії опціону, то ${\displaystyle q=0}$. В іншому випадку можна обчислити дивідендну прибутковість акції до закінчення терміну дії і перераховувати відповідну річну прибутковість.

Ще однією проблемою є той факт, що модель припускає, що дивідендна прибутковість є відомою і незмінною до закінчення терміну дії опціону. Насправді час виплати дивідендів протягом терміну дії може бути відомим, але сума платежу наперед не відома.

Див. також

• Модель Блека-Шоулза

Посилання

• Merton (1973) Option Pricing Formula. Архів оригіналу за 21 липня 2013. Процитовано 8 березня 2012.

Джерела

• Merton, Robert C. (1973). Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics and Management Science, 4 (1), 141-183. (англ.)