Модель Дебая

У термодинаміці і фізиці твердого тіла модель Дебая — метод, розвинений Дебаєм в 1912 р. для оцінки фононного внеску до теплоємності твердого тіла. Модель Дебая розглядає коливання кристалічної ґратки як газ квазічастинок (фононів) у ящику, на відміну від моделі Ейнштейна, яка інтерпретує тверде тіло як набір багатьох окремих невзаємодіючих квантових гармонічних осциляторів). Ця модель точніше передбачає залежність теплоємності за низьких температур як такої, що пропорційна ${\displaystyle T^{3}}$ — так званий закон Дебая. У граничному випадку високих температур величина теплоємності за моделлю Дебая збігається з результатом моделі Ейнштейна, прямуючи до ${\displaystyle 3R}$, відповідно до закону Дюлонга — Пті. Однак за проміжних температур точність моделі Дебая зменшується внаслідок її певних спрощувальних припущень.

Молярна теплоємність твердого тіла в теорії Дебая

У моделі Дебая враховано, що теплоємність твердого тіла це параметр рівноважного стану термодинамічної системи. Тому хвилі, що збуджуються в твердому тілі елементарними осциляторами, не можуть переносити енергію. Тобто вони є стоячими хвилями [1]. Якщо тверде тіло вибрати у вигляді прямокутного паралелепіпеду з ребрами a, b, c, то умови існування стоячих хвиль можна записати у вигляді:

n₁·λ_x/2=a; (1)

n₂·λ_y/2=b; (2)

n₃·λ_z/2=c; (3)

(n₁, n₂, n₃ — цілі числа)

Перейдемо до простору, побудованого на хвильових векторах. Оскільки

K=2π/λ, (4)

то

K_x=2π/λ_x=π·n₁/a; (5)

K_y=2π/λ_y=π·n₂/b; (6)

K_z=2π/λ_z=π·n₃/c (7)

Таким чином, у твердому тілі можуть існувати осцилятори, з частотами, що змінюються дискретно. Одному осцилятору в К-просторі відповідає комірка з об'ємом

τ=∆K_x·∆K_y·∆K_z=${\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{a\cdot b\cdot c}}={\frac {\pi ^{3}}{V}}}$, (8)

де

∆K_x=π/a; (9)

∆K_y=π/b; (10)

∆K_z=π/c (11)

В к-просторі осциляторам з частотами в інтервалі (ω, ω+dω) відповідає один октант сферичного шару з об'ємом

dV_k=4πK²dK/8=πK²dK/2 (12)

В цьому об'ємі кількість осциляторів дорівнює

dN_k=dV_k/τ=${\displaystyle {\frac {VK^{2}dK}{2\pi ^{2}}}}$ (13)

Врахуємо, що кожен осцилятор генерує 3 хвилі: 2 поперечні та одну поздовжню. При цьому

K_||=ω/v_||, (14)

K_⊥=ω/v_⊥ (15)

Знайдемо внутрішню енергію одного молю твердого тіла ${\displaystyle U_{M}}$. Для цього обчислимо кількість коливань, що відповідають поздовжнім і поперечним хвилям.

${\displaystyle dN_{k}=dN_{\|}+2dN_{\bot }}$ (16)

${\displaystyle dN_{\|}={\frac {V}{2\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}d\omega }{v_{\|}^{3}}}}$ (17)

${\displaystyle dN_{\bot }={\frac {V}{2\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}d\omega }{v_{\bot }^{3}}}}$ (18)

${\displaystyle dN_{k}={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {1}{v_{\|}^{3}}}+{\frac {2}{v_{\bot }^{3}}}\right)\omega ^{2}d\omega =A\omega ^{2}d\omega }$ (19)

Тому ${\displaystyle U_{M}}$ дорівнює

${\displaystyle U_{M}=\int _{0}^{\omega _{m}}<\varepsilon >{\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {1}{v_{\|}^{3}}}+{\frac {2}{v_{\bot }^{3}}}\right)\omega ^{2}d\omega ,}$ (20)

де <є> — середня енергія квантового осцилятора (див. Модель теплоємності Ейнштейна).

Коливання у твердому тілі обмежені максимальним значенням частоти ${\displaystyle \omega _{m}}$. Визначимо граничну частоту з умови:

${\displaystyle N=\int dN_{k}=\int _{0}^{\omega _{m}}A\omega ^{2}d\omega =A{\frac {\omega _{m}^{3}}{3}}=3N_{a}}$ (21)

${\displaystyle dN_{k}=9N_{a}{\frac {\omega ^{2}d\omega }{\omega _{m}^{3}}}}$ (22)

Звідси:

${\displaystyle U_{M}=\int <\varepsilon >dN_{k}=\int _{0}^{\omega _{m}}\hbar \omega \left({\frac {1}{e^{\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)9N_{a}{\frac {\omega ^{2}d\omega }{\omega _{m}^{3}}}}$ (23)

Кв — постійна Больцмана.

Na — число Авогадро.

В останньому виразі зробимо наступну заміну змінних:

${\displaystyle X={\frac {\hbar \omega }{K_{B}T}}}$; (24)

${\displaystyle {\frac {\hbar \omega _{m}}{K_{B}}}=\Theta }$; (25)

${\displaystyle X_{m}={\frac {\hbar \omega _{m}}{K_{B}T}}=\Theta /T}$; (26)

${\displaystyle {\frac {\omega }{\omega _{m}}}=X{\frac {K_{B}T}{\hbar }}{\frac {\hbar }{K_{B}\Theta }}=X{\frac {T}{\Theta }}=X{\frac {K_{B}T}{\hbar \omega _{m}}}}$ (27)

Θ — температура Дебая

Тепер для U_M отримуємо

${\displaystyle U_{M}=9N_{a}\hbar \int _{0}^{\omega _{m}}\left({\frac {1}{e^{x}-1}}+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\omega ^{3}d\omega }{\omega _{m}^{3}}}=9N_{a}\hbar \left({\frac {T}{\theta }}\right)^{3}{\frac {K_{B}T}{\hbar }}\int _{0}^{\frac {\theta }{T}}\left({\frac {1}{e^{x}-1}}+{\frac {1}{2}}\right)x^{3}dx=}$

${\displaystyle =9RT\left({\frac {T}{\theta }}\right)^{3}\int _{0}^{\frac {\theta }{T}}({\frac {1}{e^{x}-1}}+{\frac {1}{2}})x^{3}dx=9R\theta \left[{\frac {1}{8}}+\left({\frac {T}{\theta }}\right)^{4}\int _{0}^{\frac {\theta }{T}}{\frac {x^{3}dx}{e^{x}-1}}\right]}$ (28)

Нарешті для молярної теплоємності отримуємо

C=dU_M/dT=3R${\displaystyle \left[12{\left({\frac {T}{\Theta }}\right)}^{3}\int _{0}^{\Theta /T}{\frac {X^{3}}{e^{X}-1}}dX-{\frac {3\Theta /T}{e^{\Theta /T}-1}}\right]}$ (29)

Легко перевірити, що за умови T→∞

C→3R, (30)

а за умови T→0

C→${\displaystyle {\frac {12R\cdot \pi ^{4}}{5\cdot \Theta ^{3}}}\cdot T^{3}}$~T³ (31)

Таким чином, теорія Дебая відповідає результатам дослідів.

Інтеграл Бозе-Ейнштейна

Обчислимо для повноти викладу визначений інтеграл [ 7 серпня 2019 у Wayback Machine.]

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }{\frac {X^{3}}{e^{X}-1}}dX={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$ (32)

Позначимо

${\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{\infty }{\frac {X^{3}}{e^{nX}}}dX={\frac {6}{n^{4}}}}$ (33)

Можна показати, що

${\displaystyle I-I_{1}=\int _{0}^{\infty }{\frac {X^{3}dX}{e^{2X}-e^{X}}}\approx I_{2}}$ (34)

Аналогічно

${\displaystyle I-I_{1}-I_{2}\approx I_{3}}$ (35)

При збільшенні кількості доданків до нескінченності отримуємо

${\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}=6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}}$ (36)

Знайдемо суму ряду з використанням теореми Парсеваля. Для цього розкладемо функцію

${\displaystyle y=x^{2}}$ (37)

в ряд Фур'є на інтервалі ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$. Коефіцієнти розкладу дорівнюють

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx=\pi ^{2}/3}$ (38)

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}e^{inx}dx=2(-1)^{n}/n^{2},n\neq 0}$ (39)

Таким чином

${\displaystyle a_{0}^{2}=\pi ^{4}/9}$ (40)

і

${\displaystyle a_{n}^{2}=4/n^{4},n\neq 0}$ (41)

Згідно теореми Парсеваля

${\displaystyle \pi ^{4}/9+8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{4}dx=\pi ^{4}/5}$ (42)

Спрощуючи останній вираз, отримуємо остаточно

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{8}}(1/5-1/9)=\pi ^{4}/90}$ (43)

Література

• Погорєлов В. Є., Слободянюк О. В., Єщенко О. А., Конділенко О. І., Шутов Б. М. Фізичний практикум (Частина II. Молекулярна Фізика). — К. : ВПЦ "Київський університет", 2004. — 120 с.
• Пінкевич І. П., Сугаков В. Й. Теорія твердого тіла. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2006. — 333 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. — М. : Наука, 1978. — 792 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1 // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2005. — Т. 5. — 616 с.