Модель Ізінга

Модель Ізінга — модель статистичної системи, в якій можуть спостерігатися фазові переходи.

В моделі Ізінга «частинки» розташовані у вузлах регулярної ґратки і можуть перебувати в одному з двох станів. Кожну з них можна описати параметром, який умовно називають «спіном» і позначають S. Спін має значення +1 в одному з станів, і значення −1 в іншому. Частинки у різних вузлах ґратки взаємодіють між собою, причому енергія цієї взаємодії залежить від взаємної орієнтації «спінів». Повна енергія системи записується у вигляді:

${\displaystyle E=-\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}\,}$

Зазвичай при розгляді моделі Ізінга обмежуються найближчими сусідами, тому енергію можна записати, як

${\displaystyle E=-J\sum _{ij}S_{i}S_{j}\,}$.

При додатних значеннях параметра J найменшу енергію має стан із паралельними спінами — усі спіни однинакові. Цей стан аналогічний феромагнітному.

При J < 0 найменшу енергію має антиферомагнітний стан з чергуванням спінів +1 та −1.

Ймовірність реалізації кожного конкретного розподілу ${\displaystyle \{S_{i}\}}$ визначається його енергією і температурою.

${\displaystyle P=e^{-E/k_{B}T}}$,

де P — ймовірність, T — температура, а ${\displaystyle k_{B}}$ — стала Больцмана.

При малій температурі ймовірність реалізації стану з найнижчою енергією найбільша, тобто система перебуватиме у впорядковому стані — феромагнітному або антиферомагнітному. При збільшенні температури ймовірності реалізації станів з різною енергією вирівнюються й більшу вагу має кількість різних мікростанів, які мають дану енергію, тобто ентропія. Ця кількість більша для невпорядкованих станів. При певній температурі можливий фазовий перехід.

Зовнішнє поле

Фазовий перехід можливий також в залежності від зовнішнього «магнітного поля». В такому полі енергія задається формулою

${\displaystyle E=-\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-h\sum _{i}S_{i}\,}$,

де h — напруженість поля. Таким чином можна досліджувати поведінку системи не лише в залежності від температури, а також в залежності від зовнішніх факторів.

Розв'язки

Для двовимірної системи модель Ізінга має точний аналітичний розв'язок, отриманий Ларсом Онсагером.

Історія

Модель отримала свою назву від прізвища німецького вченого . Ізінг досліджував одновимірний випадок і показав, що в цьому випадку фазового переходу не існує. Звідси він зробив неправильний висновок, що фазового переходу не існує в системі з довільним числом вимірів. Подальші дослідження показали, що фазовий перехід існує для нескінченної ґратки у двовимірному випадку і для будь-якого числа вимірів, більшого за двійку.

Література

• Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. — М. : Мир, 1985. — 488 с.
• Сазерленд Б. Замечательные модели. — Ижевск : РХД, 2008. — 388 с.
• Цвелик А. М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. — М. : Физматлит, 2004. — 320 с.
• Stepanov I. A. Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models. – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118 - 122. The paper is on the Journal’s website with a free access.