Многочлен HOMFLY

У математичній теорії вузлів многочлен HOMFLY або многочлен HOMFLYPT (іноді, узагальнений многочлен Джонса) — многочлен вузла з 2 змінними, тобто інваріант вузла у формі многочлена змінних m і l.

Центральним питанням математичної теорії вузлів є те, чи дві (діаграми вузлів) представляють один і той самий вузол. Один із інструментів для відповідей на такі запитання — многочлен вузла: його обчислюють за діаграмою вузла і можна показати, що він є інваріантом вузла, тобто діаграми, що представляють той самий вузол, мають однаковий многочлен. Обернене може бути хибним. Многочлен HOMFLY є одним із таких інваріантів, він узагальнює два раніше відкриті многочлени, многочлен Александера та многочлен Джонса, які можна отримати з HOMFLY відповідними замінами. Многочлен HOMFLY також є квантовим інваріантом.

Назва HOMFLY поєднує в собі ініціали його співвідкривачів: (Jim Hoste), ^[de], ^[en], ^[en], ^[en] та Девіда Єттера (David N. Yetter). Додаток PT вказує на незалежний внесок ^[en] і Павла Трачика (Paweł Traczyk).

Визначення

Многочлен визначають за допомогою скейн-співвідношення:

${\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}$

${\displaystyle P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).}$

де ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$ — зачеплення, утворені перетином та згладжуванням у локальній ділянці діаграми зачеплення, як показано на малюнку.

Многочлен HOMFLY зачеплення L, яка є розділеним об'єднанням двох зачеплень ${\displaystyle L_{1}}$ і ${\displaystyle L_{2}}$ має вигляд

${\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}$

На сторінці про скейн-співвідношення є приклад обчислення з використанням таких співвідношень.

Інші скейн-співвідношення HOMFLY

Цей многочлен можна також отримати, використовуючи інші скейн-співвідношення:

${\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0}),\,}$

${\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0,\,}$

Основні властивості

${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}$де # позначає суму вузлів; таким чином, поліном HOMFLY складеного вузла є добутком многочленів HOMFLY його компонентів.

${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{{\text{Mirror Image}}(K)}(\ell ^{-1},m),\,}$тому многочлен HOMFLY часто можна використати для розрізнення двох вузлів різної хіральності. Однак існують хіральні пари вузлів, які мають однаковий многочлен HOMFLY, наприклад вузли 9₄₂ і 10₇₁ разом із відповідними дзеркальними зображеннями.

Многочлен Джонса, V (t), і многочлен Александера, ${\displaystyle \Delta (t)\,}$ можна обчислити через многочлен HOMFLY (версія зі змінними ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle z}$):

${\displaystyle V(t)=P(\alpha =t^{-1},z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}$

${\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,}$

Примітки

1. Freyd, P.; Yetter, D.; Hoste, J.; Lickorish, W.B.R.; Millett, K.; Ocneanu, A. (1985). A New Polynomial Invariant of Knots and Links. Bulletin of the American Mathematical Society. 12 (2): 239—246. doi:10.1090/S0273-0979-1985-15361-3.
2. Józef H. Przytycki; Paweł Traczyk (1987). Invariants of Links of Conway Type. Kobe J. Math. 4: 115—139. arXiv:1610.06679.
3. Ramadevi, P.; Govindarajan, T.R.; Kaul, R.K. (1994). Chirality of Knots 942 and 1071 and Chern-Simons Theory. Modern Physics Letters A. 09 (34): 3205—3217. arXiv:hep-th/9401095. Bibcode:1994MPLA....9.3205R. doi:10.1142/S0217732394003026.

Література

• ^[en], Formal knot theory, Princeton University Press, 1983.
• ^[en] An Introduction to Knot Theory. Спрингер.ISBN .

Посилання

• «Jones-Conway polynomial», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. Многочлен HOMFLY(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• The HOMFLY-PT Polynomial, The Knot Atlas.