Метод ізоспектральної деформації

Метод ізоспектральної деформації — метод інтегрування нелінійних еволюційних рівнянь. Був відкритий у 1967 році.

Сутність методу

Метод ізоспектральної деформації полягає в тому, що інтеграли руху розглядуваної динамічної системи є власними значеннями деякої матриці ${\displaystyle L}$, яка залежить від динамічних змінних цієї системи. Природа цієї залежності така, що спектр матриці для будь-якого рішення рівнянь руху від часу не залежить. Таким чином, у процесі еволюції динамічної системи ця матриця зазнає ізоспектральну деформацію. Власні ж значення матриці, розглядувані як функціонали від змінних динамічної системи, представляють інтеграли руху.

Усі відомі системи такого типу пов'язані із алгебрами Лі й у всіх відомих випадках їх інтегровуваність обумовлена наявністю суперсиметрії.

Визначення

Розгляньмо клас матриць, наприклад, усіх матриць Якобі вигляду

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}0&a_{1}&0&&0&\\a_{1}&0&a_{2}&&&&\\.&.&.&&&&\\&.&.&.&&&\\&&.&.&.&\\&&&.&.&a_{-1}\\&&0&&a_{n-1}&0\end{pmatrix}}}$

із додатними елементами ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n-1}.}$ Їх власні значення дійсні або прості. Потрібно віднайти усі матриці цього класу, які мають однаковий спектр. Можна подумати, що наявних параметрів недостатньо, але оскільки

${\displaystyle K^{-1}LK=-L}$ при ${\displaystyle K=\mathrm {diag} (1,-1,+1,...),}$

для характеристичного многочлена

${\displaystyle \Delta _{n}(\lambda )=\mathrm {det} (\lambda I-L)}$

маємо співвідношення

${\displaystyle \Delta _{n}(\lambda )=(-1)^{n}\Delta _{n}(-\lambda ).}$

Відповідно, разом із ${\displaystyle \lambda }$ також і ${\displaystyle -\lambda }$ є власним значенням, ${\displaystyle \lambda =0}$ буде власним значенням за неперного ${\displaystyle n.}$ Таким чином, фіксування власних значень накладає ${\displaystyle [n/2]}$ умов, і розмірність простору ізоспектральних матриць виявляється рівною ${\displaystyle n-[n/2].}$

Для отримання ізоспектральних деформацій Лакс розглядував диференціальні рівняння у формі

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}L=BL-LB,}$

де ${\displaystyle L=L(t),\,\,t}$ - параметр деформації. Матриця ${\displaystyle B}$ повинна бути підібрана так, щоб комутатор ${\displaystyle [B,L]}$ мав нулі усюди за винятком елементів на двох діагоналях, які повинні співпадати. У даному випадку в якості одного з можливих варітанів знаходиться кососиметрична матриця

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}0&0&a_{1}a_{2}&0&&&\\0&0&0&a_{2}a_{3}&&\\-a_{1}a_{2}&0&...&...&&&\\&&&&0&a_{n-2}a_{n-1}\\&&&0&0&0\\&&&-a_{n-2}a_{n-1}&0&0\end{pmatrix}},}$

для якої диференціальне рівняння ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}L=BL-LB}$ приймає вигляд

${\displaystyle {\dot {a}}_{k}=a_{k}(a_{k+1}^{2}-a_{k-1}^{2}),\quad \quad k=1,2,...,n-1,}$

де формально ${\displaystyle A_{0}=0=a_{n}.}$

Диференціальне рівняння ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}L=BL-LB}$ приводить до ізоспектральних деформацій.

Якщо вирішувати диференціальне рівняння

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}U=BU,\quad \quad U(0)=I,}$

то ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}L=BL-LB,}$ гарантує, що

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(U^{-1}LU)=0,}$

відповідно,

${\displaystyle U^{-1}LU=L(0).}$

Таким чином, власні значення ${\displaystyle L}$ залишаються сталими під дією цієї деформації. Коефіцієнти ${\displaystyle I_{k}}$ характеристичного поліному

${\displaystyle \Delta _{n}(\lambda )=\lambda ^{n}+I_{1}\lambda ^{n-1}+...+I_{n}}$

також є інтегралами руху, поліноміальними по ${\displaystyle a_{1}^{2},a_{2}^{2},...,a_{n-1}^{2}.}$

Приклад

Нехай є інтегрована система ${\displaystyle n}$ взаємодіючих частинок у стандартному конфігураційному просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Такі системи описуються гамільтоніаном

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}p_{j}^{2}+g^{2}\sum _{j<k}v(q_{j}-q_{k}),\quad \quad p_{j},q_{k}\in \mathbb {R} ^{n}.}$

У просторі двох й більшого числа вимірів відома лише одна система- система ${\displaystyle n}$ взаємодіючих осциляторів:

${\displaystyle v(q)={\frac {1}{2}}\omega ^{2}q^{2}.}$

Після уведення координат Якобі така система зводиться до системи ${\displaystyle n-1}$ частинки, яка рухається незалежно у загальному осциляторному потенціалі.

Нехай система ${\displaystyle n}$ частинок має одиничну масу, які знаходяться на прямій і попарно взаємодіють одна із одною. Така система описується гамільтоніаном

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}p_{j}^{2}+g^{2}\sum _{j<k}v(q_{j}-q_{k}).}$

Підберемо потенцал ${\displaystyle v(q)}$ таким чином, щоб розглядувана система мал додаткові інтеграли руху. Припустимо, нам вдалося віднайти пару матриць ${\displaystyle L,B}$, які залежать від динамічних змінних ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle q}$ (пара Лакса), так що рівняння Гамільтона

${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}},\quad \quad {\dot {q}}_{j}=p_{j}}$

є еквівалентними матричному рівнянню

${\displaystyle i{\dot {L}}=[B,L].}$

Така форма запису називається представленням Лакса. Звідси слідує, що матриця ${\displaystyle L(t)}$ зазнає перетворення подібності

${\displaystyle L(t)=u(t)L(0)u^{-1}(t),\quad \quad B=i{\dot {u}}u^{-1}.}$

При цьому матриця ${\displaystyle B}$ є еміртовою, матриця ${\displaystyle u}$ унітарна ${\displaystyle u^{-1}=u^{+}.}$ Відповідно, власні значення матриці ${\displaystyle L(t)}$ від часу не залежать, тобто є інтегралами руху; або, іншими словами, матриця ${\displaystyle L(t)}$ із плином часу зазнаєізоспектральну деформацію. При цьому в якості інтегралів руху часто буває зручно використовувати не власні значення ${\displaystyle L(t)}$, а симетричні функції від них, наприклад величини

${\displaystyle I_{k}=k^{-1}\,\mathrm {tr} (L^{k}).}$

Якщо з допомогою такого прийому вдається віднайти ${\displaystyle n}$ функціонально незалежних інтегралів руху й показати, що усі вони знаходяться у інволюції, то розглядувана система є цілком інтегровуваною.

Див.також

• Рівняння синус-Ґордона
• Рівняння Кортевега де Фріза

Джерела

1. Gardner C., Greene J., Kruskal M., Miture R. // Phys.Rev.Lett. - 1967. - V19. - P.1921.
2. Мозер Ю. - Интегрируеміе гамильтонові системы и спектральная теория.
3. А.М.Переломов - Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли.