Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

У математиці метод чергування Шварца або процес чергування це ітеративний метод запроваджений у 1869 1870 рр Германом Шв

Метод чергування Шварца

Метод чергування Шварца

У математиці метод чергування Шварца або процес чергування - це ітеративний метод, запроваджений у 1869-1870 рр. Германом Шварцом у теорії конформного відображення . При даних двох площинах,що накладаючись утворюються деяку складну площину, у кожній з яких можна було вирішити задачу Діріхле, Шварц описав ітеративний метод розв’язання задачі Діріхле в їх об'єднанні за умови, що їх перетин відповідає певному ряду вимог. Це був один із декількох методі побудови конформного відображення, розроблений Шварцом як внесок у задачу , поставлену Ріманом у 1850-х роках і вперше точно розв'язати дану задачу змогли та Пуанкаре в 1907 році. Розв'язок містив схему для уніфікації об'єднання двох регіонів,якщо відомо, як уніфікувати кожну з них окремо, за умови, що їх перетин був топологічно диском або кільцем. З 1870 року також сприяв цій теорії.

У 1950-х роках метод Шварца був узагальнений в теорії часткових диференціальних рівнянь до ітеративного методу пошуку розв'язку для еліптичної крайової задачі на області, яка є об'єднанням двох площин, що перекриваються. Він включає вирішення крайової задачі на кожному з двох окремих об'єктів (площин) по черзі, при цьому останні отриманні значення кожної ітерації стають граничними умовами для наступної. Він використовується в чисельному аналізі під назвою мультиплікативний метод Шварца (на противагу адитивному методу Шварца ) як метод декомпозиції задачі .

Історія

image
Оригінальний логотип DDM: представлення проблеми, розглянутої Х.А. Шварцом у 1870 році. Синій прямокутник спочатку був квадратним

Вперше ця задача була сформульований Г. А. Шварцом і вона ж послужила теоретичним інструментом для наближення до загального розв'язку другого порядку,сам розв'язок було вперше доведено значно пізніше, у 1951 році, .

Алгоритм

Оригінальна задача, яку розглядав Шварц, була задача Діріхле (з рівнянням Лапласа ) щодо області, що складається з кола і частково накладається із квадратом. Щоб вирішити задачу Діріхле на одному з двох об'єктів (квадрат або коло), значення рішення має бути відоме на кордоні : оскільки частина межі міститься в іншому об'єкті, задачу Діріхле необхідно вирішити спільно на двох одночасно. Через це введено ітеративний алгоритм:

  1. Зробити першу спробу вгадати розв’язок на дузі кола, яка міститься у квадраті
  2. Розв'язати задачу Діріхле на колі
  3. Використати рішення в (2) для наближення розв’язку на межі квадрата
  4. Розв’язати задачу Діріхле на квадраті
  5. Використати розв'язок у (4) для наближення рішення до межі кола, а потім перейти до кроку (2).

При наближенні розв'язків до перекритої частини,вони будуть однакові чи ми почали з квадрата чи з кола.

Оптимізовані методи Шварца

Швидкість зближення залежить як від величини перекриття між об'єктами, так і від граничних умов задачі. Підвищити швидкість зближення методів Шварца можна, вибравши відповідні граничні умови: ці методи називають оптимізованими методами Шварца.

Див. також

Примітки

  1. See his paper (Schwarz, 1870b)
  2. See the paper (Mikhlin, 1951): a comprehensive exposition was given by the same author in later books
  3. Gander, Martin J.; Halpern, Laurence; Nataf, Frédéric (2001), Optimized Schwarz Methods, 12th International Conference on Domain Decomposition Methods

Список літератури

Оригінальні джерела

  • (1869), Über einige Abbildungsaufgaben, J. Reine Angew. Math., 1869 (70): 105—120, doi:10.1515/crll.1869.70.105
  • (1870a), Über die Integration der partiellen Differentialgleichung ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0 unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitbedingungen, Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin: 767—795
  • (1870b), Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren, Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 15: 272—286, JFM 02.0214.02
  • Neumann, Carl (1870), Zur Theorie des Potentiales, Math. Ann., 2 (3): 514, doi:10.1007/bf01448242
  • Neumann, Carl (1877), Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential, Teubner
  • Neumann, Carl (1884), Vorlesungen über Riemann's Theorie der abelschen Integrale (вид. 2nd), Teubner

Конформне відображення та гармонічні функції

  • Nevanlinna, Rolf (1939), Über das alternierende Verfahren von Schwarz, J. Reine Angew. Math., 180: 121—128
  • Nevanlinna, Rolf (1939), Bemerkungen zum alternierenden Verfahren, Monatshefte für Mathematik und Physik, 48: 500—508, doi:10.1007/bf01696203
  • Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, т. 64, Springer
  • Sario, Leo (1953), Alternating method on arbitrary Riemann surfaces, Pacific J. Math., 3 (3): 631—645, doi:10.2140/pjm.1953.3.631
  • Morgenstern, Dietrich (1956), Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion, Z. Angew. Math. Mech., 36 (7–8): 255—256, doi:10.1002/zamm.19560360711
  • Cohn, Harvey (1980), Conformal mapping on Riemann surfaces, Dover, с. 242—262, ISBN  Cohn, Harvey (1980), Conformal mapping on Riemann surfaces, Dover, с. 242—262, ISBN  , Розділ 12, Порядок чергування
  • Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Harmonic Measure, Cambridge University Press, ISBN  Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Harmonic Measure, Cambridge University Press, ISBN 
  • Freitag, Eberhard (2011), Complex analysis. 2. Riemann surfaces, several complex variables, abelian functions, higher modular functions, Springer, ISBN  Freitag, Eberhard (2011), Complex analysis. 2. Riemann surfaces, several complex variables, abelian functions, higher modular functions, Springer, ISBN 
  • de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformization of Riemann Surfaces: revisiting a hundred-year-old theorem, European Mathematical Society, doi:10.4171/145, ISBN  de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformization of Riemann Surfaces: revisiting a hundred-year-old theorem, European Mathematical Society, doi:10.4171/145, ISBN  , переклад французького тексту
  • Chorlay, Renaud (2007), L'émergence du couple local-global dans les théories géométriques, de Bernhard Riemann à la théorie des faisceaux (PDF), с. 123—134 (цитується в де-Сен-Жерве)
  • Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Hidden Harmony—Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN  Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Hidden Harmony—Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 

PDE та чисельний аналіз

  • (1951), On the Schwarz algorithm, , n. Ser. (Russian) , 77: 569—571, MR 0041329, Zbl 0054.04204

Зовнішні посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

U matematici metod cherguvannya Shvarca abo proces cherguvannya ce iterativnij metod zaprovadzhenij u 1869 1870 rr Germanom Shvarcom u teoriyi konformnogo vidobrazhennya Pri danih dvoh ploshinah sho nakladayuchis utvoryuyutsya deyaku skladnu ploshinu u kozhnij z yakih mozhna bulo virishiti zadachu Dirihle Shvarc opisav iterativnij metod rozv yazannya zadachi Dirihle v yih ob yednanni za umovi sho yih peretin vidpovidaye pevnomu ryadu vimog Ce buv odin iz dekilkoh metodi pobudovi konformnogo vidobrazhennya rozroblenij Shvarcom yak vnesok u zadachu postavlenu Rimanom u 1850 h rokah i vpershe tochno rozv yazati danu zadachu zmogli ta Puankare v 1907 roci Rozv yazok mistiv shemu dlya unifikaciyi ob yednannya dvoh regioniv yaksho vidomo yak unifikuvati kozhnu z nih okremo za umovi sho yih peretin buv topologichno diskom abo kilcem Z 1870 roku takozh spriyav cij teoriyi U 1950 h rokah metod Shvarca buv uzagalnenij v teoriyi chastkovih diferencialnih rivnyan do iterativnogo metodu poshuku rozv yazku dlya eliptichnoyi krajovoyi zadachi na oblasti yaka ye ob yednannyam dvoh ploshin sho perekrivayutsya Vin vklyuchaye virishennya krajovoyi zadachi na kozhnomu z dvoh okremih ob yektiv ploshin po cherzi pri comu ostanni otrimanni znachennya kozhnoyi iteraciyi stayut granichnimi umovami dlya nastupnoyi Vin vikoristovuyetsya v chiselnomu analizi pid nazvoyu multiplikativnij metod Shvarca na protivagu aditivnomu metodu Shvarca yak metod dekompoziciyi zadachi IstoriyaOriginalnij logotip DDM predstavlennya problemi rozglyanutoyi H A Shvarcom u 1870 roci Sinij pryamokutnik spochatku buv kvadratnim Vpershe cya zadacha bula sformulovanij G A Shvarcom i vona zh posluzhila teoretichnim instrumentom dlya nablizhennya do zagalnogo rozv yazku drugogo poryadku sam rozv yazok bulo vpershe dovedeno znachno piznishe u 1951 roci AlgoritmOriginalna zadacha yaku rozglyadav Shvarc bula zadacha Dirihle z rivnyannyam Laplasa shodo oblasti sho skladayetsya z kola i chastkovo nakladayetsya iz kvadratom Shob virishiti zadachu Dirihle na odnomu z dvoh ob yektiv kvadrat abo kolo znachennya rishennya maye buti vidome na kordoni oskilki chastina mezhi mistitsya v inshomu ob yekti zadachu Dirihle neobhidno virishiti spilno na dvoh odnochasno Cherez ce vvedeno iterativnij algoritm Zrobiti pershu sprobu vgadati rozv yazok na duzi kola yaka mistitsya u kvadrati Rozv yazati zadachu Dirihle na koli Vikoristati rishennya v 2 dlya nablizhennya rozv yazku na mezhi kvadrata Rozv yazati zadachu Dirihle na kvadrati Vikoristati rozv yazok u 4 dlya nablizhennya rishennya do mezhi kola a potim perejti do kroku 2 Pri nablizhenni rozv yazkiv do perekritoyi chastini voni budut odnakovi chi mi pochali z kvadrata chi z kola Optimizovani metodi ShvarcaShvidkist zblizhennya zalezhit yak vid velichini perekrittya mizh ob yektami tak i vid granichnih umov zadachi Pidvishiti shvidkist zblizhennya metodiv Shvarca mozhna vibravshi vidpovidni granichni umovi ci metodi nazivayut optimizovanimi metodami Shvarca Div takozhTeorema unifikaciyi Pohidna Shvarca Karta trikutnika Shvarca Princip vidbittya Shvarca Aditivnij metod ShvarcaPrimitkiSee his paper Schwarz 1870b See the paper Mikhlin 1951 a comprehensive exposition was given by the same author in later books Gander Martin J Halpern Laurence Nataf Frederic 2001 Optimized Schwarz Methods 12th International Conference on Domain Decomposition MethodsSpisok literaturiOriginalni dzherela 1869 Uber einige Abbildungsaufgaben J Reine Angew Math 1869 70 105 120 doi 10 1515 crll 1869 70 105 1870a Uber die Integration der partiellen Differentialgleichung 2u x2 2u y2 0 unter vorgeschriebenen Grenz und Unstetigkeitbedingungen Monatsberichte der Koniglichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin 767 795 1870b Uber einen Grenzubergang durch alternierendes Verfahren Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich 15 272 286 JFM 02 0214 02 Neumann Carl 1870 Zur Theorie des Potentiales Math Ann 2 3 514 doi 10 1007 bf01448242 Neumann Carl 1877 Untersuchungen uber das logarithmische und Newton sche Potential Teubner Neumann Carl 1884 Vorlesungen uber Riemann s Theorie der abelschen Integrale vid 2nd Teubner Konformne vidobrazhennya ta garmonichni funkciyi Nevanlinna Rolf 1939 Uber das alternierende Verfahren von Schwarz J Reine Angew Math 180 121 128 Nevanlinna Rolf 1939 Bemerkungen zum alternierenden Verfahren Monatshefte fur Mathematik und Physik 48 500 508 doi 10 1007 bf01696203 Nevanlinna Rolf 1953 Uniformisierung Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete t 64 Springer Sario Leo 1953 Alternating method on arbitrary Riemann surfaces Pacific J Math 3 3 631 645 doi 10 2140 pjm 1953 3 631 Morgenstern Dietrich 1956 Begrundung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion Z Angew Math Mech 36 7 8 255 256 doi 10 1002 zamm 19560360711 Cohn Harvey 1980 Conformal mapping on Riemann surfaces Dover s 242 262 ISBN 0 486 64025 6 Cohn Harvey 1980 Conformal mapping on Riemann surfaces Dover s 242 262 ISBN 0 486 64025 6 Rozdil 12 Poryadok cherguvannya Garnett John B Marshall Donald E 2005 Harmonic Measure Cambridge University Press ISBN 1139443097 Garnett John B Marshall Donald E 2005 Harmonic Measure Cambridge University Press ISBN 1139443097 Freitag Eberhard 2011 Complex analysis 2 Riemann surfaces several complex variables abelian functions higher modular functions Springer ISBN 978 3 642 20553 8 Freitag Eberhard 2011 Complex analysis 2 Riemann surfaces several complex variables abelian functions higher modular functions Springer ISBN 978 3 642 20553 8 de Saint Gervais Henri Paul 2016 Uniformization of Riemann Surfaces revisiting a hundred year old theorem European Mathematical Society doi 10 4171 145 ISBN 978 3 03719 145 3 de Saint Gervais Henri Paul 2016 Uniformization of Riemann Surfaces revisiting a hundred year old theorem European Mathematical Society doi 10 4171 145 ISBN 978 3 03719 145 3 pereklad francuzkogo tekstu Chorlay Renaud 2007 L emergence du couple local global dans les theories geometriques de Bernhard Riemann a la theorie des faisceaux PDF s 123 134 cituyetsya v de Sen Zherve Bottazzini Umberto Gray Jeremy 2013 Hidden Harmony Geometric Fantasies The Rise of Complex Function Theory Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences Springer ISBN 978 1461457251 Bottazzini Umberto Gray Jeremy 2013 Hidden Harmony Geometric Fantasies The Rise of Complex Function Theory Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences Springer ISBN 978 1461457251 PDE ta chiselnij analiz 1951 On the Schwarz algorithm n Ser Russian 77 569 571 MR 0041329 Zbl 0054 04204Zovnishni posilannyaSolomentsev E D 2001 alternating method Schwarz alternating method u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4

Дата публікації:
Топ