Метод скінченних об'ємів

Метод скінченних об'ємів (МСО) — це чисельний метод інтегрування систем диференціальних рівнянь з частинними похідними. Аналогічно до методів скінченних різниць і скінченних елементів, використовується сітка. Під скінченним об'ємом мається на увазі невеликий об'єм навколо кожної вузлової точки сітки. У цьому методі інтеграли об'єму, які містять вирази з дивергенцією, перетворюються у поверхневі інтеграли за допомогою формули Остроградського. Потім ці вирази оцінюються як поверхневі потоки кожного скінченного об'єму. Оскільки потік, який входить у даний об'єм, є ідентичним до потоку, який виходить із суміжного об'єму, то ці методи є консервативними. Іншою перевагою МСО є те, що він легко формулюється для неструктурованої сітки.

Цей метод використовується в обчислювальній гідродинаміці при моделюванні задач.

Приклад для одновимірного випадку

Розглянемо просту задачу адвекції

${\displaystyle \quad (1)\qquad \qquad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0,}$

де ${\displaystyle \rho =\rho (x,t)}$ — змінна стану, а ${\displaystyle f=f(\rho (x,t))}$ — постійний рух або потік. Умовно, якщо функція f додатна, то потік рухається праворуч, якщо від'ємна — ліворуч. Нехай рівняння (1) відображає поточне середовище у постійній області, тоді цю область x можна розділити на скінченні об'єми або комірки, i — індекси комірок. Для конкретної комірки i середнє значення об'єму обчислюється як:

${\displaystyle \quad (2)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}(t_{1})={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho (x,t_{1})dx}$,

при ${\displaystyle t=t_{2}}$

${\displaystyle \quad (3)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}(t_{2})={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho (x,t_{2})dx}$,

де ${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}}$ та ${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}}$.

Проінтегрувавши рівняння (1), отримаємо:

${\displaystyle \quad (4)\qquad \qquad \rho (x,t_{2})=\rho (x,t_{1})-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}(x,t)dt}$,

де ${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$.

Для отримання середнього значення об'єму ${\displaystyle \rho (x,t)}$ при ${\displaystyle t=t_{2}}$ потрібно проінтегрувати ${\displaystyle \rho (x,t_{2})}$ по об'єму комірки, ${\displaystyle [x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}]}$, та поділити результат на ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}$.

${\displaystyle \quad (5)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}(t_{2})={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\{\rho (x,t_{1})-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}(x,t)dt\}dx}$.

Припускається, що f добре поводиться, і що можна обернути порядок інтегрування. Також варто нагадати, що потік (англ. flow) перпендикулярний до одиниці площі комірки. Тепер, оскільки в одному вимірюванні ${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$, то можна застосувати формулу Остроградського, тобто ${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}fdS}$, і замінити об'ємний інтеграл дивергенції значеннями ${\displaystyle f(x)}$, обчисленими на поверхні комірки (грані ${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}}$ і ${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}}$) скінченного об'єму наступним чином:

${\displaystyle \quad (6)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}(t_{2})={\bar {\rho }}_{i}(t_{1})-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt)}$,

де ${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t)}$.

Таким чином отримуємо напівдискретну числову схему для задачі з i-тими комірками та крайовими їх потоками ${\displaystyle i\pm {\frac {1}{2}}}$. Після диференціювання (6) отримуємо:

${\displaystyle \quad (7)\qquad \qquad {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}]=0}$,

де значення крайових потоків ${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}}$ можуть бути знайдені за допомогою інтерполяції або екстраполяції середніх значень комірок. Формула (7) є точною для середнього значення об'єму.

Також цей метод є застосовним у двовимірному випадку.

Загальний закон збереження

Розглянемо задачу загального закону збереження, подану у вигляді диференціального рівняння з частинними похідними:

${\displaystyle \quad (8)\qquad \qquad {{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }({\mathbf {u} })={\mathbf {0} }}$,

де ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$ — вектор стану, а ${\displaystyle \mathbf {f} }$ — тензор потоку. Так само ділимо область на скінченні об'єми або комірки. Для конкретної i-тої комірки беремо інтеграл об'єму по всьому об'єму комірки ${\displaystyle v_{i}}$:

${\displaystyle \quad (9)\qquad \qquad \int _{v_{i}}{{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }({\mathbf {u} })dv={\mathbf {0} }}$.

Проінтегрувавши першу складову для отримання середнього значення об'єму та застосувавши формулу Остроградського до другої складової формули, отримаємо

${\displaystyle \quad (10)\qquad \qquad v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }({\mathbf {u} })\cdot {\mathbf {n} }dS={\mathbf {0} }}$,

де ${\displaystyle S_{i}}$ — площа поверхні комірки, а ${\displaystyle {\mathbf {n} }}$ — вектор нормалі. Зрештою можна отримати загальний результат, еквівалентний (8):

${\displaystyle \quad (11)\qquad \qquad {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }({\mathbf {u} })\cdot {\mathbf {n} }dS={\mathbf {0} }}$.

Значення крайових потоків можуть бути знайдені за допомогою інтерполяції або екстраполяції. Фактично, чисельна схема залежить від принципу побудови сітки.

Консервативність схеми скінченних об'ємів полягає в тому, що середнє значення комірок змінюється через крайові потоки. Іншими словами, втрата однієї комірки призводить до створення нової.

Див. також

• Метод скінченних елементів
• Метод скінченних різниць
• Обчислювальна гідродинаміка
• Рідина
• Формула Остроградського

Примітки

1. LeVeque, Randall (2002). . ISBN . Архів оригіналу за 23 жовтня 2020. Процитовано 20 квітня 2020.

Посилання

• by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Rübenkönig, Oliver. . Архів оригіналу за 2 жовтня 2009., теекст доступний під вільною ліцензією GFDL.
• FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python from NIST.
• CLAWPACK: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach
• Кухарський В. М., Савула Я. Г., Головач Н. П. Стабілізація розв'язків задач адвекції-дифузії з великими числами Пекле, отриманих засобами методу скінченних елементів // Моделювання та інформаційні технології. — 2002. — Вип. 15. — С. 3-14. ЛНУ ім. Івана Франка

Джерела

• Eymard, R. Gallouët, T. R. Herbin, R. (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
• Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
• Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
• Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
• Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.