Матриця угрупування

Матриця групування^[] — лінеаризація рівнянь Лотки — Вольтерри в стаціонарній точці. Дійсна частина власних чисел матриці групування визначає стабільність у стаціонарній точці.

Рівняння Лотки — Вольтерри мають такий вигляд:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=x(\alpha -\beta y)\\{\frac {dy}{dt}}&=-y(\gamma -\delta x),\end{aligned}}}$

де x(t) визначає кількість хижаків, y(t) — кількість жертв, і α, β, γ and δ — константи. Лінеаризація цих диференціальних рівнянь у стаціонарній точці (x*, y*) має вигляд

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {du}{dt}}\\{\frac {dv}{dt}}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}},}$

де u = x − x* і v = y − y*. Матриця A називається матрицею групування (англ. community matrix). Якщо серед власних значень (λ) матриці A є числа з додатною (дійсною частиною) (${\displaystyle \operatorname {Re} \,\lambda >0}$), стаціонарний стан нестійкий, якщо ж дійсна частина обох власних значень від'ємна, то стаціонарний стан буде стійким (стабільним). Критичний випадок, коли дійсна частина власного значення дорівнює нулю, називають нейтральною стійкістю.

Джерела

1. Murray, 2002, с. 82.

Посилання

• Murray, James D. (2002), Mathematical Biology I. An Introduction, Interdisciplinary Applied Mathematics, т. 17 (вид. 3rd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN .