Марковське випадкове поле

Ма́рковська мере́жа, або Ма́рковське випадко́ве по́ле — у теорії ймовірностей, це графова модель, в якій множина випадкових величин з Марковською властивістю описується неорієнтованим графом.

Відрізнається від Баєсової мережі, в якої граф орієнтований та ациклічний, тоді як граф Марковської мережі неорієнтований і, відповідно, може мати цикли.

Означення

Неорієнтований граф ${\displaystyle G=(V,E)}$, множина випадкових величин ${\displaystyle \xi _{k}}$ утворюють Марковське випадкове поле (Марковську мережу), якщо вони задовільняють умові Маркова:

${\displaystyle \forall x\in X\quad P(\xi _{k}=x_{k}\ |\ \xi _{V\setminus \{k\}}=x_{V\setminus \{k\}})=P(\xi _{k}=x_{k}\ |\ \xi _{N(k)}=x_{N(k)})}$, де ${\displaystyle N(k)=\{j\ |\ \{i,j\}\in E\}}$.

Марковське випадкове поле з дискретним часом

У багатьох прикладних задачах у фізиці, економіці, біології, випадкове поле може описувати стан системи у деякий фіксований момент часу. Нехай ${\displaystyle \xi =\{\xi ^{t}:\ t=0,1,\ldots \}}$ — марковський процес з дискретним часом. Якщо задовільняється умова локальності:

${\displaystyle P\{\xi _{k}^{t+1}=x_{k}\ |\ \xi ^{t}=x^{t},\ldots ,\xi ^{0}=x^{0}\}=P\{\xi _{k}^{t+1}=x_{k}\ |\ \xi _{N(k)}^{t}=x_{N(k)}^{t}\}}$, ${\displaystyle \ \forall k\in V,\ x^{0},\ldots ,x^{t+1}\in X}$

І умова синхронності:

${\displaystyle P\{\xi _{K}^{t+1}=x_{K}\ |\ \xi ^{t}=x^{t}\}=\prod _{k\in K}P\{\xi _{k}^{t+1}=x_{k}\ |\ \xi ^{t}=x^{t}\}}$, ${\displaystyle \ \forall K\subset V,\ x^{t}\in X}$,

То такий процес разом із графом ${\displaystyle G=(V,E)}$ утворює Марковське випадкове поле із синхронними компонентами, що локально взаємодіють, або просто Марковське поле з дискретним часом.

Див. також

• Баєсова мережа
• Випадкове поле
• ^[en]

Джерела

• Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — 2-е. — Москва : Наука, 1977. — 567 с.(рос.)
• Кнопов П.С. О некоторых прикладных задачах марковских случайных процессов с локальным взаимодействием / Самосёнок А.С. // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — Т. 47, вип. 3. — С. 346-359.