Мажоризація

Мажорування — відношенням між двома векторами дійсних чисел в математиці.

Означення

Нехай є два вектори ${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ та ${\displaystyle Y=\{y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\}}$, де ${\displaystyle x_{1}\geqslant x_{2}\geqslant \ldots \geqslant x_{n}}$, ${\displaystyle y_{1}\geqslant y_{2}\geqslant \ldots \geqslant y_{n}}$ і ${\displaystyle \mathbf {X} ,\ \mathbf {Y} \in \mathbb {R} ^{n}}$

Тоді якщо

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}\geq \sum _{i=1}^{k}y_{i}}$ для всіх ${\displaystyle k=1,\,\dots ,\,n-1}$ і ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$

говорять, що вектор ${\displaystyle \mathbf {X} }$ мажорує вектор ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

Тобто, виконується n—1 нерівність та одна рівність:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\geq y_{1}\\x_{1}+x_{2}&\geq y_{1}+y_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}&\geq y_{1}+y_{2}+y_{3}\\&\,\,\,\vdots \\x_{1}+\cdots +x_{n-1}&\geq y_{1}+\cdots +y_{n-1}\\x_{1}+\cdots +x_{n}&=y_{1}+\cdots +y_{n}\end{aligned}}}$

Якщо останню умову змінити на нерівність ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq \sum _{i=1}^{n}y_{i}}$, то кажуть, що вектор ${\displaystyle \mathbf {X} }$ слабко мажорує вектор ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.