Лінії другого порядку

Криві другого порядку — геометричне місце точок на площині, декартові координати яких задаються рівнянням другого ступеня:

${\displaystyle \ a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,}$

де хоча б один з коефіцієнтів ${\displaystyle \ a_{11},\;a_{12},\;a_{22}}$ відмінний від нуля.

Лінії другого порядку є конічними перерізами.

Інваріанти

Вид кривої залежить від чотирьох інваріантів:

• інваріанти відносно повороту та зсуву системи координат:
  • ${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}}}$
  • ${\displaystyle D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2}}$
  • ${\displaystyle I=tr{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22}}$
• інваріант відносно повороту системи координат (напів-інваріант):
  • ${\displaystyle B={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}}}$

Основні типи

Основними кривими другого порядку є коло, еліпс, гіпербола і парабола:

Вид кривої	Канонічне рівняння	Інваріанти
Невироджені криві (${\displaystyle \ \Delta \neq 0}$)
еліпс	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta <0\\D>0\\I=a^{2}+b^{2}\end{array}}}$
гіпербола	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta >0\\D<0\\I=b^{2}-a^{2}\end{array}}}$
парабола	${\displaystyle \ y^{2}=2px}$	${\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta >0\\D=0\\I=1\end{array}}}$
Вироджені криві (${\displaystyle \ \Delta =0}$)
точка	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0}$	${\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta =0\\D>0\\I=a^{2}+b^{2}\end{array}}}$
дві прямі що перетинаються	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0}$	${\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta =0\\D<0\\I=b^{2}-a^{2}\end{array}}}$
дві паралельні прямі	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta =0\\D=0\\I=1\end{array}}}$
одна пряма	${\displaystyle \ x^{2}=0}$	${\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta =0\\D=0\\I=1\end{array}}}$
Порожня множина
уявний еліпс	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}$	${\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta >0\\D>0\\I=a^{2}+b^{2}\end{array}}}$
дві уявні паралельні прямі	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=-1}$	${\displaystyle {\begin{array}{l}\Delta =0\\D=0\\I=1\end{array}}}$

Історія та застосування

Більшість типів ліній другого порядку відомі давно, їх досить добре вивчив Аполлоній. Він утворював основні типи ліній другого порядку як плоскі перерізи кругового конуса, тому в математичній літературі лінії другого порядку відомі ще як конічні перерізи.

Лінії другого порядку зустрічаються в явищах навколишнього світу: по еліпсу рухаються планети Сонячної системи, по гіперболі або параболі — комети. Траєкторія руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є параболою; космічні кораблі, ракети, залежно від наданої їм швидкості, рухаються по колу, еліпсу, параболі чи гіперболі.

Посилання

1. Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука».

Див. також

• Конічні перетини,
• Поверхня другого порядку,
• Афінний простір.