Лема Готелінґа

В мікроекономіці, Лема Хотелінґа (англ. Hotelling's lemma) — твердження, що зв'язує пропозицію товару з прибутком виробника цього продукту. Лема вперше доведена Гарольдом Хотелінґом, і широко застосовується в теорії фірми.

Лема

Твердження леми дуже просте:

Нехай ${\displaystyle y(p)}$ — чиста пропозиція фірми виражена в одиницях ціни певного товару(${\displaystyle p}$). Тоді:

${\displaystyle y(p)={\frac {\partial \pi (p)}{\partial p}}}$

де ${\displaystyle \pi }$ — функція прибутку фірми виражена в одиницях ціни товару, за умови ${\displaystyle p>0}$ і, що похідна існує.

Доведення

Доведення теореми випливає з тогоо, що для фірми, що максимізує прибуток, максимум її прибутку при випуску продукції на рівні ${\displaystyle y^{*}(p)}$ обчислюється як мінімум ${\displaystyle \pi (p^{*})-p^{*}y^{*}(p)}$ для деякої ціни ${\displaystyle p^{*}}$, а саме коли виконується ${\displaystyle {\frac {\partial \pi (p)}{\partial p}}-y=0.}$ Отже, ${\displaystyle y(p)={\frac {\partial \pi (p)}{\partial p}}}$, що і треба показати.

Доведення також випливає з теореми про згортку.

Див. також

• Попит та пропозиція

Джерела

• Hotelling, H. (1932). Edgeworth's taxation paradox and the nature of demand and supply functions. Journal of Political Economy, 40, 577-616.
• В. А. Козицький, С. П. Лавренюк, М. О. Оліскевич. Основи математичної економіки. Теорія фірми. Навчальний посібник.-Львів: Видавництво „Піраміда”. 2005.-- 323с.