Лема Гензеля

Нехай ${\displaystyle f(x)}$ — це многочлен з цілими (або p-адичними цілими) коефіцієнтами, нехай m, k це додатні цілі такі, що m ≤ k. Якщо r є цілим таким, що

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$ і ${\displaystyle f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}}$

тоді існує ціле s таке, що

${\displaystyle f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}}$ і ${\displaystyle r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.}$

І також, таке s єдине за модулем p^k+m і його можна обчислити як таке ціле

${\displaystyle s=r-f(r)\cdot a}$ де ${\displaystyle a}$ це ціле, що задовольняє ${\displaystyle a\equiv [f'(r)]^{-1}{\pmod {p^{m}}}.}$

Зауважимо, що ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$ так, що дотримується умова ${\displaystyle s\equiv r{\pmod {p^{k}}}.}$ Додатково зазначимо, що якщо ${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}}$, тоді можливо мати 0, 1 чи декілька s.

Виведення

Виведення леми розглядає розклад у ряд Тейлора функції ${\displaystyle f}$ в околі ${\displaystyle r.}$ З ${\displaystyle r\equiv s{\pmod {p^{k}}}}$ ми бачимо, що s повинно мати таку форму ${\displaystyle s=r+tp^{k}}$ для деякого цілого ${\displaystyle t.}$

Нехай ${\displaystyle f(r+tp^{k})=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\ \left(tp^{k}\right)^{n}}$, де ${\displaystyle c_{0}=f(r),\,c_{1}=f'(r)}$, отже

${\displaystyle f(r+tp^{k})=f(r)+t\,p^{k}\,f'(r)+p^{2k}\,t^{2}\,g(t)}$ для деякого многочлена ${\displaystyle g(t)}$ з цілими коефіцієнтами.

Ділячи обидві частини за модулем ${\displaystyle p^{k+m},m\leq k}$, ми бачимо, що для того, щоб виконувалось ${\displaystyle f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}}$, нам треба

${\displaystyle 0\equiv f(r+tp^{k})\equiv f(r)+t\,p^{k}\,f'(r){\pmod {p^{k+m}}}}$

Тоді ми зауважимо, що ${\displaystyle f(r)=zp^{k}}$ для деякого цілого ${\displaystyle z}$ оскільки ${\displaystyle r}$ є коренем ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}$. Таким чином,

${\displaystyle 0\equiv (z+tf'(r))p^{k}{\pmod {p^{k+m}}}}$,

тобто

${\displaystyle 0\equiv z+tf'(r){\pmod {p^{m}}}.}$

Розв'язуючи для ${\displaystyle t}$ у ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ отримуємо згадану вище формулу для ${\displaystyle s.}$ Припущення, що ${\displaystyle f'(r)}$ не ділиться на p гарантує, що ${\displaystyle f'(r)}$ має унікальне обернене за модулем ${\displaystyle p^{m}.}$ Отже, розв'язок для t існує і єдиний за модулем ${\displaystyle p^{m}}$ і ${\displaystyle s}$ існує і єдине за модулем ${\displaystyle p^{k+m}}$.

Наслідки

• Якщо ${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}}$ і ${\displaystyle r}$ є розв'язком ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k+1}}},}$ тоді ${\displaystyle r}$ підіймається до ${\displaystyle s=r+tp}$ для всіх цілих ${\displaystyle 0\leq t\leq p-1.}$ Отже, ${\displaystyle r}$ підіймається до ${\displaystyle p}$ відмінних розв'язків ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k+1}}}.}$
• Якщо ${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\pmod {p}},}$ але ${\displaystyle r}$ не є розв'язком ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k+1}}},}$ тоді ${\displaystyle r}$ не підіймається до якогось розв'язку ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k+1}}}.}$ Отже, якщо ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k+1}}}}$ має розв'язки, то жоден з них не лежить над ${\displaystyle r.}$

Приклад

Розв'язати конгруентність ${\displaystyle x^{2}\equiv -1\mod 125.}$ Тобто ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1,f'(x)=2x.}$ За модулем 5: ${\displaystyle 2^{2}\equiv -1\mod 5,}$ тому покладемо ${\displaystyle r=2.}$ ${\displaystyle f'(r)\equiv 4\mod 5,}$ отже ${\displaystyle a=-1.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=2\mod 5\\r_{2}&=r_{1}-f(r_{1})\cdot a\mod 25\\&=2-(5)\cdot (-1)\mod 25\\&=7\mod 25\\r_{3}&=r_{2}-f(r_{2})\cdot a\mod 125\\&=7-(50)\cdot (-1)\mod 125\\&=57\mod 125\\\end{aligned}}}$

Примітки

1. Nathan Jolly. (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 20 грудня 2016. Процитовано 4 грудня 2016.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Лема Гензеля(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.