Круг Мора

Круг Мора (круг напружень) — графічний метод визначення напружень при складному . Розроблений Мором О. Х. для більш наочного розв'язання задач з теорії напруженого стану. Круг Мора використовують для розв'язання прямої та оберненої задачі.

Пряма задача

Постановка питання

Потрібно графічним методом розв'язати задачу в якій розглядаєм точку в , де відомо положення головних площин і відповідні до них головні напруження. Потрібно знайти нормальні і дотичні напруження, що діють на площинах, які нахилені під заданим кутом ${\displaystyle \alpha \,}$ до головних.

Розв'язання

На графіку ${\displaystyle \sigma \,\sim \,\tau \,}$ відкладають відрізки в певному масштабі: ${\displaystyle {\mathit {OA}}=\sigma _{1}\,}$ та ${\displaystyle {\mathit {OB}}=\sigma _{2}\,}$.Знаходимо т.${\displaystyle {\mathit {C}}\,}$ як центр відрізка ${\displaystyle {\mathit {AB}}\,}$ і будуємо круг Мора як показано на малюнку. Потім із центра відкладаємо кут ${\displaystyle {\mathit {2}}\alpha \,}$ на перетині промення із колом буде точка ${\displaystyle {\mathit {D_{\alpha }}}\,}$. Ордината точки ${\displaystyle {\mathit {D_{\alpha }}}\,}$ буде дотичне напруження ${\displaystyle \tau _{\alpha }\,}$ а абсциса нормальне напруження ${\displaystyle \sigma _{\alpha }\,}$. Аналогічно знаходиться напруження у площині ${\displaystyle \beta \,}$.Слід мати на увазі що площини ${\displaystyle \beta \,}$ ${\displaystyle \alpha \,}$ взаємно перпендикулярні.

Круг Мора (пряма задача)

Круг Мора(обернена задача)

Обернена задача

Постановка питання

Потрібно графічним методом розв'язати задачу в якій розглядаєм точку в , де відомі нормальні і дотичні напруження ${\displaystyle \sigma _{\alpha }\,\tau _{\alpha }\,\sigma _{\beta }\,\tau _{\beta }\,}$ на взаємно перпендикулярних площинах. Потрібно визначити головні напруження і положення головних площин.

Розв'язання

У геометричній площині в системі координат ${\displaystyle \sigma \,\sim \,\tau \,}$ виберемо т.${\displaystyle {\mathit {D_{\alpha }}}\,}$ з координатами ${\displaystyle \sigma _{\alpha }\,\tau _{\alpha }\,}$ та т.${\displaystyle {\mathit {D_{\beta }}}\,}$ з координатами ${\displaystyle \sigma _{\beta }\,\tau _{\beta }\,}$.Сполучивши ці дві точки, знаходимо центр круга Мора — т.${\displaystyle {\mathit {C}}\,}$ тоді проводимо коло радіусом ${\displaystyle {\mathit {C}}{\mathit {D_{\alpha }}}\,}$.Таким чином перетини кола з вісю абсцис будуть головні напруження ${\displaystyle \sigma _{1}\,}$ та ${\displaystyle \sigma _{2}\,}$. Для знаходження положення головних площин знаходять полюс ${\displaystyle {\mathit {M}}\,}$, який знаходиться на перетині кола і горизонтальної лінії проведеної із точки ${\displaystyle {\mathit {D_{\alpha }}}\,}$. Сполучивши полюс із точками ${\displaystyle {\mathit {A}}\,}$ та ${\displaystyle {\mathit {B}}\,}$, дістанемо напрям головних напружень ${\displaystyle \sigma _{1}\,}$ та ${\displaystyle \sigma _{2}\,}$.

Література

Писаренко Г. С. та ін. Опір матеріалів. — Вища школа. — С. 655.

Див. також

•  — Круг Мора
• Мор Отто Христіан — графічний метод визначення напружень